三角函数与解三角形
第九讲
三角函数的概念､诱导公式与三角恒等变换
2019年
1.(2019北京9)函数的最小正周期是
________.
2.(2019全国Ⅲ理12)设函数=sin()(>0),已知在有且仅有5个零点,下述四个结论:
①在()有且仅有3个极大值点
②在()有且仅有2个极小值点
③在()单调递增
④的取值范围是[)
其中所有正确结论的编号是
A.
①④
B.
②③
C.
①②③
D.
①③④
3.(2019天津理7)已知函数是奇函数,将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图像对应的函数为.若的最小正周期为,且,则
A.
B.
C.
D.
4.(2019全国Ⅱ理10)已知α∈(0,),2sin
2α=cos
2α+1,则sin
α=
A.
B.
C.
D.
5.(2019江苏13)已知,则的值是_________.
6.(2019浙江18)设函数.
(1)已知函数是偶函数,求的值;
(2)求函数
的值域.
2010-2018年
一､选择题
1.(2018全国卷Ⅲ)若,则
A.
B.
C.
D.
2.(2016年全国III)若
,则
A.
B.
C.1
D.
3.(2016年全国II)若,则(
)
A.
B.
C.
D.
4.(2015新课标Ⅰ)
A.
B.
C.
D.
5.(2015重庆)若,则=
A.1
B.2
C.3
D.4
6.(2014新课标Ⅰ)若,则
A.
B.
C.
D.
7.(2014新课标Ⅰ)设,,且,则
A.
B.
C.
D.
8.(2014江西)在中,内角A,B,C所对应的边分别为,若,则
的值为(
)
A.
B.
C.
D.
9.(2013新课标Ⅱ)已知,则(
)
A.
B.
C.
D.
10.(2013浙江)已知,则
A.
B.
C.
D.
11.(2012山东)若,,则
A.
B.
C.
D.
12.(2012江西)若,则tan2α=
A.−
B.
C.−
D.
13.(2011新课标)已知角的顶点与原点重合,始边与轴的正半轴重合,终边在直线上,则=
A.
B.
C.
D.
14.(2011浙江)若,,,,则
A.
B.
C.
D.
15.(2010新课标)若,是第三象限的角,则
A.
B.
C.2
D.-2
二､填空题
16.(2018全国卷Ⅰ)已知函数,则的最小值是_____.
17.(2018全国卷Ⅱ)已知,,则___.
18.(2017新课标Ⅱ)函数的最大值是
.
19.(2017北京)在平面直角坐标系中,角与角均以为始边,它们的终边关于轴对称.若,则=___________.
20.(2017江苏)若,则=
.
21.(2015四川)
.
22.(2015江苏)已知,,则的值为_______.
23.(2014新课标Ⅱ)函数的最大值为____.
24.(2013新课标Ⅱ)设为第二象限角,若,则=___.
25.(2013四川)设,,则的值是_____.
26.(2012江苏)设为锐角,若,则的值为
.
三､解答题
27.(2018江苏)已知为锐角,,.
(1)求的值;
(2)求的值.
28.(2018浙江)已知角的顶点与原点重合,始边与轴的非负半轴重合,它的终边过点.
(1)求的值;
(2)若角满足,求的值.
29.(2017浙江)已知函数.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的最小正周期及单调递增区间.
30.(2014江苏)已知,.
(1)求的值;
(2)求的值.
31.(2014江西)已知函数为奇函数,且,其中.
(1)求的值;
(2)若,求的值.
32.(2013广东)已知函数.
(1)
求的值;
(2)
若,求.
33.(2013北京)已知函数
(1)求的最小正周期及最大值;
(2)若,且,求的值.
34.(2012广东)已知函数,(其中,)的最小正周期为10.
(1)求的值;
(2)设,,,求的值.
专题四
三角函数与解三角形
第九讲
三角函数的概念､诱导公式与三角恒等变换
答案部分
2019年
1.解析:因为,
所以的最小正周期.
2.解析
当时,,
因为在有且仅有5个零点,所以,
所以,故④正确,
因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案,
下面判断③是否正确,
当时,,
若在单调递增,
则,即,因为,故③正确.
故选D.
3.解析
因为是奇函数,所以,.
将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图像对应的函数为,即,
因为的最小正周期为,所以,得,
所以,.
若,即,即,
所以,.
故选C.
4.解析:由,得.
因为,所以.
由,得.故选B.
5.解析
由,得,
所以,解得或.
当时,,,
.
当时,,,
所以.
综上,的值是.
6.解析(1)因为是偶函数,所以,对任意实数x都有,
即,
故,
所以.
又,因此或.
(2)
.
因此,函数的值域是.
2010-2018年
1.B【解析】.故选B.
2.A【解析】由,,得,或
,,所以,
则,故选A.
3.D【解析】因为,所以,
所以,所以,故选D.
4.D【解析】原式=.
5.C
【解析】
=,选C.
6.C【解析】
知的终边在第一象限或第三象限,此时与同号,
故,选C.
7.B【解析】由条件得,即,
得,又因为,,
所以,所以.
8.D【解析】=,,上式=.
9.A【解析】因为,
所以,选A.
10.C【解析】由可得,进一步整理可得,解得或,
于是.
11.D【解析】由可得,,
,答案应选D.
另解:由及,可得
,而当时
,结合选项即可得.
12.B【解析】分子分母同除得:,
13.B【解析】由角的终边在直线上可得,,
.
14.C【解析】
,而,,
因此,,
则.
15.A【解析】
,且是第三象限,,
.
16.【解析】解法一
因为,
所以,
由得,即,,
由得,即
或,,
所以当()时,取得最小值,
且.
解法二
因为,
所以
,
当且仅当,即时取等号,
所以,
所以的最小值为.
17.【解析】,,
①,
②,
①②两式相加可得
,
.
18.1【解析】化简三角函数的解析式,则
,
由可得,当时,函数取得最大值1.
19.【解析】角与角的终边关于轴对称,所以,
所以,;
.
20.【解析】.
21.【解析】.
22.3【解析】.
23.1【解析】
.,所以的最大值为1.
24.【解析】,可得,,
=.
25.【解析】
,则,又,
则,.
26.【解析】
因为为锐角,cos(=,sin(=,
sin2(cos2(,
所以sin(.
27.【解析】(1)因为,,所以.
因为,所以,
因此,.
(2)因为为锐角,所以.
又因为,所以,
因此.
因为,所以,
因此,.
28.【解析】(1)由角的终边过点得,
所以.
(2)由角的终边过点得,
由得.
由得,
所以或.
29.【解析】(Ⅰ)由,,
得.
(Ⅱ)由与得
所以的最小正周期是
由正弦函数的性质得
,
解得,
所以的单调递增区间是().
30.【解析】(1),
;
(2)
.
31.【解析】(1)因为是奇函数,而为偶函数,所以为奇函数,又得.
所以=由,得,即
(2)由(1)得:因为,得
又,所以
因此
32.【解析】(1)
(2)
所以,
因此=
33.【解析】:(1)
所以,最小正周期
当(),即()时,.
(2)因为,所以,
因为,所以,
所以,即.
34.【解析】(1).
(2)
函数概念是全部数学概念中最重要的概念之一，纵观300年来函数概念的发展，众多数学家从集合、代数、直至对应、集合的角度不断赋予函数概念以新的思想，从而推动了整个数学的发展。但正是由于函数概念的抽象性与层次性，学生往往不习惯用集合、对应的观点去解释函数关系，缺乏用函数思想分析问题和解决问题的能力。本文拟通过对函数概念的发展与比较的研究，对函数概念的教学进行一些探索。
1、函数概念的纵向发展
1．1 早期函数概念──几何观念下的函数
十七世纪伽俐略(G．Galileo，意，1564－1642)在《两门新科学》一书中，几乎从头到尾包含着函数或称为变量的关系这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。1673年前后笛卡尔(Descartes，法，1596－1650)在他的解析几何中，已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候，数学家还没有明确函数的一般意义，绝大部分函数是被当作曲线来研究的。
1．2 十八世纪函数概念──代数观念下的函数
1718年约翰·贝努利(BernoulliJohann，瑞，1667－1748)才在莱布尼兹函数概念的基础上，对函数概念进行了明确定义：由任一变量和常数的任一形式所构成的量，贝努利把变量x和常量按任何方式构成的量叫“x的函数”，表示为，其在函数概念中所说的任一形式，包括代数式子和超越式子。
18世纪中叶欧拉(L．Euler，瑞，1707－1783)就给出了非常形象的，一直沿用至今的函数符号。欧拉给出的定义是：一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。他把约翰·贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数（只有自变量间的代数运算）和超越函数（三角函数、对数函数以及变量的无理数幂所表示的函数），还考虑了“随意函数”（表示任意画出曲线的函数），不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰·贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。
1．3 十九世纪函数概念──对应关系下的函数
1822年傅里叶(Fourier，法，1768－1830)发现某些函数可用曲线表示，也可用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的认识又推进了一个新的层次。1823年柯西(Cauchy，法，1789－1857)从定义变量开始给出了函数的定义，同时指出，虽然无穷级数是规定函数的一种有效方法，但是对函数来说不一定要有解析表达式，不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示，这是一个很大的局限，突破这一局限的是杰出数学家狄利克雷。
1837年狄利克雷(Dirichlet，德，1805－1859)认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出：“对于在某区间上的每一个确定的x值，y都有一个或多个确定的值，那么y叫做x的函数。”狄利克雷的函数定义，出色地避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述，简明精确，以完全清晰的方式为所有数学家无条件地接受。至此，我们已可以说，函数概念、函数的本质定义已经形成，这就是人们常说的经典函数定义。
等到康托尔(Cantor，德，1845－1918)创立的集合论在数学中占有重要地位之后，维布伦(Veblen，美，1880－1960)用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合概念，把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变量是数”的极限，变量可以是数，也可以是其它对象（点、线、面、体、向量、矩阵等）。
1．4 现代函数概念──集合论下的函数
1914年豪斯道夫(F．Hausdorff)在《集合论纲要》中用“序偶”来定义函数。其优点是避开了意义不明确的“变量”、“对应”概念，其不足之处是又引入了不明确的概念“序偶”。库拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念来定义“序偶”，即序偶(a，b)为集合{{a}，{b}}，这样，就使豪斯道夫的定义很严谨了。1930年新的现代函数定义为，若对集合M的任意元素x，总有集合N确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为y=f(x)。元素x称为自变元，元素y称为因变元。
函数概念的定义经过三百多年的锤炼、变革，形成了函数的现代定义形式，但这并不意味着函数概念发展的历史终结，20世纪40年代，物理学研究的需要发现了一种叫做Dirac－δ函数，它只在一点处不为零，而它在全直线上的积分却等于1，这在原来的函数和积分的定义下是不可思议的，但由于广义函数概念的引入，把函数、测度及以上所述的Dirac－δ函数等概念统一了起来。因此，随着以数学为基础的其他学科的发展，函数的概念还会继续扩展。
2、函数概念的横向比较
函数概念，作为世界各国学生必修的内容，各国对其分配设置、处理方式不尽相同。下图对中国与各个西方国家的函数概念作一横向比较：
函数概念引入──学习──深化的过程比较
中国
初三时引入函数概念，强调学生对于函数概念的形式化定义，用“变量”来描述函数概念。
高一时用“映射”来刻画函数概念。
法国
四五年级学生认识和使用小数集上定义的数值函数。
七年级，用图表表示情景，通过消费、发展、环境等让学生初步感受函数。
八年级，能用图、表或解析式等多种方式表示函数，但不给出严格定义。
九、十年级，用表格、图表处理一些其他领域的问题，定义处理十分谨慎。
高中时，大量增加函数内容。
日本
小学四年级开始接触函数关系的初步概念，对两个相依变化的数量关系进行研究并用图表来表示，用式子简洁的表示数量关系。
中学在数量关系领域把函数概念的学习划分为三个阶段，渗透函数思想。
美国
九年级以上的各类代数课本中，都首先定义“有序数对”、“关系”，再将函数定义为一种特殊的关系。
德国
初中由机器运算寄存器的有关知识展开所熟悉的简单算法，让学生在编写简单程序的同时开始学习变量、函数。
英国
由实际情景得到表达式，再得到数据，描点作出图象，利用曲线解决实际问题，在实际问题的解决中引入函数概念。
2．1 函数概念引入方式上的差异
我国教材函数概念引入方式为：实际例子（问题）数学解答从过程中提炼出函数概念。这种方式更注重函数概念引入的系统性，从两个阶段入手，多层面，多角度地向学生介绍了以“变量”为基础的函数古典定义以及以“集合”为基础的现代函数定义，所呈现的函数概念结构较系统和完整，有利于学生基础知识和基本技能的熟练掌握，但学生对“对应关系”往往缺乏充分的理解，并且函数概念引入时间较晚，定义方式理论性较强，比较抽象，不利于学生深入理解函数思想的实质，以及自身辨证思维能力的发展。
西方各国函数概念的引入一般较早，函数概念引入方式为：实际例子（问题）数学概念实际问题。它更注重函数概念背景知识的铺垫，重视函数思想和方法的掌握，淡化函数的形式化定义，大多没有给出具体的函数概念，而是将实际应用中的问题与学生的认知结构相联系，以问题解决的形式让学生学习函数内容，应用数学的意识比较突出。
2．2 函数概念与信息技术结合程度上的差异
我国函数概念教学中加强了函数与其他学科知识的联系，并且结合各种现代教育技术初步培养学生用数学能力，逐步提高学生分析问题，解决实际问题的能力。但常常局限于用计算器进行简单求解，用计算机辅助教学等内容，没有很好的引导学生利用互联网资源自主学习。西方各国大部分函数概念教学都与计算机技术教育相结合，涉及“寄储器”、“算法”等诸多计算机语言、计算机网络图，很好的培养了学生动手操作能力，调动学生积极思维，有利于学生树立正确的数学观，即数学不仅是书本上呈现的知识，而是广泛存在于我们的生活空间，拥有非常丰富的信息载体，学生应通过自主的学习行为去领略书本以外的数学世界。
3、函数概念教学的几点思考
3．1 注重函数概念的早期渗透
函数概念的培养在小学已经开始了，进入中学，随着代数式、方程的研究以渗透了这一观念，任何一个含有字母的代数式，就可以看作它所含字母的函数。所以教师可以在教学中，根据相关内容向学生渗透函数的思想，如代数式的学习，让学生了解到量与量之间的依存性；通过数的概念的发展，积累学生关于“集合”概念的初步思想；通过数轴和坐标的教学，渗透关于“对应”概念的初步思想等。通过这样的铺垫，学生在接触到严谨而抽象的集合函数概念时，易于接受。
3．2 注重学生学习函数概念的心理建构过程
建构主义学习理论认为：应把学生看成是学生主动的建构活动，学习应与一定的知识、背景即情境相联系；在实际情境下进行学习，可以使学生利用已有的知识与经验同化和索引出当前要学习的新知识，这样获取的知识，不但便于保持，而且易于迁移到陌生的问题情境中。在函数概念教学中，可以适当采用引导讨论，注重分析、启发、反馈，先从实际问题引入概念，然后揭示函数概念的共同特性：（1）问题中所研究的两个变量是相互联系的。（2）其中一个变量变化时，另一个变量也随着发生变化。（3）对第一个变量在某一范围内的每一个确定的值，第二个变量都有唯一确定的值与它对应。同时从阅读、练习中巩固概念，再从讨论、反馈中深化概念，让学生自己完成从具体到抽象的过程，避免概念教学的抽象与枯燥，使学生深入理解函数的实质，从而让学生较好地完成函数概念的建构。
3．3 注重函数概念与信息技术的适时性、适度性结合
由初中刚进高中的高一学生，思维较为单一，认识比较具体，注意不够持久，并且高中数学比较抽象，学生学习普遍感到困难，因此在教学过程中应创设一些知识情境，借助现代教学手段多媒体进行教学，让学生在轻松愉快的氛围中进行学习。应用信息技术时要根据教学需要，学生需求和课堂教学过程中出现的情况适时使用，并且运用要适度，掌握分寸，避免过量信息钝化学生的思维。函数概念教学中，教师可以借助于几何画板，图形计算器等现代教学工具辅助教学，鼓励学生上机操作，观察函数图象的变化过程，引导学生交流与讨论，更好的学习和理解函数。
3．4 注重函数概念的实际应用
抽象的函数概念必须经过具体的应用才能得到深刻理解，生活中的许多问题都是通过建立函数模型而通过解决的，因此在函数概念教学中，可以通过函数性质比较大小，求解方程、不等式，证明不等式等活动加强理解，同时引入具体的函数生活实例，如银行的利率表、数学用表、股势走势图，让学生记录一周的天气预报，列出最高气温与日期的函数关系等等。这样学生既受到思想方法的训练，又对函数概念有了正确的认识，使学生相应的数学能力得到充分的培养与发展。
参考文献
[1]中华人民共和国教育部。全日制义务教育数学课程标准（实验稿）[M]。北京：北京师范大学出版社，2001，7；
[2]M克莱因。古今数学思想(1－4册)[M]。上海：上海科学技术出版社，1979－1981;
[3]吴泽菲等。中国与英国初中数学课程比较[J]。外国教育研究，1998，1：11－16;
[4]章以昕。中美两国中学数学教材中函数概念的比较[J]。数学通讯，1996，2：16－19;
1 函数内容处理方式的新要求
《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称课程标准）仍将函数的基础知识安排在高中起始年级，但在内容要求和处理方式上都发生了比较大的变化。如何在继承传统教材优势的基础上，在展现函数概念的概括过程、揭示函数概念的本质、加强函数的应用以及适当使用信息技术帮助学生理解函数概念等问题上锐意创新，以突破函数概念这个难点，这是新教材的新要求。
2 函数学习背景的新要求
以往教材中，将函数作为一种特殊的映射，学生对于函数概念的理解建立在对映射概念理解的基础上。学生既要面对同时出现的几个抽象概念：对应、映射、函数，还要理清它们之间的关系。实践表明，在高中学生的认知发展水平上，理解这些抽象概念及其相互之间的关系存在很大困难。新要求是从具体实例进入知识的学习，从函数的现实背景实例出发，加强概念的概括过程，这样更加有利于学生建立函数概念、理解函数概念内涵。
3 函数思想方法应用的新要求
函数是刻画现实世界变化规律的重要数学模型。因此，函数在现实世界中有着广泛的应用。加强函数的应用，既突出函数模型的思想，又提供了更多的应用载体，使抽象的函数概念具体化。如新增加的“不同函数模型的增长”和“二分法”，前者通过比较函数模型的增长差异，使学生能够更深刻地把握不同函数模型的特点，在面对简单实际问题时，能根据它们的特点选择或建立恰当的函数模型反映实际问题中变量间的依赖关系；后者充分体现了函数与方程之间的联系，它是运用函数观点解决方程近似解问题的方法之一，通过二分法的学习，能使学生加深对函数概念本质的理解，学会用函数的观点看待和解决问题，逐渐形成在不同知识间建立联系的意识。
4 函数概念理解的新要求
函数概念并非直接给出，而是从背景实例出发采用归纳式的教材组织形式引入。在分析典型实例的共同特征的基础上概括出函数定义后，通过讨论函数的表示、基本性质初步理解函数。它们分别是从函数的表现形式和变化规律两个方面丰富对函数概念的认识。以三类基本初等函数为载体巩固函数概念，在学习了函数定义、基本性质之后，从一般概念的讨论进入到具体函数的学习。指数函数、对数函数和幂函数的概念及其性质都是一般函数概念及性质的具体化。以一类具体函数为载体，在一般函数概念的指导下对其性质进行研究，体现了“具体──抽象──具体”的过程，是函数概念理解的深化。从应用的角度再一次巩固并提升对函数的理解。对一个概念真正理解的一个判断标准就是看看是否可以运用概念解决问题。教材最后安排函数的应用，包括二分法、不同函数模型的增长差异以及建立函数模型解决实际问题，就是期望学生能在“用”的过程中提高对函数概念的理解。
5 函数概念难点突破的新要求
函数概念的理解贯穿了函数内容学习的始终，同时它也是教与学的一个难点，对于形成函数这样抽象的概念，应该让学生充分经历概括的过程。教材选择了三个有一定代表性的实例，先运用集合与对应的语言详细地分析前两个实例中变量间的依赖关系，给学生以如何分析函数关系的示范，然后要求学生仿照着自己给出第三个实例的分析，最后通过“思考”提出问题，引导学生概括三个实例的共同属性，建立函数的概念。在这样一个从具体（背景实例）到抽象（函数定义）的过程中，学生通过自己的思考从分析单个实例上升到概括一类实例具有的共同特征，更能理解概念内涵。
6 函数概念学习中使用信息技术的新要求
关键词：数学概念；教学；数学基础
中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2014）07-0157-01
数学概念定义是数学科学知识体系的基础，是中学数学基础知识的核心；数学概念定义是数学思维的细胞，是数学能力的根基之一。因此，中学数学概念定义的教学，我认为应从以下几个方面来进行尝试：
1.重视概念的形成发展史
数学概念既不是人们头脑中固有的，也不是从天上掉下来的它是人们在长期的社会实践中，经历了从感性认识上升到理性认识，从感觉、知觉形成观念通过分析、综合、抽象、概括而形成的。在教学中，老师在引入概念时可以将概念的形成过程引入课堂，介绍给学生。例如复数这一章节的教学可以首先将复数的发展史作为首课时向学生展示。
2.注意具体到抽象的过渡来引入概念
概念是现实生活中一类对象经加工提炼而成的，数学概念也是为了解决实际数学模型而产生的，教师应注重以具体的问题引出抽象的概念，这样就不会让学生感到问题提出的突兀。
从数学体系发展过程角度看，一些概念是从数学知识发展需要引入的。例如：在讲分数指数幂时，教材上只是给出定义：。为什么引入分数指数幂呢？教室可以引导学生回忆我们学过的加、减、乘、除、乘方、开方的概念的引入，以及相反数、倒数的引入过程：乘法的引入，就是当多个因数相加时，为了简化运算，引入乘法；当多个因数相乘时，为了简化运算，引入乘方。还有一些看起来是规定的概念，也要让学生了解其规定的合理性。相反数的引入，将加法和减法统一为加法；倒数的引入，将乘法和除法统一为乘法；那么分数指数幂的引入，将乘方和开方统一为乘方。学生就好理解了。
抽象是数学的一种美，但学习时其感知对象，学生也觉得枯燥，要让观察者对呈现于面前的某些对象有兴趣，使其注意力集中与这些对象，则在课堂教学中，教师时高时低、抑扬顿挫的声调、活动教具的示范、教学多媒体的运用，都是增强学生感知效果的有效方法。
3.用熟悉的概念引申产生新的概念
学习是一个渐进的过程，对概念的理解也是一个渐进的过程，随着我们知识水平的不断提高，原有的概念的外延不断扩大并由此扩大或改进成新概念，在我们组织教学时，我们可以从旧的概念入手同学生一起用发现的手法来提高和完善我们的认知，引出新思想。例如函数这一概念在初三是新知识，到高一后学生对他的理解就比较深刻，也可以说这时抽象也转化为一种具体，教师若由此出发通过解析式、定义域、值域并对映射概念加以对比发现函数也是映射，最终提出函数的近代定义，用引出的方法学生让自己动手发现新知识，这种成功的喜悦 ，无疑使得学生对概念的理解更为深刻。
从对函数的不同认识阶段看：初中以"变量说"定义函数，重点是借助一次函数、二次函数、反比例函数等与学生生活经验紧密相关的几类函数，帮助学生形成对函数的直接体验，体会函数的意义，形成用函数解决问题的直接经验. 高中数学以"对应说"定义函数，引进数字以外的符号（y = f （x） 中，f 不代表数，与x ，y 的含义非常不同） 表达函数，进一步明确函数的表示法，以函数的单调性、奇偶性等典型性质为载体，给出研究函数性质的方法和过程的示范，进一步体验函数作为描述现实世界变化规律的基本数学模型的作用，使学生形成用函数
念研究具体问题的"基本规范"。
从研究函数的方法上：对于"基本初等函数"的研究，是通过对指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等具体函数的研究，逐步加深对函数概念的理解，在"基本初等函数"的应用中，不断体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数、三角函数等与现实世界的紧密联系性，建立更加广泛、稳固的函数本质的理解.所以，本单元的核心任务就是：建立一般意义的函数概念，了解函数的抽象符号的意义，了解函数中的问题、内容和方法，形成研究函数问题的"基本规范"。
从中学数学知识的组织结构看，函数是代数的"纽带"，代数式、方程、不等式、数列、排列组合、极限和微积分等都与函数知识有直接的联系。另外，函数还是数学的后续发展的基础，同时在物理、化学等自然科学中有着广泛的应用，在解决生产生活中的实际问题时，也往往采用函数作为建模的基本工具。因此，函数的学习非常重要，应当给予充分的重视。
4.注重概念课的后继课程的概念教学
【关键词】高职数学教学 函数学习 抽象思维能力
【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810（2014）26-0084-01
高职阶段数学教学的意义不仅仅体现在继续升学的方面，更重要的是能提高学生发现、分析与解决问题的能力，培养学生的逻辑思维能力、抽象思维能力与空间想象能力，帮助学生学会理性思考、理性判断，为专业课程的学习奠定坚实有力的基础。
高职数学知识点丰富，而函数概念是众多数学概念中最重要的概念之一，是高职数学的重点和难点。在课堂教学过程中，有不少学生反映函数的概念太抽象，从初中开始就是自己的“老大难”，以至于只要看到与函数有关的内容就害怕，宁愿选择回避。
函数的思想充分体现了集合、对应、映射等基本数学思想，这与中学数学中的数、式、方程等有密切联系。教师在函数教学中应该从概念的本质属性、概念的内涵和外延入手，加强概念形象理解，培养学生良好的思维习惯。
一 函数概念的定义
传统定义：设有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数。
近代定义：设A，B都是非空集合，f：xy是从A到B的一个对应法则，那么从A到B的映射f：AB就叫作函数，记作y=f（x）。
对函数概念的理解，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同。传统定义是从对应的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。定义都是文字和符号的连接，学生在理解时缺乏直观的认识，往往一知半解，此时需要让学生以自己独特的角度对函数概念形成理解，也有助于加深记忆。
如将函数y=f（x）的三要素与实际生活相联系，把“自变量x”看成是“待加工的货物”，把“因变量y”看成是“加工完成的产品”，把“对应法则f ”看成是“加工时的工序”，把“（）”看成是“工厂的大门”。如此学生以自己的理解，将理论与现实中的实物联系起来。
二 函数的定义域和值域
在函数y=f（x），x∈D中，自变量x的取值范围的集合D就是函数的定义域，而与x的值对应的y值就是函数值，函数值y的集合就是值域。
函数的定义域和值域考查的形式有很多，无论是选择题、填空题，还是解答题都会出现，是考试常考的内容，在求定义域、值域时我们会碰到各种不同类型的函数表达式，有些是我们熟悉的，有些相对比较复杂。同学们在遇到不熟悉的函数表达式时往往不知道应从何处下手。其实存在的问题都是心理紧张因素造成的，我们要理清思路，按部就班，掌握五大基本初等函数（反、对、幂、三、指）定义域、值域的特殊条件会有助于问题的解决。
第一，在求函数的定义域时，可以按照下面这几种方法来快速有效地判断和求解：（1）函数是整式时，自变量x可以取任意值，也就是定义域为全体实数所组成的集合。（2）函数是分式函数时，一定要注意，分母不能为0，那么定义域就是除使分母为零以外的一切实数所组成的集合。（3）如果函数是偶次根式时，就要注意被开方数不能为负；是奇次根式时，被开方数可以是任意实数。（4）当函数为指数函数和对数函数时，应尽量记住函数的大致图像，关注其在平面直角坐标系中的大体分布。（5）当函数为三角函数时，更应考虑其图像，特别注意正切函数其定义域与直线斜率的关系。（6）若函数中包含了若干个基本初等函数的四则运算，那么该函数的定义域很可能就是各基本初等函数的定义域的交集。
第二，值域的求法较之定义域的求法要复杂得多，更没有现成的结论，它必须通过不同的途径分析、观察、计算等才能求出不同函数的值域，通常有以下一些方法。（1）如果遇到的是熟悉的、学过的函数，可通过观察其图像直观判断出值域。（2）如果遇到不熟悉的、较复杂的函数，可通过“多点法”作出草图客观判断其值域。（3）通过求出函数的单调性、奇偶性、周期性、有界性等性质，辅助判断其值域。（4）利用换元法把复杂函数转化为熟悉的函数来求值域。（5）部分函数可通过反函数法求定义域来求原函数的值域。
总之，学好函数首先需要弄清函数的概念，真正搞懂什么是函数，掌握基本初等函数的定义、性质、图像，把概念性的知识点转化为自己独有的理解，不但不容易遗忘，而且可以充分发掘学生的想象力和思维能力。
参考文献
[1]杨红.函数概念及表示方法的知识点总结[J].理科考试研究（高中版），2013（5）
[2]张玲艳、熊昌雄.高中函数概念学习的理论基础[J].宜宾学院学报，2007（12）
[3]张晓燕、房元霞、藏亚玲.函数概念的发展对教学的启示[J].聊城大学学报（自然科学版），2006（3）
【摘要】新课标；高中函数教学；思考
在教学中教师要让学生做课堂的主人，做知识掌握和运用知识解决具体问题的主人，让学生“活”起来，“动”起来.通过情景创设、例证辨析、主动质疑等课堂环节让学生掌握函数的概念的内涵和外延，并能运用函数的概念理解和解决其他数学问题.本文就教学过程中学生的情况和自己的反思，谈几点自己的思考.
一、加强高中函数思想方法的应用
函数是刻画现实世界变化规律的重要数学模型.因此，函数在现实世界中有着广泛的应用.加强函数的应用，既突出函数模型的思想，又提供了更多的应用载体，使抽象的函数概念有更多的具体内容支撑.
二、教学中注重函数概念的实际应用
抽象的函数概念必须经过具体的应用才能得到深刻理解，生活中的许多问题都是通过建立函数模型而解决的，因此在函数概念教学中，可以通过函数性质比较大小，求解方程、不等式，证明不等式等活动加强理解，同时引入具体的函数生活实例，如银行的利率表、数学用表、股市走势图，让学生记录一周的天气预报，列出最高气温与日期的函数关系等等.这样学生既受到思想方法的训练，又对函数概念有了正确的认识，使学生相应的数学能力得到充分的培养与发展.
三、强调函数背景及对其本质的理解
在整个中学阶段，函数的学习始于义务教育阶段，而系统的学习则集中在高中的起始年级.无论是引入函数概念，还是学习三类函数模型，新课程标准都要求充分展现函数的背景，从具体实例进入知识的学习.以往教材中，将函数作为一种特殊的映射，学生对于函数概念的理解建立在对映射概念理解的基础上.学生既要面对同时出现的几个抽象概念——对应、映射、函数，还要理清它们之间的关系.实践表明，在高中学生的认知发展水平上，理解这些抽象概念及其相互之间的关系存在很大困难.而从函数的现实背景实例出发，加强概念的概括过程，更有利于学生建立函数概念.一方面，丰富的实例既是概念的背景，又是理解抽象概念的具体例证；另一方面，在实例营造的问题情境下，学生能充分经历抽象概括的过程，理解概念内涵.
四、在教学中要强调启发式教学的地位和作用
中学数学教学方式要强调综合性，该让学生活动的地方教师绝不代替，而且要把实质性的概括机会留给学生，例如具体实例共同特征的概括就应该让学生完成.但要注意，不讲不等于放羊，不是教师无所作为，而是“此时无声胜有声”，是教师通过问题启发，激疑、激思而使学生进入独立思考阶段.同样，讲授≠注入，不是教师胡乱作为，而是启发式讲解，是答疑解惑，而且该讲解的地方要讲准、讲透.例如函数的定义就应当在学生对具体实例共同特征的概括后，由教师讲解而不必让学生探究，逐步培养学生用概念解释数学对象的能力与习惯，是促使学生深层次参与课堂教学的有力举措，体现了思维教学的真谛，也是培养学生思维能力的有效途径.
五、注重函数概念与信息技术教学的结合
进入高中的学生思维较为单一，认识比较具体，注意力不够持久，并且高中数学比较抽象，学生学习普遍感到困难，因此在教学过程中应创设一些知识情境，借助现代教学手段多媒体进行教学，让学生在轻松愉快的氛围中进行学习.应用信息技术时要根据教学需要、学生需求和课堂教学过程中出现的情况适时使用，并且运用要适度，要掌握分寸.函数概念教学中，教师可以借助于几何画板、图形计算器等现代教学工具辅助教学，鼓励学生上机操作，观察函数图像的变化过程，引导学生交流与讨论，更好地学习和理解函数.
六、注重突破难点，显化过程，加强联系的方法
函数是高中数学的重要内容之一，函数的思想和方法贯穿了高中数学课程的始终。同时，函数概念也是高中数学的难点。调查表明，很多学生对函数概念的掌握并不理想。每次考试过后，总有学生由于对函数概念把握不准，导致解题失误。
现行普通高中《课程标准》实验教科书（必修1）上采用的函数定义是：“设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数。记作：y=f（x），x∈A。其中x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域，与x的值相对应的y值叫作函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫作函数的值域。
笔者认为，函数概念具有高度的抽象性，学生真正理解函数概念需要一个漫长的过程，需要在不同层次上、从不同角度给学生提供理解和巩固函数概念的机会。对函数概念的教学，应基于以下几点思考：
一、要使学生了解函数的形成过程
从历史上看，函数概念的产生经历了“变量说”到“对应说”两个阶段，函数概念来源于物理公式。在初中，学生学习过的函数概念，也是从运动变化的观点出发，把函数看成是变量之间的依赖关系。函数概念几乎等同于解析式。要说清楚变量以及两个变量间变化的依赖关系，往往先要弄清各个变量的物理意义，这就使研究受到了一定的限制。而如果只根据变量观点，那么有些函数就很难进行深入研究。例如：
f（x）=1，当x是有理数时，0，当x是无理数时。
对这个函数，如果用变量观点来解释，会显得十分勉强，也说不出x的物理意义是什么。但用集合、对应的观点来解释，就十分自然。
通过对函数概念历史发展的了解，既可以向学生渗透数学文化，也有利于让学生对函数概念了解更加全面，以激起学生对函数学习的兴趣。
二、要使学生理解函数的本质特征
函数的本质特征是“对应”关系。这种“对应”，正是函数的内涵所在。
1.函数的“对应”关系有三种形式
一是具体的两变量之间确定的对应关系，如函数的解析式；二是以列举方式给出两个变量之间的对应关系，如统计数表等；三是以曲线形式反映的两变量之间的对应关系，如一天中的气温随时间的变化图等。
2.函数的“对应”关系包含三层内容
（1）“非空数集A、B”――说明变量的存在性；（2）“两个变量x和y，x∈A、y∈B，某个确定的对应关系f ”说明函数是研究两个变量间的依存关系；（3）“对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）（即y）和它对应”――说明有唯一确定的对应规律。
3.函数的“对应”关系具备三个要素
函数y=f（x）的记法，突出了函数的三个要素之间的依存关系。其中“f”是连接“x”和“y”的纽带。
（1）对应关系f下的自变量。在记法中，f的变量为x，这里应突出x的整体性，即整个x充当的f自变量，由于函数的抽象性及换元的数学思想，这里的x只是充当一个代表元，也就是说x可以表示单纯的x，也可以表示关于x的某个单项式，甚至可以是关于x的其他代数式。因此，对应关系f下的自变量，严格来说，是f后面括号内的整个变量式。这为以后进一步求抽象函数的定义域打下伏笔，如①已知f（x）的定义域为[a，b]，求f[g（x）]的定义域，就是求不等式a≤
g（x）≤b的解集；②已知f[g（x）]的定义域为[a，b]，求f（x）的定义域，就是求当x∈[a，b]时，g（x）的值域。
（2）对应关系f下的函数值。y是x通过对应关系
f得到的，y值是相应x的值在对应关系f下的函数值。因为x只是一个代表元，因此对应关系f下的函数值y，严格来说，是f后面括号内的整个变量式的值通过对应关系f而得到的函数值。这也为以后进一步求复合函数的值域埋下伏笔。另外值域中的每一个值y，都能在定义域中“找到”一个或几个x的值与之对应，这又为以后利用方程思想求函数值域打下基础。
三、要使学生学会对函数概念的灵活运用
在学生理解了函数的本质特征即“对应”后，我们要在实践中使学生理解和掌握概念，引导学生运用函数概念去解决一些实质性的问题，培养学生运用概念分析问题与解决问题的能力，进而使学生在理解的层次上达到一个新的高度，在认识上得到升华。
例1：函数y=f（x）与直线x=a的交点个数为（ ）。
A.1个 B.2个 C.0个或1个 D.无穷多个
例2：函数y=x2和S=v2是否同一个函数？
