作者在这篇文章中，初步地勾勒出了天人关系在整个中国古代历史中发展的大致过程。此外，瞿林东还有《天人关系和历史运动》和《历史理论的本质性变革——确立人在历史进程中的中心位置》以及《天人古今与时势理道——中国古代历史观念的几个重要问题》三篇文章，分别从不同的角度对天人关系进行了宏观性的阐述。在《天人关系和历史运动》里，作者将天人关系主要分解为“论天”、“论人”、“论‘势’和‘理’”三个方面，并按照时代顺序分别予以阐述。在《历史理论的本质性变革——确立人在历史进程中的中心位置》一文中，作者指出人在历史中的作用是客观存在的，虽然“天命”一直占据着主导地位，但是随着历史的进步，经过漫长的轻天命、重人事阶段，人们逐渐走向了自觉，阐说人在历史位置中的重要作用。这一过程，由“《春秋》开其端倪，《史记》集其大成”。而在《天人古今与时势理道——中国古代历史观念的几个重要问题》一文中，作者则对天人关系这一范畴作了重要的理论性总结，指出“天人关系是探讨社会历史的存在及其所发生的种种变化，是天命安排的，还是社会历史中的人和人事决定的，这是社会存在和社会意识的关系”。
其次，是专题研究。专题研究主要是指就天人关系在某一时期或者某一具体问题方面进行的研究。相对于贯通研究而言，专题研究的涉及面更宽，主要表现为以下几个方面。
一方面是天人关系在某一时期的变化。马艳辉在《试析魏晋南北朝时期天人关系论的转变》一文中，认为魏晋南北朝时期史家对天人关系的讨论出现了不同于前代的演变，具有鲜明的时代特色。这主要表现在“天命”与谶纬之说、宗教神学的结合以及“天人相分”之说的进一步发展。她指出这一时期“史家对于天人关系问题的讨论出现了两种情况：一种是沿着董仲舒的‘天人感应论’发展，以新的形式将‘天命’继续留在人们的思想中，并往往用来说明现实社会中的重大事件，尤其是用以附会朝代的更迭、盛衰；另一种是沿着‘究天人之际’路线发展，进一步走向‘天’与‘人’相分的思想境界”。另一方面是就具体问题进行论述。这方面尤以讨论司马迁及其《史记》的文章为多。
崔存民认为司马迁在《史记》里面通过对天人感应学说的怀疑，以及对一些事例的分析，否定了天命决定人事，指出了人事在历史发展过程中起到了重要作用。王振红则就《史记》中所述的天的观念进行了详细分析，认为“在五帝时期呈现明显的自然属性，夏商时期又具有了浓厚的宗教性，而在殷周之际，天的观念又以道德为主导”。李宏对司马迁与班固在“天人关系”方面的认识作了比较研究。总的来说，这一时期关于“天人关系”的整体宏观研究已经达到了比较深入的程度，但是专题方面的微观研究还有待于进一步深入探讨。
关于君主论研究
10年中，关于君主论的探讨，一方面是对君主的个案研究，另一方面是对史学家、思想家在君权、君道等方面的论述进行研究。第一，关于君主的个案研究。瞿林东在《一代明君的君主论——唐太宗和〈帝范〉》一文中指出，在唐太宗《帝范》以前，君主论的论述“大多是就某一君主而论，或是就某一君主同另一君主相比较而论，而非把君主作为一种政治现象作综合的理论阐述。唐太宗所撰《帝范》改变了以往认识上和撰述上的这种局面，鲜明地反映了一代明君的君主论。他从历史和现实的结合、理论和实践的结合，对君主现象作综合的分析，提出了在那个时代具有普遍意义的认识”。这是对君主及其自身所作的君主论进行的研究。此外，就君主自身而言，还有一些作者把政治史、人物传记与君主论结合起来进行综合研究，以探究君主的政治主张与政治实践，以及君臣关系。如曹升生在论到唐太宗的时候说到在唐太宗以史为鉴的政治实践中，“包含着驾驭大臣以构建和谐君臣关系的努力，正是通过对历史知识的援引发挥，唐太宗向大臣们灌输了忠君思想，宣传了治国理念，进而培育了尊卑有序、和衷共济的官僚系统”。
此外关于君主个案的研究，还有一些君主传记。主要是人民出版社出版的一系列丛书，包括《隋炀帝传》（袁刚著，2001年版）、《汉武帝传》（杨生民著，2002年版）、《刘秀传》（黄留珠著，2003年版）、《唐玄宗传》（许道勋著，2003年版）、《秦始皇传》（张分田著，2003年版），《万历传》（樊树志著，2003年版）、《刘备传》（张作耀著，2004年版）、《孙权传》（张作耀著，2004年版）等，这些传记不仅仅是简单的史事叙述，往往还就君主个人以及后人对这些君主的评价作了分析，体现了政治史与君主论研究的相互结合。第二，史学家、思想家的君主论研究。就君主论研究而言，古代史学家、思想家们对于君主论的研究是中国古代历史理论的一个重要方面，也是君主论研究的主体。而这些史学家、思想家对于君主的论述主要体现在对君权、君道、君臣关系方面的认识。如对于明亡前后士人的君主论，赵园认为这是明代政治批评的重要方面，并试图将这一时期的君主论置于当时语境中，置于士大夫与“君臣”有关的伦理实践中，得出了当时的士大夫是借君主批评以表达自身的诉求这一结论。靳宝在《两汉“君主”阐释》一文中，从断代的层面，就一些思想家、史学家的君主论作了重要研究，他指出：“两汉学人在先秦诸子思想的基础上，从君主的内涵、称号、治道等方面，明确论证一统尊君与君国一体的国家观，对君主的本质及其作用进行思考，呈现出君主集权的意义，体现了天人合一的君主论特点。”
关于史学批评研究
10年中史学批评研究得到了较快发展，一方面是召开了专门以史学批评研究为主题的学术会议，即2008年9月，北京师范大学史学理论与史学史研究中心和大连大学中国古代社会与思想文化研究中心联合举办了“史学批评与史学文化”全国研讨会（大连），会后出版了研讨会论文集《史学批评与史学文化研究》（黑龙江人民出版社，2009年），进一步推进了史学批评研究的发展。另一方面是关于史学批评研究的专著开始出现，如白云的《中国古代史学批评史论纲》（人民出版社，2010年版）等，该书“全面梳理了中国古代史学批评之发展脉络，具体划分为萌芽、确立、渐趋成熟、繁荣四个时期，深入挖掘了各个时期中国史学批评之遗产和成就；较系统地总结了中国古代史学批评之传统和理论；初步构建了中国古代史学批评史的基本框架，对推动中国古代史学批评的研究有着积极的意义”。
关于史学批评具体问题的研究，体现在以下几个方面：首先，对史学批评自身的学科认识。瞿林东指出：“史学批评是史学理论发展的动因之一，许多理论问题是在史学批评中提出来的，又是在史学批评中得到深入阐说和系统发挥以至于形成体系的。史学批评又是史学发展的内在动力之一。批评的展开是活跃史学、繁荣史学的重要手段。”这就明确指出了史学批评的重要性，为史学批评的发展指明了方向。张越从史学批评与史学理论及史学史学科之间的关系角度指出：“在史学理论方面，史学批评表现为‘论’；在史学史方面，史学批评表现为‘史’。史学批评与史学理论和史学史都有着密切关系。”
阐明了史学批评在史学理论与史学史学科中的重要地位。其次，史学批评的范畴研究。罗炳良就中国史学批评的范畴作了初步归纳，分为三大类型：特定时代的史学批评范畴、史学批评的一般范畴、史学批评的基本范畴。他还对史学批评范畴研究的理论价值作了重要阐述：“通过对历代史学范畴发展的考察与研究，可以更加清楚地看到中国史学思想与历程的演变轨迹，有助于把握中国史学发展的脉络。”同时还指出现在“中国史学理论及史学史学科对自身范畴的研究相对薄弱，已经在很大程度上制约了学科自身的深化和提高”。刘开军在以往研究的基础上认为“史权”是史学批评的又一个重要范畴。
再次，史学批评的方法与标准研究。瞿林东认为在如何看待同一史事不同评论、不同史书的题材的长短、历史撰述诸因素的关系等问题时，应该用辩证方法。他说：“辩证方法是史学批评中的重要方法，古代史家所提供的思想资料和批评例证，在今日的史学批评中，仍有借鉴、参考价值。”乔治忠认为历史主义方法是史学批评的基本方法：第一，实事求是、兼指得失，是史学批评的基本出发点；第二，史学批评联系历史背景、社会环境以及相关的客观条件予以分析，是历史主义方法的主要特征之一；第三，评论一部史学著述、一种史学思想、一类史学观点，要将之置于思想、文化、学术及一般历史进程中分析和定位。在史学批评的标准方面，罗炳良认为古代史学批评的标准可以概括为学术标准、政治标准、道德标准三项主要内容。周一平对这三大标准中的学术标准予以详细阐述，认为学术标准应当包括反对门户之见、学派框框，创新，体例严谨，史事真实、资料可信，追求思想、学术价值，简约，文采等方面。
最后，对于史家或史著的史学批评的研究。10年中，由于史学批评研究发展较快，对于历史上的一些史家及史著的研究，呈现了蓬勃发展的趋势，所涉论文较多，难以一一评述，现将相关论文稍加排比胪列于下：周文玖的《刘知幾史学批评的特点》（《史学史研究》2007年第3期），李振宏的《刘知幾史学的批判精神》（《史学月刊》2011年第2期），吴怀祺的《〈通志〉：富有活力的史学批评著作》（《光明日报》2001年8月14日），罗炳良的《传统史学理论的终结与嬗变——章学诚史学的理论价值》（泰山出版社，2005年），彭忠德的《章学诚“史德”说新解》（《武汉大学学报》2009年第2期），朱政惠、陈勇的《章学诚的史学批评理论及其借鉴意义》（《史学史研究》2010年第1期），王秀青的《梁启超：史学比较方法的倡导与实践》（《云南民族大学报》2004年第2期）、《梁启超与中国史学史学科的创立》（《学术前沿》2004年第5期），白云的《孔子的史学批评》（《史学理论与史学史学刊》2006年卷），施丁的《王充〈论衡〉的史学批评》（《史学批评与史学文化研究》，黑龙江人民出版社，2009年），宋馥香的《高似孙〈史略〉之史学批评管窥》（《郑州大学学报》2009年第5期），蔡克骄的《南宋浙东学派的史学批评》（《郑州大学学报》2009年第1期），向燕南的《王世贞的史学批评及其理论贡献》（《史学批评与史学文化研究》，黑龙江人民出版社，2009年），白云的《论钱大昕的史学批评》（《红河学院学报》2006年第3期），刘开军的《王鸣盛对中国古代史书叙事的批评》（《廊坊师范学院学报》2011年第2期），段润秀的《易代修史中的史学批评问题探论——以清代〈明史〉修纂为例》（《廊坊师范学院学报》2008年第6期）等。总的来说，对于大多数史家和史著的史学批评研究，虽然尚未形成系统，但是从总体来看已经呈现了蓬勃发展的趋势。
关于少数民族史学研究
10年中，少数民族史学研究得到了深入发展，相关著作论文日益增多，但是它作为新兴的研究领域，发展仍相对薄弱。目前来看，论著所研究的问题主要包括以下几个方面。首先，学科方面的认识。这主要包括对少数民族史学的定义、研究对象、研究资料等问题的探讨。总的来说，对于少数民族史学的定义，已经由模糊、混乱——主要体现在民族史学、少数民族史学、少数民族史学史等概念的认识上——逐渐走向清晰、准确。瞿林东指出：“这里所说的少数民族史学，是指在中国史学发展中，那些记述各少数民族历史或少数民族地区社会历史，记述少数民族统治者建立的政治统治实体及其统治范围内有关少数民族的历史，以及记述少数民族地区及其同中原地区民族与政治统治交往的历史。”
这就为少数民族史学作了明确的定义。罗炳良在此基础上，进一步区分出“少数民族历史少数民族历史研究（少数民族史学）少数民族史学研究（少数民族史学史）少数民族史学史研究（少数民族史学史之史）”，使相关的各层概念进一步明晰。关于研究对象，罗炳良老师认为中国少数民族史学史的研究对象应当包括四个方面：（一）记载和研究中国境内现存各少数民族历史的史学成果，如藏族史学、蒙古族史学等；（二）记载和研究中国境内历史上曾经存在的少数民族历史的史学成果，如契丹族史学、女真族史学等；（三）记载和研究各个历史时期少数民族聚居地区社会历史发展的史学成果，如对古今各个时期中央政权管理下的周边少数民族历史的撰述；（四）20世纪以来的民族史撰述成果，如对撰写各民族发展史、民族精神与历史文化认同等方面历史著作的研究。关于研究史料的范围，罗炳良综合为四个方面：（一）今天中国境内各少数民族口耳相传的记忆和文献资料；（二）历史上曾经存在的少数民族留下的文字史料；（三）汉文史籍中记载少数民族历史的史料；（四）20世纪民族调查资料与民族史撰述成果。
其次，少数民族史学的贯通与专题研究。关于贯通研究，瞿林东先生将少数民族史学的发展过程分为六个阶段：（一）先秦、秦汉时期的少数民族史学，这是中国少数民族史学研究的起步阶段；（二）魏晋隋唐间的少数民族史学，这是中国古代少数民族史学发展的第一个高潮，其特点是多途发展局面的形成；（三）辽、宋、夏、金、元时期的少数民族史学，这是中国古代少数民族史学发展的第二个高潮，其特点是深入发展的趋势；（四）明清时期（1840年前）的少数民族史学，这是中国古代少数民族史学发展的第三个高潮，其特点是全面发展的态势；（五）中国近代（1840—1949年）的少数民族史学，其特点是在少数民族史学研究和撰述中，民族危机意识和民族觉醒意识的不断提升与中华民族观念的形成及发展；（六）现代的中国少数民族史学，即中华人民共和国成立以来的少数民族史学，这是中国少数民族史学研究的新阶段。汪受宽把隋唐五代之前视为少数民族史学的初步发展阶段，并分为先秦时期、两汉时期、魏晋南北朝时期、隋唐五代时期，指出“中国少数民族史学自先秦产生，历经两汉、魏晋南北朝、隋唐五代，终于得到初步发展”。关于专题研究，主要体现在少数民族史学的断代研究以及从少数民族史的角度去研究少数民族史学。在断代研究方面，董文武指出：“魏晋南北朝时期是个社会大动荡时期，社会现实的巨变深刻影响着这一时期，民族观念的变化，而由少数民族建立的政权对史学的重视更是直接推动了民族史学的发展。这一时期，史家的民族史撰述越来越体现时代特征，并表现出进步的民族一统观、民族同祖同源观，而民族平等、民族团结和各民族共同发展依旧是这个时期史家民族思想的主流。”
瞿林东对魏晋隋唐间的少数民族史学作了详尽梳理。他说：“魏晋南北朝隋唐时期，是中国少数民族史学发展的第一个高潮。《隋书•经籍志》和《新唐书•艺文志》的有关著录反映了这一高潮的基本面貌。这个时期成书的各朝正史中的民族史专篇，发展了司马迁、班固撰写民族史专篇的优良传统。《华阳国志》和《蛮书》记述了西南少数民族的历史；《十六国春秋》和《晋书•载记》则记述了北方少数民族的社会历史；《魏书》和《周书》因其自身的特点而具有少数民族史的性质；《通典•边防典》本质上是一部古代少数民族史。以上这些，反映了这个时期少数民族史撰述的盛况。”乔治忠亦说道：“入关后清朝官方史学，还是归入中国传统史学观念、史学方法的主流，承续了中国两千多年史学长足发展的成果，其性质不能属于少数民族的史学，仅包含着少数民族的史学因素而已。这在中国历代官修史学中是独一无二的，其中的政治文化意义不可漠视。这种少数民族文化因素注入传统史学主流的进程，恰与中华民族融合与统一的进程相一致。”
关键词：数学教学论；数学史；教学
“数学教学论”是高等师范院校数学教育专业的一门重要必修课。在“数学教学论”教学过程中，如何有效调动学生学习和研究的积极性，使教学的内容、方式和方法贴近基础数学教学改革，历来是数学教育研究的热点问题。从目前基础数学教育改革的趋势来看，重视科学精神和人文精神的塑造已成为基础数学教育改革的方向。数学发展史中积淀的深厚传统文化和丰富数学思想方法是深化数学课堂教学改革的重要方面，“数学教学论”课程要充分反映基础数学教育改革的现实，其有效途径之一是在教学中加强与数学史相关内容的结合，广泛吸收国际国内数学史与数学教育结合（简称hpm）研究的最新成果，恰当运用数学史案例来充分展示数学知识思维过程和方法，提高学生有效将数学知识的科学形态转化为教育形态的能力。因此，在“数学教学论”教学中，恰当运用数学史料进行教学具有重要的现实意义与实践价值。本文就数学概念、数学命题和数学人文等教学与数学史结合的理论与实践进行探讨。
一、揭示数学概念认知过程与历史发展过程的相似性，使学生把握概念教学的心理特征。
概念教学是“数学教学论”研究的重要内容。心理学研究表明，学生获得概念的方式主要是概念形成或概念同化。由于中学生的认知结构处于发展过程之中，数学认知结构中的数学知识相对简单而具体，在学习新知识时，作为固着点的已有知识往往很少或者不具备，这时只能借助生活经验及日常概念接纳概念，采取概念形成方式来学习。我们知道，每一数学概念在形成发展过程中都充满了直观的方法和大量辨证的思维，深刻揭示了某一类客观对象或事物的共同本质和特征，是人们从感性到理性认识事物的真实写照，给学生用概念形成方式接纳概念提供了丰富的资源，概念教学中运用数学史上概念发展的案例，既可以顺应人类知识的形成过程又能适应学生的认知规律。高师学生在开始接触概念教学时，由于对概念教学知之甚少，对概念的来龙去脉难以理清。因此在“数学教学论”关于概念教学研究中首先要让学生认知数学概念的历史发生原理，即通过一些概念的历史形成使学生认识到，个体对数学概念的认知发展过程与该概念的历史发展过程相似的规律。譬如说，学习代数的主要障碍在于理解和使用数学符号的意义，而数学符号缓慢的演变过程又告诉我们，数学符号的形成过程与人们的认知过程是相似的。因此，代数课程在有关数学符号的教学环节上应着重解析数学符号的历史发展过程。再如，j.m.keiser在对六年级学生对角概念的理解与角概念的历史对比研究中，得到了“学生对角概念的理解与角概念的历史是相似的”结论。从历史上看，古希腊人从两边之间的关系、质（形状和特征）和量（角的大小）三方面之一来定义角，但无论哪一种定义都未能完善地刻画这个概念。j.m. keiser通过对两个六年级班级几何（教材内容为“形状与图案”）课堂的观察，发现学生对角的理解也分成3种情形：（1）强调“质”的方面：一些学生认为，随着正多边形边数的增加，“角”越来越小；即形状越“尖”的“角”越小（2）强调“量”的方面：一些学生认为，边越长或者边所界区域越大，角越大：（3）强调“关系”方面：一些学生认为角是将一条边（终边）旋转后与始边之间的一种“关系”。又如f.cajori根据负数的历史得出结论：“在教代数的时候，给出负数的图形是十分重要的。如果我们不用线段、温度等来说明负数，那么现在的中学生就会与早期的代数学家一样认为他们是荒谬的东西”；j.p.ponte通过对函数历史的考察获得启示：在中学阶段，将函数概念定义为数集之间的对应关系是合适的；在中学数学中必须强调具有函数式的例子，将函数等同于解析式，不应被看作是一个大错误！在引入数学概念时以恰当的方式介绍其发展历史，有助于中学生从整体上把握数学概念的发展脉络，认识到概念演变修正过程与个体认知过程的相似性，对数学概念形成完整、恰当的认识，领悟数学思想的本质。并在领略数学家们为概念的日臻成熟所付出的艰辛与努力，以及所经受的困难与挫折的过程中体验人性化的数学。还有引入“对数”概念时可介绍j.napier发明“对数”的动人历史，使对数成为富有人性化的、而非枯燥无味的概念。因此，“数学教学论”关于概念教学的研究让学生从历史的角度深入认识数学概念的形成与发展的心理过程，将有助于今后在教学中针对中学生认知的心理特点设计最佳教学方案，提高概念教学的质量和效益。
二、引导学生进行基于数学史的数学命题、公式等数学结论教学案例设计，学会在教学中通过展示数学知识的
历史原创暴露数学思维过程的方法教学。
从某种意义上来说，数学理论的研究过程就是数学命题的证明（或证伪）以及以适当的方式将这些被证明的命题组织成理论体系。从数学活动角度来说，这种过程一般是需要多次反复的，要经历一个不断抽象、层层深人的过程。因此，数学教学既要教“结论”，更要教“过程”。既要重视数学内容的形式化，又要重视数学发现过程的经验性。而现行中学数学教材中许多内容都简化了概念和定理的提出过程，省略了发展、探索的过程，而这些概念、定理是如何被发现的，解决问题的方法又是如何构想的，对中学生来说有一种说不出来的神秘感和疑惑感．所以在数学教学论的教学中必须教育学生在未来的教学中应精心设计、模拟知识形成的原始思维，为学生创设问题情景，交给学生发现、创造的方法．
数学历史上定理的发现探索过程可以启迪学生掌握正确的学习方法，将逻辑推理还原为合情推理，将逻辑演绎追溯到归纳演绎；可以激励学生去发现规律，总结定理，从而极大地满足学生发现与发明的成就感，传统数学教材中缺少对数学定理形成过程的阐述与剖析，呈现的是一些完美的结论和严谨的推证过程，这将直接导致学生对学习数学失去主动性与创造性。因此，在数学教学论关于定理、公式、法则等内容的教学中，应适当介绍其历史上的发现探索历程及不同的证明方法，使学生学会在今后的教学中将数学家们发现数学结论的历史过程变成学生进行实验发现的过程，从而激发中学生的学习主动性与创造性。譬如；从古希腊数学家阿基米德使用“平衡法”推导球体积公式与我国古代数学家刘徽和祖冲之父子得到球体积的过程；欧拉解决哥尼斯堡七桥问题思路；牛顿、莱布尼兹等人发明微积分的过程的介绍中，都可以将数学家创造数学真理的思维过程活生生的展现在中学生面前，改变那种从公式到公式、从定理到定理的教学程式。还有古希腊、中国、印度、欧洲数学家等中外数学家在勾股定理的发现与证明中的几百种证明方法都深刻反映了数学结论发现的火热过程，充分暴露了数学家们发现数学结论的思维过程。在“数学教学论”的教学中教给学生恰当地设计基于数学史的教学案例，将案例程式化为实验、操作、发现结论等过程不仅将现行教材中数学结论的冰冷美丽还原为火热的思考，特别将数学实验引入数学课堂，使中学生学生通过“猜想——实验——再猜想——再实验——得出正确的结论——证明”过程体验，真正完成一个完整的知识建构过程。将是数学教学论课程教学实现的一个重要目标。
三、引导学生探讨数学史与数学教育结合的内涵，认识数学历史问题培养中学生人文精神的重要作用。
“体现数学的文化价值”是高中数学新课程的一个基本理念，新课程标准强调“数学文化应尽可能有机地结合高中数学课程内容，选择介绍一些对数学发展起重大作用的历史事件和人物，反映数学在人类社会进步、人类文明发展中的作用”。“数学教学论”充分体现新课程的这一理念，对于高师学生在未来的教学中培养中学生用文化的视野来看数学，用数学的眼光来看文化的意识或观念有着深刻的意义。
数学是几千年来全人类孜孜探索共同取得的宝贵财富，是各国数学家相互交流、学习、共同探索的智慧结晶．不同国度与民族的思维特点、价值观念使数学呈现出不同的特点．因此“数学教学论”在结合数学史进行数学人文教育中应遵循时空多元原则，突破时空局限来选择数学史内容，力求反映不同时期、不同国度、不同民族和不同文化背景的数学历史．譬如，中国古代数学长于计算与构造，诸如“孙子定理”“百鸡问题”“盈不足术”等内容具有中华民族传统文化特色且在国外有一定影响；古希腊数学长于演绎推理与论证，其公理化思想与方法在数学发展史上具有极其重要的地位与作用．选材时应打破封闭格局，将中外数学历史纳人视野．旨在引导学生尊重、理解、分享、欣赏多元文化下的数学，拓宽学生的视野，培养学生全方位的认知能力、思考的弹性与开放的心灵．
“数学教学论”与数学史结合的教学中还应使学生认识到，配合数学内容与要求所选取的数学史内容应既能被中学生理解，又能引起他们的兴趣．深奥难懂的数学史料自然达不到教育的目的，枯燥乏味的数学史料也同样起不到教育的作用．所选史料的内容与形式应不拘一格、灵活多样、题材典型、情节生动、发展曲折、引人人胜．就内容而言，可以是数学概念。数学符号、数学思想方法、历史著名问题甚至理论体系的发展历史；也可以是数学家的创新意识、献身精神、奋斗历程与独特个性；就形式而论，除文字表述史料外，更应突出图形、图表与图象史料．如数学家（如 archimedes、i．newton、l．euler、c．f．gauss、祖冲之、华罗庚、陈省身、苏步青、吴文俊等）的头像、数学图案（如勾股定理、l．eler公式、c．f．gauss复平面、黄金矩形、雪花曲线）、数学家的墓志铭（如 diophantus的年龄问题）和墓碑图案（如archimedes的圆柱球、j．bernoulli的对数螺线、c．f．gauss墓前塑像座上的正十七边形）．旨在帮助中学生学习数学，激发其学习热情，展现科学与人文精神。在数学问题配置与求解中可选择历史上不同时期、不同文化的一些著名数学问题，这此问题及其求解提供了相应数学内容的现实背景，揭示了实质性的数学思想方法，蕴涵了数学家为之奋斗的曲折历程与苦乐体验，展现了广阔而生动的人文背景。譬如，可选择几何《原本》、《九章算术》等经典名著中的问题；介绍我国赵爽、印度人、阿拉伯人和f.vieta在求方程
的根这一问题上的成就；在求解幂和问题时可介绍c.f.causs的方法、源于s.pythagoras的形数方法和杨辉的“垛积术”与“补差术”方法.在问题求解中应侧重对历史上所用各种数学思想方法进行比较分析，使学生了解不同文化背景中的数学思考方式，启发其数学思维，提升其数学欣赏能力，在社会历史文化与数学思维的双重熏陶下，获得数学认知活动的文化意义，在数学教育中实践多元文化关怀的理想。
关键词：数学教学论；数学史；教学
“数学教学论”是高等师范院校数学教育专业的一门重要必修课。在“数学教学论”教学过程中，如何有效调动学生学习和研究的积极性，使教学的内容、方式和方法贴近基础数学教学改革，历来是数学教育研究的热点问题。从目前基础数学教育改革的趋势来看，重视科学精神和人文精神的塑造已成为基础数学教育改革的方向。数学发展史中积淀的深厚传统文化和丰富数学思想方法是深化数学课堂教学改革的重要方面，“数学教学论”课程要充分反映基础数学教育改革的现实，其有效途径之一是在教学中加强与数学史相关内容的结合，广泛吸收国际国内数学史与数学教育结合（简称HPM）研究的最新成果，恰当运用数学史案例来充分展示数学知识思维过程和方法，提高学生有效将数学知识的科学形态转化为教育形态的能力。因此，在“数学教学论”教学中，恰当运用数学史料进行教学具有重要的现实意义与实践价值。本文就数学概念、数学命题和数学人文等教学与数学史结合的理论与实践进行探讨。
一、揭示数学概念认知过程与历史发展过程的相似性，使学生把握概念教学的心理特征。
概念教学是“数学教学论”研究的重要内容。心理学研究表明，学生获得概念的方式主要是概念形成或概念同化。由于中学生的认知结构处于发展过程之中，数学认知结构中的数学知识相对简单而具体，在学习新知识时，作为固着点的已有知识往往很少或者不具备，这时只能借助生活经验及日常概念接纳概念，采取概念形成方式来学习。我们知道，每一数学概念在形成发展过程中都充满了直观的方法和大量辨证的思维，深刻揭示了某一类客观对象或事物的共同本质和特征，是人们从感性到理性认识事物的真实写照，给学生用概念形成方式接纳概念提供了丰富的资源，概念教学中运用数学史上概念发展的案例，既可以顺应人类知识的形成过程又能适应学生的认知规律。高师学生在开始接触概念教学时，由于对概念教学知之甚少，对概念的来龙去脉难以理清。因此在“数学教学论”关于概念教学研究中首先要让学生认知数学概念的历史发生原理，即通过一些概念的历史形成使学生认识到，个体对数学概念的认知发展过程与该概念的历史发展过程相似的规律。譬如说，学习代数的主要障碍在于理解和使用数学符号的意义，而数学符号缓慢的演变过程又告诉我们，数学符号的形成过程与人们的认知过程是相似的。因此，代数课程在有关数学符号的教学环节上应着重解析数学符号的历史发展过程。再如，J.M.Keiser在对六年级学生对角概念的理解与角概念的历史对比研究中，得到了“学生对角概念的理解与角概念的历史是相似的”结论。从历史上看，古希腊人从两边之间的关系、质（形状和特征）和量（角的大小）三方面之一来定义角，但无论哪一种定义都未能完善地刻画这个概念。J.M.Keiser通过对两个六年级班级几何（教材内容为“形状与图案”）课堂的观察，发现学生对角的理解也分成3种情形：（1）强调“质”的方面：一些学生认为，随着正多边形边数的增加，“角”越来越小；即形状越“尖”的“角”越小（2）强调“量”的方面：一些学生认为，边越长或者边所界区域越大，角越大：（3）强调“关系”方面：一些学生认为角是将一条边（终边）旋转后与始边之间的一种“关系”。又如F.Cajori根据负数的历史得出结论：“在教代数的时候，给出负数的图形是十分重要的。如果我们不用线段、温度等来说明负数，那么现在的中学生就会与早期的代数学家一样认为他们是荒谬的东西”；J.P.Ponte通过对函数历史的考察获得启示：在中学阶段，将函数概念定义为数集之间的对应关系是合适的；在中学数学中必须强调具有函数式的例子，将函数等同于解析式，不应被看作是一个大错误！在引入数学概念时以恰当的方式介绍其发展历史，有助于中学生从整体上把握数学概念的发展脉络，认识到概念演变修正过程与个体认知过程的相似性，对数学概念形成完整、恰当的认识，领悟数学思想的本质。并在领略数学家们为概念的日臻成熟所付出的艰辛与努力，以及所经受的困难与挫折的过程中体验人性化的数学。还有引入“对数”概念时可介绍J.Napier发明“对数”的动人历史，使对数成为富有人性化的、而非枯燥无味的概念。因此，“数学教学论”关于概念教学的研究让学生从历史的角度深入认识数学概念的形成与发展的心理过程，将有助于今后在教学中针对中学生认知的心理特点设计最佳教学方案，提高概念教学的质量和效益。
二、引导学生进行基于数学史的数学命题、公式等数学结论教学案例设计，学会在教学中通过展示数学知识的历史原创暴露数学思维过程的方法教学。
从某种意义上来说，数学理论的研究过程就是数学命题的证明（或证伪）以及以适当的方式将这些被证明的命题组织成理论体系。从数学活动角度来说，这种过程一般是需要多次反复的，要经历一个不断抽象、层层深人的过程。因此，数学教学既要教“结论”，更要教“过程”。既要重视数学内容的形式化，又要重视数学发现过程的经验性。而现行中学数学教材中许多内容都简化了概念和定理的提出过程，省略了发展、探索的过程，而这些概念、定理是如何被发现的，解决问题的方法又是如何构想的，对中学生来说有一种说不出来的神秘感和疑惑感．所以在数学教学论的教学中必须教育学生在未来的教学中应精心设计、模拟知识形成的原始思维，为学生创设问题情景，交给学生发现、创造的方法．
数学历史上定理的发现探索过程可以启迪学生掌握正确的学习方法，将逻辑推理还原为合情推理，将逻辑演绎追溯到归纳演绎；可以激励学生去发现规律，总结定理，从而极大地满足学生发现与发明的成就感，传统数学教材中缺少对数学定理形成过程的阐述与剖析，呈现的是一些完美的结论和严谨的推证过程，这将直接导致学生对学习数学失去主动性与创造性。因此，在数学教学论关于定理、公式、法则等内容的教学中，应适当介绍其历史上的发现探索历程及不同的证明方法，使学生学会在今后的教学中将数学家们发现数学结论的历史过程变成学生进行实验发现的过程，从而激发中学生的学习主动性与创造性。譬如；从古希腊数学家阿基米德使用“平衡法”推导球体积公式与我国古代数学家刘徽和祖冲之父子得到球体积的过程；欧拉解决哥尼斯堡七桥问题思路；牛顿、莱布尼兹等人发明微积分的过程的介绍中，都可以将数学家创造数学真理的思维过程活生生的展现在中学生面前，改变那种从公式到公式、从定理到定理的教学程式。还有古希腊、中国、印度、欧洲数学家等中外数学家在勾股定理的发现与证明中的几百种证明方法都深刻反映了数学结论发现的火热过程，充分暴露了数学家们发现数学结论的思维过程。在“数学教学论”的教学中教给学生恰当地设计基于数学史的教学案例，将案例程式化为实验、操作、发现结论等过程不仅将现行教材中数学结论的冰冷美丽还原为火热的思考，特别将数学实验引入数学课堂，使中学生学生通过“猜想——实验——再猜想——再实验——得出正确的结论——证明”过程体验，真正完成一个完整的知识建构过程。将是数学教学论课程教学实现的一个重要目标。
三、引导学生探讨数学史与数学教育结合的内涵，认识数学历史问题培养中学生人文精神的重要作用。
“体现数学的文化价值”是高中数学新课程的一个基本理念，新课程标准强调“数学文化应尽可能有机地结合高中数学课程内容，选择介绍一些对数学发展起重大作用的历史事件和人物，反映数学在人类社会进步、人类文明发展中的作用”。“数学教学论”充分体现新课程的这一理念，对于高师学生在未来的教学中培养中数学是几千年来全人类孜孜探索共同取得的宝贵财富，是各国数学家相互交流、学习、共同探索的智慧结晶．不同国度与民族的思维特点、价值观念使数学呈现出不同的特点．因此“数学教学论”在结合数学史进行数学人文教育中应遵循时空多元原则，突破时空局限来选择数学史内容，力求反映不同时期、不同国度、不同民族和不同文化背景的数学历史．譬如，中国古代数学长于计算与构造，诸如“孙子定理”“百鸡问题”“盈不足术”等内容具有中华民族传统文化特色且在国外有一定影响；古希腊数学长于演绎推理与论证，其公理化思想与方法在数学发展史上具有极其重要的地位与作用．选材时应打破封闭格局，将中外数学历史纳人视野．旨在引导学生尊重、理解、分享、欣赏多元文化下的数学，拓宽学生的视野，培养学生全方位的认知能力、思考的弹性与开放的心灵．
“数学教学论”与数学史结合的教学中还应使学生认识到，配合数学内容与要求所选取的数学史内容应既能被中学生理解，又能引起他们的兴趣．深奥难懂的数学史料自然达不到教育的目的，枯燥乏味的数学史料也同样起不到教育的作用．所选史料的内容与形式应不拘一格、灵活多样、题材典型、情节生动、发展曲折、引人人胜．就内容而言，可以是数学概念。数学符号、数学思想方法、历史著名问题甚至理论体系的发展历史；也可以是数学家的创新意识、献身精神、奋斗历程与独特个性；就形式而论，除文字表述史料外，更应突出图形、图表与图象史料．如数学家（如Archimedes、I．Newton、L．Euler、C．F．Gauss、祖冲之、华罗庚、陈省身、苏步青、吴文俊等）的头像、数学图案（如勾股定理、L．Eler公式、C．F．Gauss复平面、黄金矩形、雪花曲线）、数学家的墓志铭（如Diophantus的年龄问题）和墓碑图案（如Archimedes的圆柱球、J．Bernoulli的对数螺线、C．F．Gauss墓前塑像座上的正十七边形）．旨在帮助中学生学习数学，激发其学习热情，展现科学与人文精神。在数学问题配置与求解中可选择历史上不同时期、不同文化的一些著名数学问题，这此问题及其求解提供了相应数学内容的现实背景，揭示了实质性的数学思想方法，蕴涵了数学家为之奋斗的曲折历程与苦乐体验，展现了广阔而生动的人文背景。譬如，可选择几何《原本》、《九章算术》等经典名著中的问题；介绍我国赵爽、印度人、阿拉伯人和F.vieta在求方程的根这一问题上的成就；在求解幂和问题时可介绍C.F.Causs的方法、源于S.Pythagoras的形数方法和杨辉的“垛积术”与“补差术”方法.在问题求解中应侧重对历史上所用各种数学思想方法进行比较分析，使学生了解不同文化背景中的数学思考方式，启发其数学思维，提升其数学欣赏能力，在社会历史文化与数学思维的双重熏陶下，获得数学认知活动的文化意义，在数学教育中实践多元文化关怀的理想。
中国历史是一部多民族的共同史。从殷墟甲骨文研究来看，夏商周时期，就有夏、蛮、夷、戎、狄等民族集团。到秦汉时期，以华夏族为主体，融合了部分少数民族而形成汉族。秦汉魏晋南北朝时期的匈奴、羌、鲜卑、西域诸族，都对中国历史产生重要影响。隋唐与宋辽金时期，突厥、回纥、契丹、党项、蒙古等民族的兴起，对古代中国产生了更为深远影响。元朝是由蒙古族建立的全国统一性政权。明朝时，北方的鞑靼、瓦剌与明王朝长期处于或对立、或交往的互动关系中。清朝则是由崛起于东北的满族人建立的全国统一性政权。因此，中国历史是一部多民族的共同史，是在历史的长河中，汉族同其他少数民族相互碰撞、融合、推进的一部发展史。因此，历史学本科生的中国古代史教材，以辩证唯物主义和历史唯物主义理论为指导，按照中国历史是一部多民族共同史的历史实际编写而成。
以翦伯赞主编的《中国史纲要》的古代史部分为例，总体上按照原始社会、奴隶社会、封建社会发展进程编写。从内容编写主线来看，按照中国历史上，以时间为基本序列，在中原建立的王朝的形成、发展、更替为叙写主体，内容包括政治制度、经济、文化、阶层与农民运动、科学艺术、中外交流等。同时，《中国史纲要》对汉族建立的诸王朝史的叙述中，“边境各民族”的历史及汉族王朝同少数民族的关系史都占有一定分量。十六国、北朝和辽、金、西夏是在中国历史不同时期，北方少数民族建立的民族政权，《纲要》中也有相当的书写分量。元、清分别是蒙古族和满族建立的两个大一统的全国性王朝，其历史不仅是蒙古族和满族的历史，也包括在人口上占绝大多数的汉族在内的各民族的共同历史，其书写分量、地位同周秦汉唐史一致。从现在各高校使用的《中国古代史》教材来看，以在古代亚洲东部的黄河、长江流域为核心地域，形成控制辐射周边广大地域的大一统或者局部统一的王朝为书写主体，同时兼顾周边少数民族历史的叙写方式，是符合中国历史发展演进规律，符合马克思主义史观，体现了中国历史是一部多民族共同史的历史实际。
在中国古代史教学实际中，有学者认为，“由于受各种教材的局限，教学过程中涉及的民族问题总是意犹未尽，加之教材编纂过程中太过强调汉民族的中央政权，故涉及民族史部分的内容总会让学生产生一些错误的认识与判断”，因此，在中国古代史教学中应适当增加补充各民族友好交往、各少数民族文化介绍以及少数民族政权等内容。那么，我们如何来看待这样的观点呢？中国历史源远流长，要想在中国古代史的教学中，将一部多民族史面面俱到，恐怕难以完成任务。同时，汉民族及其所建立的中央政权，在历史发展过程中，起到核心凝聚作用，在多元一体格局中起到网络骨架作用，所形成的文明史不但具有象征性，也是记述历史发展的标杆，离开了这些，就连最基本的历史时序问题都难以厘清。因此，现行的中国古代史教材既尊重了历史实事，也是马克思主义史观指导下得出的正确结论。如果不坚持历史主义，不坚持中国历史实事来讲民族问题，反而“会让学生产生一些错误的认识与判断”。但这一问题的提出并非没有其讨论价值。中国古代史教学价值目标是：通过中国古代史教学，使学生掌握中国历史发展时序，掌握中国历史发展规律，培养历史学科基本思维方式，实现对传统文化的正确认识，培养国家认同感和爱国主义精神。正因此，中国古代史在书写时，“各民族友好交往”、“各少数民族文化介绍”、“少数民族政权”等都有相应分量涉及，但要达到深入探讨下去，仅靠中国古代史的教学难以胜任，必然会产生“意犹未尽”之感。同时，随着历史教学课程体系的改革，历史学本科教学中，已经将中国古代史的教学课时进行了缩减。一些重点院校将中国古代史教学“开设于大学一年级，分上下两学期讲授自史前时期至隋唐、五代至清前期的历史，共计144学时”，已经成为一种合理趋势。因此，在原有中国古代史整体编纂结构中，已经将少数民族史纳入到整体史内容中的现状下，再加大“各民族友好交往”、“各少数民族文化介绍”、“少数民族政权”等内容分量，从中国古代史的整体结构及教学实际等方面来看，都是难以完成的教学任务。因此，民族史在中国古代史编写和教学中占有相应的分量，并体现在教学过程中，是一个不争的事实。那么民族史是中国历史的重要组成部分又如何进一步充分体现呢？本文认为，民族史除在中国古代史教学中，按照教材编写规划进行充分讲授外，还应在历史教学过程中，设立专门的民族史课程，供本科生选修或者必修。唯此，中国古代史内容和教学所谓的“民族问题”也就不存在了，还可以深入对“各民族友好交往”、“各少数民族文化介绍”、“少数民族政权”等内容进行深入探讨，可谓一举两得。
2民族史研究、教学的核心内容
民族史是指民族发展的历史和对这一历史的记述与认识，是民族这一主体在客观世界的历史过程中形成、发展与变化的轨迹，也是民族发展过程这一客体在人们对全部历史认识中的反映和记述。民族史研究的内容应包括古今各民族的生产、生活、政治、文化以及民族间相互关系的形成史、变迁史、发展史，包括各民族的起源史、社会史、政治史、经济史、文化史、军事史、人口史等等，既有纵向演变过程，又有横向发展联系。从目前中国民族史研究的对象来看，主要有各民族形成与发展史；各民族文化及其对中华文化的贡献；历史上的民族关系；各民族专史研究，如经济史、文化史、军事史、宗教史等；中华民族形成研究；疆域史与边政史研究；民族语言文字和历史文献的整理与研究；民族史和史学理论研究等。从20世纪初，民族史作为一个专门的学科体系建立至今，已经取得了丰硕成果，为民族史的研究和教学提供了知识体系和理论支撑。以目前民族史教学的参考书，陈连开的《中国民族史纲要》、罗贤佑的《中国民族史纲要》为例，简要说明。陈连开的《中国民族史纲要》以汉文文献记述的材料与考古学、民族学、民族语言学等多方面的材料和研究成果相结合，同时尽可能挖掘少数民族文字的文献记载与之相互印证，简明扼要地叙述、印证各民族历史发展和各民族的历史如何构成中国历史不可分割的一部分以及各民族对中国历史所作的贡献，内容丰富而分量适中，既能较好反映民族史研究的核心内容和重要成果，又能指导将民族史核心内容在教学中实施、贯彻。罗贤佑的《中国民族史纲要》在借鉴有关教材的基础上，综合前人的研究成果，博采众家之长，比较全面、系统、简要地阐述了自远古至民国时期中国各民族形成、发展的历史进程，体现中国民族发展时序感，体现中国多民族国家的发展历程，值得在民族史教学中借鉴。
从目前指导民族史教学的理论观念来看，唯物主义历史观仍然是民族史教学必须坚持的根本理论观念。唯物史观对分析中国历史上各民族社会发展的宏观规律有着不可替代的科学性和合理性，是把握民族社会发展趋势的一把基本理论尺度。在具体民族研究中，又有多学科理论，如社会学、民族学、人类学、语言学、考古学、经济学等理论与方法运用到民族史的研究中，也就决定着在民族史教学的理论观念要在中观、微观层面进一步丰富，开阔眼界，将多学科视角引入到民族史教学中来。当然，无论运用何种理论和方式对民族史进行研究，无论学科如何交叉，只能是理论和方法的创新，并不能改变民族史的历史学范畴，因此，一些学者提出，在“在民族史教学中灌注‘通史精神’”，值得肯定。从具体教学实践来看，将民族史同区域史、地方史有机结合的方式，展开民族史的教学，既符合民族历史、现实活动的区域、地方实际，又利用了当地的民族文化遗存资源，是一个非常有益的教学途径，值得借鉴。如西北师范大学田澍教授《以西北区域史教学为突破口，推动历史学特色专业建设—西北师范大学生历史学本科教学改革的实践》、罗彩娟《<中国少数民族史>课程教学方法探讨》等，是将区域史同民族史结合，运用到民族史教学中的范例。钱放《谈地方史、民族史与中学历史教学的关系—中学<新疆地方史>教学中的几个基本问题》，是20世纪90年表的文章，谈中学历史教学问题，但对大学民族史教学仍有观念和方法上的启示。因此，民族史研究的内容、方法、理论都已经达到较高水平，又有了大量的具体的民族史教学实践经验，为在历史学本科生中，普遍开展民族史教学准备了充足的条件。
3民族史教学对历史学本科生基本专业素质的培养
民族史教学是历史学本科课程教学体系中的一个部分环节，但如何更加清楚看待民族史教学的价值与作用，仍然要放在历史学本科生专业培养与职业选择的这一整体过程中来考察。历史学科是一个传统学科，受这一学科体系特征影响，专业与职业问题，必然会受到目前“‘市场导向’所引发的‘史学危机’，已经深刻体现在高校历史学科的人才培养上”，这一大背景的影响。下面举两个地方高校历史学专业近年来毕业生就业流向情况案例作进一步分析探讨。综合国内设有历史学本科专业的高校情况来看，将专业人才培养目标定为：为有关的教学、科研、编辑出版、图书情报、行政、外事、媒体以及文化建设等社会各领域，培养所需的历史文化专业人才。各院校在具体培养目标设定上，师范院校，尤其是地方师范院校，将“为中小学培养从事历史和历史综合类课程教学的专业教师”作为主要目标；综合类的大学则将培养目标设定的较为宽泛。如果按照美国历史学人才培养模式来划分，国内各院校培养的历史学本科生大多属于公共历史学人才范畴。因此，本科历史学人才从总体就业分布上看，同社会的接触面更为贴近和广泛，其历史学科素质及其所形成的历史价值观对社会影响也更为直接。所以，培养历史学本科生具有较系统的史学思维、综合分析能力、认同感、爱国主义精神，促进民族间的理解与尊重等学科素质和正确的价值观，就显得非常重要。具体来说，民族史教学对历史学本科生专业素质培养和提升，有着非常现实和长远的意义。
目前，各民族在自己的发展历史中留下丰富、多样的历史文化遗址、遗存，大多已被保护和开发，成为历史博物馆、纪念馆、爱国主义教学基地、影视商业基地等，并创造了相当数量的就业岗位。因此，加强历史学本科生的民族历史文化素养，既可以满足社会需求，又可以拓宽就业口径，可谓一举两得。其二，具有较高民族史素养的历史学人才，具有宣传民族团结的专业岗位优势。无论是历史教师、历史遗址、博物馆等工作人员，在同公众“亲密接触”的具体工作中，从专业视角，运用正确的民族观，对人们进行国家认同、爱国主义精神、民族间的理解和尊重教育，具有得天独厚的条件。其三，政府、服务管理部门中，具有较高民族史素养的历史学专业背景的工作者，因其具有较好分析民族历史信息的能力，可以帮助正确处理民族问题，减少工作偏差。
关键词：数学教学论；数学史；教学
“数学教学论”是高等师范院校数学教育专业的一门重要必修课。在“数学教学论”教学过程中，如何有效调动学生学习和研究的积极性，使教学的内容、方式和方法贴近基础数学教学改革，历来是数学教育研究的热点问题。从目前基础数学教育改革的趋势来看，重视科学精神和人文精神的塑造已成为基础数学教育改革的方向。数学发展史中积淀的深厚传统文化和丰富数学思想方法是深化数学课堂教学改革的重要方面，“数学教学论”课程要充分反映基础数学教育改革的现实，其有效途径之一是在教学中加强与数学史相关内容的结合，广泛吸收国际国内数学史与数学教育结合（简称HPM）研究的最新成果，恰当运用数学史案例来充分展示数学知识思维过程和方法，提高学生有效将数学知识的科学形态转化为教育形态的能力。因此，在“数学教学论”教学中，恰当运用数学史料进行教学具有重要的现实意义与实践价值。本文就数学概念、数学命题和数学人文等教学与数学史结合的理论与实践进行探讨。
一、揭示数学概念认知过程与历史发展过程的相似性，使学生把握概念教学的心理特征。
概念教学是“数学教学论”研究的重要内容。心理学研究表明，学生获得概念的方式主要是概念形成或概念同化。由于中学生的认知结构处于发展过程之中，数学认知结构中的数学知识相对简单而具体，在学习新知识时，作为固着点的已有知识往往很少或者不具备，这时只能借助生活经验及日常概念接纳概念，采取概念形成方式来学习。我们知道，每一数学概念在形成发展过程中都充满了直观的方法和大量辨证的思维，深刻揭示了某一类客观对象或事物的共同本质和特征，是人们从感性到理性认识事物的真实写照，给学生用概念形成方式接纳概念提供了丰富的资源，概念教学中运用数学史上概念发展的案例，既可以顺应人类知识的形成过程又能适应学生的认知规律。高师学生在开始接触概念教学时，由于对概念教学知之甚少，对概念的来龙去脉难以理清。因此在“数学教学论”关于概念教学研究中首先要让学生认知数学概念的历史发生原理，即通过一些概念的历史形成使学生认识到，个体对数学概念的认知发展过程与该概念的历史发展过程相似的规律。譬如说，学习代数的主要障碍在于理解和使用数学符号的意义，而数学符号缓慢的演变过程又告诉我们，数学符号的形成过程与人们的认知过程是相似的。因此，代数课程在有关数学符号的教学环节上应着重解析数学符号的历史发展过程。再如，J.M.Keiser在对六年级学生对角概念的理解与角概念的历史对比研究中，得到了“学生对角概念的理解与角概念的历史是相似的”结论。从历史上看，古希腊人从两边之间的关系、质（形状和特征）和量（角的大小）三方面之一来定义角，但无论哪一种定义都未能完善地刻画这个概念。J.M. Keiser通过对两个六年级班级几何（教材内容为“形状与图案”）课堂的观察，发现学生对角的理解也分成3种情形：
（1）强调“质”的方面：一些学生认为，随着正多边形边数的增加，“角”越来越小；即形状越“尖”的“角”越小
（2）强调“量”的方面：一些学生认为，边越长或者边所界区域越大，角越大：
（3）强调“关系”方面：一些学生认为角是将一条边（终边）旋转后与始边之间的一种“关系”。
又如F.Cajori根据负数的历史得出结论：“在教代数的时候，给出负数的图形是十分重要的。如果我们不用线段、温度等来说明负数，那么现在的中学生就会与早期的代数学家一样认为他们是荒谬的东西”；J.P.Ponte通过对函数历史的考察获得启示：在中学阶段，将函数概念定义为数集之间的对应关系是合适的；在中学数学中必须强调具有函数式的例子，将函数等同于解析式，不应被看作是一个大错误！在引入数学概念时以恰当的方式介绍其发展历史，有助于中学生从整体上把握数学概念的发展脉络，认识到概念演变修正过程与个体认知过程的相似性，对数学概念形成完整、恰当的认识，领悟数学思想的本质。并在领略数学家们为概念的日臻成熟所付出的艰辛与努力，以及所经受的困难与挫折的过程中体验人性化的数学。还有引入“对数”概念时可介绍J.Napier发明“对数”的动人历史，使对数成为富有人性化的、而非枯燥无味的概念。因此，“数学教学论”关于概念教学的研究让学生从历史的角度深入认识数学概念的形成与发展的心理过程，将有助于今后在教学中针对中学生认知的心理特点设计最佳教学方案，提高概念教学的质量和效益。
二、引导学生进行基于数学史的数学命题、公式等数学结论教学案例设计，学会在教学中通过展示数学知识的
历史原创暴露数学思维过程的方法教学。
从某种意义上来说，数学理论的研究过程就是数学命题的证明（或证伪）以及以适当的方式将这些被证明的命题组织成理论体系。从数学活动角度来说，这种过程一般是需要多次反复的，要经历一个不断抽象、层层深人的过程。因此，数学教学既要教“结论”，更要教“过程”。既要重视数学内容的形式化，又要重视数学发现过程的经验性。而现行中学数学教材中许多内容都简化了概念和定理的提出过程，省略了发展、探索的过程，而这些概念、定理是如何被发现的，解决问题的方法又是如何构想的，对中学生来说有一种说不出来的神秘感和疑惑感．所以在数学教学论的教学中必须教育学生在未来的教学中应精心设计、模拟知识形成的原始思维，为学生创设问题情景，交给学生发现、创造的方法． 数学历史上定理的发现探索过程可以启迪学生掌握正确的学习方法，将逻辑推理还原为合情推理，将逻辑演绎追溯到归纳演绎；可以激励学生去发现规律，总结定理，从而极大地满足学生发现与发明的成就感，传统数学教材中缺少对数学定理形成过程的阐述与剖析，呈现的是一些完美的结论和严谨的推证过程，这将直接导致学生对学习数学失去主动性与创造性。因此，在数学教学论关于定理、公式、法则等内容的教学中，应适当介绍其历史上的发现探索历程及不同的证明方法，使学生学会在今后的教学中将数学家们发现数学结论的历史过程变成学生进行实验发现的过程，从而激发中学生的学习主动性与创造性。譬如；从古希腊数学家阿基米德使用“平衡法”推导球体积公式与我国古代数学家刘徽和祖冲之父子得到球体积的过程；欧拉解决哥尼斯堡七桥问题思路；牛顿、莱布尼兹等人发明微积分的过程的介绍中，都可以将数学家创造数学真理的思维过程活生生的展现在中学生面前，改变那种从公式到公式、从定理到定理的教学程式。还有古希腊、中国、印度、欧洲数学家等中外数学家在勾股定理的发现与证明中的几百种证明方法都深刻反映了数学结论发现的火热过程，充分暴露了数学家们发现数学结论的思维过程。在“数学教学论”的教学中教给学生恰当地设计基于数学史的教学案例，将案例程式化为实验、操作、发现结论等过程不仅将现行教材中数学结论的冰冷美丽还原为火热的思考，特别将数学实验引入数学课堂，使中学生学生通过“猜想——实验——再猜想——再实验——得出正确的结论——证明”过程体验，真正完成一个完整的知识建构过程。将是数学教学论课程教学实现的一个重要目标。
三、引导学生探讨数学史与数学教育结合的内涵，认识数学历史问题培养中学生人文精神的重要作用。
“体现数学的文化价值”是高中数学新课程的一个基本理念，新课程标准强调“数学文化应尽可能有机地结合高中数学课程内容，选择介绍一些对数学发展起重大作用的历史事件和人物，反映数学在人类社会进步、人类文明发展中的作用”。“数学教学论”充分体现新课程的这一理念，对于高师学生在未来的教学中培养中学生用文化的视野来看数学，用数学的眼光来看文化的意识或观念有着深刻的意义。
数学是几千年来全人类孜孜探索共同取得的宝贵财富，是各国数学家相互交流、学习、共同探索的智慧结晶．不同国度与民族的思维特点、价值观念使数学呈现出不同的特点．因此“数学教学论”在结合数学史进行数学人文教育中应遵循时空多元原则，突破时空局限来选择数学史内容，力求反映不同时期、不同国度、不同民族和不同文化背景的数学历史．譬如，中国古代数学长于计算与构造，诸如“孙子定理”“百鸡问题”“盈不足术”等内容具有中华民族传统文化特色且在国外有一定影响；古希腊数学长于演绎推理与论证，其公理化思想与方法在数学发展史上具有极其重要的地位与作用．选材时应打破封闭格局，将中外数学历史纳人视野．旨在引导学生尊重、理解、分享、欣赏多元文化下的数学，拓宽学生的视野，培养学生全方位的认知能力、思考的弹性与开放的心灵．
“数学教学论”与数学史结合的教学中还应使学生认识到，配合数学内容与要求所选取的数学史内容应既能被中学生理解，又能引起他们的兴趣．深奥难懂的数学史料自然达不到教育的目的，枯燥乏味的数学史料也同样起不到教育的作用．所选史料的内容与形式应不拘一格、灵活多样、题材典型、情节生动、发展曲折、引人人胜．就内容而言，可以是数学概念。数学符号、数学思想方法、历史著名问题甚至理论体系的发展历史；也可以是数学家的创新意识、献身精神、奋斗历程与独特个性；就形式而论，除文字表述史料外，更应突出图形、图表与图象史料．如数学家（如 Archimedes、I．Newton、L．Euler、C．F．Gauss、祖冲之、华罗庚、陈省身、苏步青、吴文俊等）的头像、数学图案（如勾股定理、L．Eler公式、C．F．Gauss复平面、黄金矩形、雪花曲线）、数学家的墓志铭（如 Diophantus的年龄问题）和墓碑图案（如Archimedes的圆柱球、J．Bernoulli的对数螺线、C．F．Gauss墓前塑像座上的正十七边形）．旨在帮助中学生学习数学，激发其学习热情，展现科学与人文精神。在数学问题配置与求解中可选择历史上不同时期、不同文化的一些著名数学问题，这此问题及其求解提供了相应数学内容的现实背景，揭示了实质性的数学思想方法，蕴涵了数学家为之奋斗的曲折历程与苦乐体验，展现了广阔而生动的人文背景。譬如，可选择几何《原本》、《九章算术》等经典名著中的问题；介绍我国赵爽、印度人、阿拉伯人和F.vieta在求方程的根这一问题上的成就；在求解幂和问题时可介绍C.F.Causs的方法、源于S.Pythagoras的形数方法和杨辉的“垛积术”与“补差术”方法.在问题求解中应侧重对历史上所用各种数学思想方法进行比较分析，使学生了解不同文化背景中的数学思考方式，启发其数学思维，提升其数学欣赏能力，在社会历史文化与数学思维的双重熏陶下，获得数学认知活动的文化意义，在数学教育中实践多元文化关怀的理想。
关键词：数学教学论；数学史；教学
“数学教学论”是高等师范院校数学教育专业的一门重要必修课。在“数学教学论”教学过程中，如何有效调动学生学习和研究的积极性，使教学的内容、方式和方法贴近基础数学教学改革，历来是数学教育研究的热点问题。从目前基础数学教育改革的趋势来看，重视科学精神和人文精神的塑造已成为基础数学教育改革的方向。数学发展史中积淀的深厚传统文化和丰富数学思想方法是深化数学课堂教学改革的重要方面，“数学教学论”课程要充分反映基础数学教育改革的现实，其有效途径之一是在教学中加强与数学史相关内容的结合，广泛吸收国际国内数学史与数学教育结合（简称hpm）研究的最新成果，恰当运用数学史案例来充分展示数学知识思维过程和方法，提高学生有效将数学知识的科学形态转化为教育形态的能力。因此，在“数学教学论”教学中，恰当运用数学史料进行教学具有重要的现实意义与实践价值。本文就数学概念、数学命题和数学人文等教学与数学史结合的理论与实践进行探讨。
一、揭示数学概念认知过程与历史发展过程的相似性，使学生把握概念教学的心理特征。
概念教学是“数学教学论”研究的重要内容。心理学研究表明，学生获得概念的方式主要是概念形成或概念同化。由于中学生的认知结构处于发展过程之中，数学认知结构中的数学知识相对简单而具体，在学习新知识时，作为固着点的已有知识往往很少或者不具备，这时只能借助生活经验及日常概念接纳概念，采取概念形成方式来学习。我们知道，每一数学概念在形成发展过程中都充满了直观的方法和大量辨证的思维，深刻揭示了某一类客观对象或事物的共同本质和特征，是人们从感性到理性认识事物的真实写照，给学生用概念形成方式接纳概念提供了丰富的资源，概念教学中运用数学史上概念发展的案例，既可以顺应人类知识的形成过程又能适应学生的认知规律。高师学生在开始接触概念教学时，由于对概念教学知之甚少，对概念的来龙去脉难以理清。因此在“数学教学论”关于概念教学研究中首先要让学生认知数学概念的历史发生原理，即通过一些概念的历史形成使学生认识到，个体对数学概念的认知发展过程与该概念的历史发展过程相似的规律。譬如说，学习代数的主要障碍在于理解和使用数学符号的意义，而数学符号缓慢的演变过程又告诉我们，数学符号的形成过程与人们的认知过程是相似的。因此，代数课程在有关数学符号的教学环节上应着重解析数学符号的历史发展过程。再如，j.m.keiser在对六年级学生对角概念的理解与角概念的历史对比研究中，得到了“学生对角概念的理解与角概念的历史是相似的”结论。从历史上看，古希腊人从两边之间的关系、质（形状和特征）和量（角的大小）三方面之一来定义角，但无论哪一种定义都未能完善地刻画这个概念。j.m. keiser通过对两个六年级班级几何（教材内容为“形状与图案”）课堂的观察，发现学生对角的理解也分成3种情形：（1）强调“质”的方面：一些学生认为，随着正多边形边数的增加，“角”越来越小；即形状越“尖”的“角”越小（2）强调“量”的方面：一些学生认为，边越长或者边所界区域越大，角越大：（3）强调“关系”方面：一些学生认为角是将一条边（终边）旋转后与始边之间的一种“关系”。又如f.cajori根据负数的历史得出结论：“在教代数的时候，给出负数的图形是十分重要的。如果我们不用线段、温度等来说明负数，那么现在的中学生就会与早期的代数学家一样认为他们是荒谬的东西”；j.p.ponte通过对函数历史的考察获得启示：在中学阶段，将函数概念定义为数集之间的对应关系是合适的；在中学数学中必须强调具有函数式的例子，将函数等同于解析式，不应被看作是一个大错误！在引入数学概念时以恰当的方式介绍其发展历史，有助于中学生从整体上把握数学概念的发展脉络，认识到概念演变修正过程与个体认知过程的相似性，对数学概念形成完整、恰当的认识，领悟数学思想的本质。并在领略数学家们为概念的日臻成熟所付出的艰辛与努力，以及所经受的困难与挫折的过程中体验人性化的数学。还有引入“对数”概念时可介绍j.napier发明“对数”的动人历史，使对数成为富有人性化的、而非枯燥无味的概念。因此，“数学教学论”关于概念教学的研究让学生从历史的角度深入认识数学概念的形成与发展的心理过程，将有助于今后在教学中针对中学生认知的心理特点设计最佳教学方案，提高概念教学的质量和效益。
二、引导学生进行基于数学史的数学命题、公式等数学结论教学案例设计，学会在教学中通过展示数学知识的
历史原创暴露数学思维过程的方法教学。
从某种意义上来说，数学理论的研究过程就是数学命题的证明（或证伪）以及以适当的方式将这些被证明的命题组织成理论体系。从数学活动角度来说，这种过程一般是需要多次反复的，要经历一个不断抽象、层层深人的过程。因此，数学教学既要教“结论”，更要教“过程”。既要重视数学内容的形式化，又要重视数学发现过程的经验性。而现行中学数学教材中许多内容都简化了概念和定理的提出过程，省略了发展、探索的过程，而这些概念、定理是如何被发现的，解决问题的方法又是如何构想的，对中学生来说有一种说不出来的神秘感和疑惑感．所以在数学教学论的教学中必须教育学生在未来的教学中应精心设计、模拟知识形成的原始思维，为学生创设问题情景，交给学生发现、创造的方法．
数学历史上定理的发现探索过程可以启迪学生掌握正确的学习方法，将逻辑推理还原为合情推理，将逻辑演绎追溯到归纳演绎；可以激励学生去发现规律，总结定理，从而极大地满足学生发现与发明的成就感，传统数学教材中缺少对数学定理形成过程的阐述与剖析，呈现的是一些完美的结论和严谨的推证过程，这将直接导致学生对学习数学失去主动性与创造性。因此，在数学教学论关于定理、公式、法则等内容的教学中，应适当介绍其历史上的发现探索历程及不同的证明方法，使学生学会在今后的教学中将数学家们发现数学结论的历史过程变成学生进行实验发现的过程，从而激发中学生的学习主动性与创造性。譬如；从古希腊数学家阿基米德使用“平衡法”推导球体积公式与我国古代数学家刘徽和祖冲之父子得到球体积的过程；欧拉解决哥尼斯堡七桥问题思路；牛顿、莱布尼兹等人发明微积分的过程的介绍中，都可以将数学家创造数学真理的思维过程活生生的展现在中学生面前，改变那种从公式到公式、从定理到定理的教学程式。还有古希腊、中国、印度、欧洲数学家等中外数学家在勾股定理的发现与证明中的几百种证明方法都深刻反映了数学结论发现的火热过程，充分暴露了数学家们发现数学结论的思维过程。在“数学教学论”的教学中教给学生恰当地设计基于数学史的教学案例，将案例程式化为实验、操作、发现结论等过程不仅将现行教材中数学结论的冰冷美丽还原为火热的思考，特别将数学实验引入数学课堂，使中学生学生通过“猜想——实验——再猜想——再实验——得出正确的结论——证明”过程体验，真正完成一个完整的知识建构过程。将是数学教学论课程教学实现的一个重要目标。
三、引导学生探讨数学史与数学教育结合的内涵，认识数学历史问题培养中学生人文精神的重要作用。
“体现数学的文化价值”是高中数学新课程的一个基本理念，新课程标准强调“数学文化应尽可能有机地结合高中数学课程内容，选择介绍一些对数学发展起重大作用的历史事件和人物，反映数学在人类社会进步、人类文明发展中的作用”。“数学教学论”充分体现新课程的这一理念，对于高师学生在未来的教学中培养中学生用文化的视野来看数学，用数学的眼光来看文化的意识或观念有着深刻的意义。
数学是几千年来全人类孜孜探索共同取得的宝贵财富，是各国数学家相互交流、学习、共同探索的智慧结晶．不同国度与民族的思维特点、价值观念使数学呈现出不同的特点．因此“数学教学论”在结合数学史进行数学人文教育中应遵循时空多元原则，突破时空局限来选择数学史内容，力求反映不同时期、不同国度、不同民族和不同文化背景的数学历史．譬如，中国古代数学长于计算与构造，诸如“孙子定理”“百鸡问题”“盈不足术”等内容具有中华民族传统文化特色且在国外有一定影响；古希腊数学长于演绎推理与论证，其公理化思想与方法在数学发展史上具有极其重要的地位与作用．选材时应打破封闭格局，将中外数学历史纳人视野．旨在引导学生尊重、理解、分享、欣赏多元文化下的数学，拓宽学生的视野，培养学生全方位的认知能力、思考的弹性与开放的心灵．
“数学教学论”与数学史结合的教学中还应使学生认识到，配合数学内容与要求所选取的数学史内容应既能被中学生理解，又能引起他们的兴趣．深奥难懂的数学史料自然达不到教育的目的，枯燥乏味的数学史料也同样起不到教育的作用．所选史料的内容与形式应不拘一格、灵活多样、题材典型、情节生动、发展曲折、引人人胜．就内容而言，可以是数学概念。数学符号、数学思想方法、历史著名问题甚至理论体系的发展历史；也可以是数学家的创新意识、献身精神、奋斗历程与独特个性；就形式而论，除文字表述史料外，更应突出图形、图表与图象史料．如数学家（如 archimedes、i．newton、l．euler、c．f．gauss、祖冲之、华罗庚、陈省身、苏步青、吴文俊等）的头像、数学图案（如勾股定理、l．eler公式、c．f．gauss复平面、黄金矩形、雪花曲线）、数学家的墓志铭（如 diophantus的年龄问题）和墓碑图案（如archimedes的圆柱球、j．bernoulli的对数螺线、c．f．gauss墓前塑像座上的正十七边形）．旨在帮助中学生学习数学，激发其学习热情，展现科学与人文精神。在数学问题配置与求解中可选择历史上不同时期、不同文化的一些著名数学问题，这此问题及其求解提供了相应数学内容的现实背景，揭示了实质性的数学思想方法，蕴涵了数学家为之奋斗的曲折历程与苦乐体验，展现了广阔而生动的人文背景。譬如，可选择几何《原本》、《九章算术》等经典名著中的问题；介绍我国赵爽、印度人、阿拉伯人和f.vieta在求方程
的根这一问题上的成就；在求解幂和问题时可介绍c.f.causs的方法、源于s.pythagoras的形数方法和杨辉的“垛积术”与“补差术”方法.在问题求解中应侧重对历史上所用各种数学思想方法进行比较分析，使学生了解不同文化背景中的数学思考方式，启发其数学思维，提升其数学欣赏能力，在社会历史文化与数学思维的双重熏陶下，获得数学认知活动的文化意义，在数学教育中实践多元文化关怀的理想。
关键词：数学教学论；数学史；教学
“数学教学论”是高等师范院校数学教育专业的一门重要必修课。在“数学教学论”教学过程中，如何有效调动学生学习和研究的积极性，使教学的内容、方式和方法贴近基础数学教学改革，历来是数学教育研究的热点问题。从目前基础数学教育改革的趋势来看，重视科学精神和人文精神的塑造已成为基础数学教育改革的方向。数学发展史中积淀的深厚传统文化和丰富数学思想方法是深化数学课堂教学改革的重要方面，“数学教学论”课程要充分反映基础数学教育改革的现实，其有效途径之一是在教学中加强与数学史相关内容的结合，广泛吸收国际国内数学史与数学教育结合（简称HPM）研究的最新成果，恰当运用数学史案例来充分展示数学知识思维过程和方法，提高学生有效将数学知识的科学形态转化为教育形态的能力。因此，在“数学教学论”教学中，恰当运用数学史料进行教学具有重要的现实意义与实践价值。本文就数学概念、数学命题和数学人文等教学与数学史结合的理论与实践进行探讨。
一、揭示数学概念认知过程与历史发展过程的相似性，使学生把握概念教学的心理特征。
概念教学是“数学教学论”研究的重要内容。心理学研究表明，学生获得概念的方式主要是概念形成或概念同化。由于中学生的认知结构处于发展过程之中，数学认知结构中的数学知识相对简单而具体，在学习新知识时，作为固着点的已有知识往往很少或者不具备，这时只能借助生活经验及日常概念接纳概念，采取概念形成方式来学习。我们知道，每一数学概念在形成发展过程中都充满了直观的方法和大量辨证的思维，深刻揭示了某一类客观对象或事物的共同本质和特征，是人们从感性到理性认识事物的真实写照，给学生用概念形成方式接纳概念提供了丰富的资源，概念教学中运用数学史上概念发展的案例，既可以顺应人类知识的形成过程又能适应学生的认知规律。高师学生在开始接触概念教学时，由于对概念教学知之甚少，对概念的来龙去脉难以理清。因此在“数学教学论”关于概念教学研究中首先要让学生认知数学概念的历史发生原理，即通过一些概念的历史形成使学生认识到，个体对数学概念的认知发展过程与该概念的历史发展过程相似的规律。譬如说，学习代数的主要障碍在于理解和使用数学符号的意义，而数学符号缓慢的演变过程又告诉我们，数学符号的形成过程与人们的认知过程是相似的。因此，代数课程在有关数学符号的教学环节上应着重解析数学符号的历史发展过程。再如，J.M.Keiser在对六年级学生对角概念的理解与角概念的历史对比研究中，得到了“学生对角概念的理解与角概念的历史是相似的”结论。从历史上看，古希腊人从两边之间的关系、质（形状和特征）和量（角的大小）三方面之一来定义角，但无论哪一种定义都未能完善地刻画这个概念。J.M. Keiser通过对两个六年级班级几何（教材内容为“形状与图案”）课堂的观察，发现学生对角的理解也分成3种情形：（1）强调“质”的方面：一些学生认为，随着正多边形边数的增加，“角”越来越小；即形状越“尖”的“角”越小（2）强调“量”的方面：一些学生认为，边越长或者边所界区域越大，角越大：（3）强调“关系”方面：一些学生认为角是将一条边（终边）旋转后与始边之间的一种“关系”。又如F.Cajori根据负数的历史得出结论：“在教代数的时候，给出负数的图形是十分重要的。如果我们不用线段、温度等来说明负数，那么现在的中学生就会与早期的代数学家一样认为他们是荒谬的东西”；J.P.Ponte通过对函数历史的考察获得启示：在中学阶段，将函数概念定义为数集之间的对应关系是合适的；在中学数学中必须强调具有函数式的例子，将函数等同于解析式，不应被看作是一个大错误！在引入数学概念时以恰当的方式介绍其发展历史，有助于中学生从整体上把握数学概念的发展脉络，认识到概念演变修正过程与个体认知过程的相似性，对数学概念形成完整、恰当的认识，领悟数学思想的本质。并在领略数学家们为概念的日臻成熟所付出的艰辛与努力，以及所经受的困难与挫折的过程中体验人性化的数学。还有引入“对数”概念时可介绍J.Napier发明“对数”的动人历史，使对数成为富有人性化的、而非枯燥无味的概念。因此，“数学教学论”关于概念教学的研究让学生从历史的角度深入认识数学概念的形成与发展的心理过程，将有助于今后在教学中针对中学生认知的心理特点设计最佳教学方案，提高概念教学的质量和效益。
二、引导学生进行基于数学史的数学命题、公式等数学结论教学案例设计，学会在教学中通过展示数学知识的
历史原创暴露数学思维过程的方法教学。
从某种意义上来说，数学理论的研究过程就是数学命题的证明（或证伪）以及以适当的方式将这些被证明的命题组织成理论体系。从数学活动角度来说，这种过程一般是需要多次反复的，要经历一个不断抽象、层层深人的过程。因此，数学教学既要教“结论”，更要教“过程”。既要重视数学内容的形式化，又要重视数学发现过程的经验性。而现行中学数学教材中许多内容都简化了概念和定理的提出过程，省略了发展、探索的过程，而这些概念、定理是如何被发现的，解决问题的方法又是如何构想的，对中学生来说有一种说不出来的神秘感和疑惑感．所以在数学教学论的教学中必须教育学生在未来的教学中应精心设计、模拟知识形成的原始思维，为学生创设问题情景，交给学生发现、创造的方法．
数学历史上定理的发现探索过程可以启迪学生掌握正确的学习方法，将逻辑推理还原为合情推理，将逻辑演绎追溯到归纳演绎；可以激励学生去发现规律，总结定理，从而极大地满足学生发现与发明的成就感，传统数学教材中缺少对数学定理形成过程的阐述与剖析，呈现的是一些完美的结论和严谨的推证过程，这将直接导致学生对学习数学失去主动性与创造性。因此，在数学教学论关于定理、公式、法则等内容的教学中，应适当介绍其历史上的发现探索历程及不同的证明方法，使学生学会在今后的教学中将数学家们发现数学结论的历史过程变成学生进行实验发现的过程，从而激发中学生的学习主动性与创造性。譬如；从古希腊数学家阿基米德使用“平衡法”推导球体积公式与我国古代数学家刘徽和祖冲之父子得到球体积的过程；欧拉解决哥尼斯堡七桥问题思路；牛顿、莱布尼兹等人发明微积分的过程的介绍中，都可以将数学家创造数学真理的思维过程活生生的展现在中学生面前，改变那种从公式到公式、从定理到定理的教学程式。还有古希腊、中国、印度、欧洲数学家等中外数学家在勾股定理的发现与证明中的几百种证明方法都深刻反映了数学结论发现的火热过程，充分暴露了数学家们发现数学结论的思维过程。在“数学教学论”的教学中教给学生恰当地设计基于数学史的教学案例，将案例程式化为实验、操作、发现结论等过程不仅将现行教材中数学结论的冰冷美丽还原为火热的思考，特别将数学实验引入数学课堂，使中学生学生通过“猜想——实验——再猜想——再实验——得出正确的结论——证明”过程体验，真正完成一个完整的知识建构过程。将是数学教学论课程教学实现的一个重要目标。
三、引导学生探讨数学史与数学教育结合的内涵，认识数学历史问题培养中学生人文精神的重要作用。
“体现数学的文化价值”是高中数学新课程的一个基本理念，新课程标准强调“数学文化应尽可能有机地结合高中数学课程内容，选择介绍一些对数学发展起重大作用的历史事件和人物，反映数学在人类社会进步、人类文明发展中的作用”。“数学教学论”充分体现新课程的这一理念，对于高师学生在未来的教学中培养中学生用文化的视野来看数学，用数学的眼光来看文化的意识或观念有着深刻的意义。
数学是几千年来全人类孜孜探索共同取得的宝贵财富，是各国数学家相互交流、学习、共同探索的智慧结晶．不同国度与民族的思维特点、价值观念使数学呈现出不同的特点．因此“数学教学论”在结合数学史进行数学人文教育中应遵循时空多元原则，突破时空局限来选择数学史内容，力求反映不同时期、不同国度、不同民族和不同文化背景的数学历史．譬如，中国古代数学长于计算与构造，诸如“孙子定理”“百鸡问题”“盈不足术”等内容具有中华民族传统文化特色且在国外有一定影响；古希腊数学长于演绎推理与论证，其公理化思想与方法在数学发展史上具有极其重要的地位与作用．选材时应打破封闭格局，将中外数学历史纳人视野．旨在引导学生尊重、理解、分享、欣赏多元文化下的数学，拓宽学生的视野，培养学生全方位的认知能力、思考的弹性与开放的心灵．
“数学教学论”与数学史结合的教学中还应使学生认识到，配合数学内容与要求所选取的数学史内容应既能被中学生理解，又能引起他们的兴趣．深奥难懂的数学史料自然达不到教育的目的，枯燥乏味的数学史料也同样起不到教育的作用．所选史料的内容与形式应不拘一格、灵活多样、题材典型、情节生动、发展曲折、引人人胜．就内容而言，可以是数学概念。数学符号、数学思想方法、历史著名问题甚至理论体系的发展历史；也可以是数学家的创新意识、献身精神、奋斗历程与独特个性；就形式而论，除文字表述史料外，更应突出图形、图表与图象史料．如数学家（如 Archimedes、I．Newton、L．Euler、C．F．Gauss、祖冲之、华罗庚、陈省身、苏步青、吴文俊等）的头像、数学图案（如勾股定理、L．Eler公式、C．F．Gauss复平面、黄金矩形、雪花曲线）、数学家的墓志铭（如 Diophantus的年龄问题）和墓碑图案（如Archimedes的圆柱球、J．Bernoulli的对数螺线、C．F．Gauss墓前塑像座上的正十七边形）．旨在帮助中学生学习数学，激发其学习热情，展现科学与人文精神。在数学问题配置与求解中可选择历史上不同时期、不同文化的一些著名数学问题，这此问题及其求解提供了相应数学内容的现实背景，揭示了实质性的数学思想方法，蕴涵了数学家为之奋斗的曲折历程与苦乐体验，展现了广阔而生动的人文背景。譬如，可选择几何《原本》、《九章算术》等经典名著中的问题；介绍我国赵爽、印度人、阿拉伯人和F.vieta在求方程
的根这一问题上的成就；在求解幂和问题时可介绍C.F.Causs的方法、源于S.Pythagoras的形数方法和杨辉的“垛积术”与“补差术”方法.在问题求解中应侧重对历史上所用各种数学思想方法进行比较分析，使学生了解不同文化背景中的数学思考方式，启发其数学思维，提升其数学欣赏能力，在社会历史文化与数学思维的双重熏陶下，获得数学认知活动的文化意义，在数学教育中实践多元文化关怀的理想。
