关键词： 《归纳推理》 教学设计 归纳推理概念 归纳推理方法
一、教材依据
北师大版高中数学选修1―2 第三章 推理与证明 §1.归纳与类比1.1归纳推理
二、设计思路
通过教材及课外实例中推理过程的分析、理解，使学生初步认识和掌握归纳推理的思维方法，并能进行简单的解题应用，同时激发学生学习数学的兴趣爱好，培养学生积极思考，大胆探索，善于归纳推理，合情猜想结论的良好思维习惯。
三、教学目标
1.了解归纳推理的思维过程，并能进行简单的归纳推理应用。
2.培养学生“观察规律―猜想结论―检验证明”的归纳推理能力。
3.通过本节学习，使学生养成主动运用归纳推理思维的意识和习惯。
4.激发学生学习数学的浓厚兴趣和应用数学的良好品质，逐步形成发现新知识，解决新问题的能力。
四、教学重难点
利用归纳推理的思维方法解决具体数学题目及相关实际问题。
五、教学过程
（一）通过实例引入归纳推理概念。
例1.观察下列各式，写出运算结果。
教师讲评：上述两例趣味性强，充分体现了归纳思维实质，顺利导入本节新课。
（二）引导学生分析总结归纳思维解决数学问题的方法步骤。
1.指导学生阅读课本例题：（1）哥德巴赫猜想；（2）欧拉公式；（3）数列通项公式。
通过以上三个实例的学习理解，使学生对归纳推理有一个初步的感性认识。
2.组织学生分组讨论：鼓励学生积极思考，大胆发表自己的看法与见解，结合教材内容初步得出归纳推理解决实际问题的“观察规律―猜想结果―检验论证”的方法步骤。
3.教师总结归纳推理概念。
归纳推理是根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中所有事物都具有这种属性的一种推理形式，它是由局部到整体、个别到一般的一种思维方式。
（三）知识应用，解题训练。
例3.将正奇数按下面表格中的数字呈现的规律填入各方格中，则数字55位于第几行第几列？
解析：观察表格中数字排列规律，每行4个正奇数，奇数行第1列空缺且从左往右排列，偶数行第5列空缺且从右往左排列。
由于55=2×28-1，即55是第28个正奇数，又28=4×7，由此可知：55位于第7行第5列。
评注：本题由已知表格观察归纳排列规律，从而确定数字55的位置。
例4.观察下列等式：
①cos2α=2cosα-1；
②cos4α=8cosα-8cosα+1；
③cos6α=32cosα-48cosα+18cosα-1；
④cos8α=128cosα-256cosα+160cosα-32cosα+1；
⑤cos10α=mcosα-1280cosα+1120cosα+ncosα+pcosα-1。
可以推测：m-n+p=?摇?摇?摇?摇?摇.［2010年，福建卷（文）］
解析：通过观察各等式，可以得出3条规律：
（1）每个等式首项系数规律：第n个等式首项系数为2（n∈N），则m=2=2=512；
（2）每个等式右边各系数之和为恒为常数1，则对于等式⑤有m-1280+1120+n+p-1=1，即n+p=-350；
（3）取角α的特殊值带入等式⑤，如取α=60°，则有
cos600°=-+++-1，化简整理得
n+4p=-200.联立方程组，得
n+p=-350，n+4p=-200，解得：n=-400，p=50.
故：m-n+p=512+400+50=962.
评注：本题通过所给各等式，观察归纳内在规律，分别求出m，n，p的值，从而使所求问题顺利解决。
通过以上两个例题学习，可以对学生进行“观察所给条件，发现内在规律，合理猜想结论”的归纳思维训练，使学生学会发现客观规律，猜想数学结果的思维方法，从而极大地调动学生“热爱数学，钻研数学，探讨知识形成过程”的积极性，这也是数学教学的主要目的。
（四）教师引导学生总结“归纳推理”的主要特点。
1.归纳推理是依据特殊现象推断一般现象的思维过程；
2.利用归纳推理得出的结论不一定是正确的，只有经过检验论证才能判断真假；
3.归纳推理是认识新规律，发现新知识，推动科技进步的重要基础。
（五）本节小结。
1.初步掌握归纳推理思维方法，能用归纳推理方法解决简单的数学问题。
2.通过本节学习，使学生体会和认识到归纳推理在数学发现中的重要作用。
六、教学反思
1.激发学习兴趣是学好数学的前提，通过丰富多彩的数学问题，既使学生初步掌握归纳推理的方法步骤，又极大地调动了学生学习数学的热情和积极性，这是数学教学的最高境界。
2.注重学生的学习过程，鼓励学生积极思考，大胆推理，从而有所发现，有所创造。
一、确定归纳目标，明确思考方向
数学知识具有抽象性、复杂性、逻辑性等特点。这就需要学生具有一定的想象能力，依据自身的直觉与经验来大胆猜想，大胆推测，进而加以归纳。而让学生依据数学规律加以归纳，则需使他们确定推理与归纳的目标与方向。所以，在教学过程中，教师应有针对性、有目的地给出一定提示，让学生朝着预想的方向进行认真思考，避免产生理解偏差。
第一，优选教学内容。在教学过程中，教学内容是信息的源泉，也是教师教学与学生学习的重要依据，更是检验课堂教学质量的的重要标准。实际上，归纳推理并非适合全部的教学内容，需具有如下特征：①具有若干特例；②特例需具有规律或共性因素。如教学“不等式的概念”时，教师可运用归纳推理。对于这一教学内容，书本上提供了若干不等关系问题，且存在共同因素，也就是每一个数学问题都含有不等关系。教师在教学中可让学生自主解决问题，从中体会不等关系，促进他们归纳推理能力的发展。
第二，把握学生的学情。在教学过程中，常常出现这一现象：教师所设问题不难，却有一些学生难以归纳出结论，亦或结论错误。其原因在于教师未把握学生的数学归纳推理能力的程度。因此，教师首先要了解学生的认知结构，把握班级学情，把握学生实际水平，把握学生的学习心理。如在教学“有理数的减法”时，教师可联系教材内容，设计不同的算式，以考查学生归纳能力，适时调整教学计划。
第三，确定归纳的目标。学习目标是学生开展学习的重要内容，也是唤起学生学习动机的重要方法。在教学过程中，教师应确定归纳目标，引导学生多角度、多方位地思考问题，获得不同结论。
二、呈现学习材料，引导自主归纳
知识归纳是基于一定材料的抽象概括过程的。换而言之，学生在归纳某数学知识点时，需要以学习材料为基础，为他们的思维指定方向，避免走弯路。因此，在引导学生进行归纳之前，教师应提供丰富的学习与探究材料。当然，可以通过不同的方式来展现这些学习材料，在学习和探究资料的互相作用下，学生则能发掘不同材料间的内在逻辑关系，然后根据自身的理解，进行简单地归纳。如学习某一数学概念时，教师可以以问题情境来呈现学习材料，让学生加以推理、归纳、总结。
如教学“相反意义的量”这一知识点时，教师可先利用多媒体课件向学生呈现学习材料：①某人先向西边走了4步，再向东边走了3步；②在一树干上，一条小虫首先向上爬了16cm，然后向下再爬回出发点，接着又向下爬了8cm；③在一个装着香蕉的盘子里放入5根香蕉，然后取走4根香蕉等。当材料呈现后，教师可要求学生认真观察所给事例在数量上的一些变化状态，同时对上述事例加以描述，引导他们对其中所含的数量变化加以概括。接着，教师继续引导：①上述事例中，是什么发生了变化？②它们有何变化？③其变化意义是不是一样？④在上述事例变化中是否存在共同点，若有，这一共同点又是什么？学生进行交流、讨论，大胆猜测，然后归纳结论：其共同点就是数量变化均为相反。当学生了解所学习的对象是数量对应变化的问题之后，教师可让学生自己列举事例，从而更加深刻地理解这一概念。
三、检查归纳成果，反思归纳推理
一、设定归纳目标，明确思考方向
在初中数学教学中，归纳推理对学生的学习有着非常重要的影响，教师在教学中应该重点培养学生的归纳推理能力.复杂性、抽象性是数学知识的主要特点，因此这就要求学生需要具有较高的逻辑思维能力，这样才能够保证学好数学.学生在进行数学的学习时，可以对数学知识进行大胆的猜想，并对猜想的知识进行归纳.教师应该对学生的归纳进行适当的引导，为学生设定归纳的目标，并明确学生思考的方向.这样才能够对学生的归纳推理能力进行培养，让学生能够准确地进行数学知识的归纳推理.教师在设定归纳目标的过程中，应该结合数学教学的具体内容与学生学习的实际情况进行设定.选择合适的教学内容对学生的归纳推理有着很重要的影响，对于初中数学知识而言，有的数学知识适合进行归纳推理，但有的数学知识不适合采用归纳推理进行学习，这就需要数学教师对教学的内容进行合理的筛选，并进行精心的设计.
掌握学生的学习情况也是教师培养学生归纳推理能力的重要手段，教师应该结合学生的实际学习情况对数学问题进行精心的设计.例如，在进行一次函数及其图象和性质的教学中，教师应该对这部分知识内容进行精心的设计，这部分知识内容是培养学生归纳推理能力的最佳素材.例题1：现有反比例函数y=2x、y=4x、y=6x等几个图象（如图1所示），根据图象分析其共同具有的特征.教师应该针对这部分的知识内容特点对学生进行适当的启发：“这几个函数的图象分别处于第几象限内”、“各个象限内的函数如何进行变化”、“x轴与y轴会不会和反比例函数图象出现相交的情况”.通过这几个问题的设计能够让学生有针对性地对问题进行分析，帮助学生培养归纳推理能力.学生在教师的引导下，能够结合已学的知识与不断的推理，能够总结出与正确结论差不多的结果.解题分析：题目中给出的反比例函数的图象分别位于一、三象限内，并且函数在每个象限内的变化规律呈x增大y减小的变化.教师根据学生的归纳推理进行总结分析，帮助学生了解归纳推理中出现的问题，从而提高学生的归纳推理能力.
二、检查归纳结果，反思归纳推理
在初中数学教学中开展归纳推理教学时，教师可以将学生分成几个小组，让学生在小组内进行交流，从而得出归纳推理的结论.让学生在学习过程中对教材存在的异同点进行自主的发觉，这也是检查归纳结果、反思归纳推理的主要教学目标.学生通过对数学知识的不断反思、总结，能够得出与其他数学知识相关的结论，从而加强对数学知识的理解，提高归纳推理能力.学生在进行归纳推理时的思维与思考问题的角度都有所不同，这就导致学生经过归纳推理得出的数学结论是有所差异的.教师为了检验学生归纳推理的结论是否正确，就需要对学生的归纳结果进行仔细的检查，并让学生结合归纳推理的结论进行反思.例如，在进行一元二次方程的学习时，教师可以为学生提供一些有关的学习资料，引导学生结合资料对数学问题进行归纳推理，分析方程的异同点、共同特性等.学生针对教师提出的问题进行归纳推理，之后得出推理的结论，由教师结合学生的推理结论进行分析点评，帮助学生及时地对归纳推理进行反思，从而提高自身的归纳推理能力.此外，学生还可以结合自身的学习能力对归纳推理进行个性化的反思，不断地完善自身归纳推理的思维过程，从而不断的进步，提高学习能力.
三、归纳推力理论在初中数学课堂中的教学设计
关键词：初中数学教学 合情推理能力
初中数学一直被作为一门纯粹的演绎学科来对待，忽视了合情推理在教学中的重要性，以至于无法有效地培养学生的创新能力和推理能力，影响了学生的学习效果.随着教学改革的不断发展，加强学生的合情推理能力的培养刻不容缓.下面结合自己的教学实践就在初中数学教学中培养学生的合情推理能力谈点体会.
一、创设教学情境，激发学生的合情推理兴趣
“兴趣是最好的老师”.这句话，凸显了兴趣在提高学生的学习动力、增强学生的学习效果方面的积极作用.合情推理能力的培养也不例外.然而，在当前的初中数学教学中，有些教师依旧沿袭着传统说教式授课方式，很少考虑学生兴趣的激发，以至于课堂教学氛围沉闷，学生不愿意学习.在这样的背景下，要想培养学生的合情推理能力，就真是“天方夜谭”.因此，为了激发学生合情推理的兴趣，促使学生积极自主地参与到学习中，教师要在充分考虑教学资料和学生兴趣的基础上创设教学情境，促使学生学习和探究，从而提高学生的合情推理能力.在创设教学情境时，除了需要考虑教学内容外，教师还要为学生预留充足的学习时间来进行自主观察、思考，使学生在自主学习的过程中培养自己的合情推理能力.必要时可以在学习情境创设中引入游戏活动等富有趣味性的内容，吸引学生积极参与课堂学习活动.例如，在讲“概率”时，为了使学生验证计算结果的准确性，教可以借助摸球、转盘、掷骰子和硬币等形式模拟有关的数学问题，使学生在相应的教学情境中体会和感知有关的概率知识，从而不断提升他们的学习能力.
二、精心设计教学内容，拓展合情推理渠道
当前初中数学教材中有许多可以用于培养学生的合情推理能力的知识，如“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”等.因此，为了拓宽培养学生的合情推理能力的教学内容，教师要充分挖掘初中数学教材，同时需要考虑学生的学习能力、兴趣和爱好等，为学生精心设计一些教学内容，从而促使学生在学习有关数学知识的基础上培养他们的合情推理能力.而就精心设计教学内容的具体策略而言，教师可以将合情推理能力的培养贯彻到“统计与概率”方面的数学学习中.这主要是由于该部分的数学知识无法借助逻辑推理的方法来加以检验，只有使学生通过多次的实践操作，才能得出有关统计和概率方面的结果.因此，在讲解这部分数学知识时，教师要善于引导和鼓励学生自主收集、分析、归纳和总结有关数据，培养学生的合情推理能力.例如，在讲“统计与概率”时，教师可以让学生统计一下元旦晚会中所需蛋糕的口味及数量，或者统计一下班级上次模拟考试的成绩，最后分析一下蛋糕的准备情况或者考试的效果.这样，就形成一个简单的合情推理过程.另外，教师还可以充分利用“空间与图形”和“数与代数”等方面数学知识的讲解来培养学生的合情推理能力.例如，在讲“空间与图形”时，为了使学生详细地了解和掌握平行四边形的性质，教师可以在课堂上为学生准备一个平行四边形，接着用手按住四边形的一角，将其旋转180°，让学生观察该平行四边形在旋转前后的具体形态，从而使学生直观地归纳出平行四边形所具有的对边相等、对角相等基本性质.又如，在讲“数与代数”时，教师可以合理设计一些富有启发性的问题：|-5|=？|+5|=？；|-2|=？|+2|=？；|-23|=？|+23|=？由此可知，相反数绝对值所具有的关系.这样，使学生充分了解了绝对值所具有的具体几何意义，从而培养了学生的合情推理能力.
三、加强教学训练，培养学生的合情推理能力
［关键词］数学大观念；单元学习活动；理性思维
数学知识往往不是以孤立的形态存在的，而是有着严密的逻辑起点，以知识链或知识串等结构化的形态呈现。教学中不仅要关注知识的本源与道理，更要从整体上、从结构上去理解所学知识，遵循知识的发生发展规律，从整体上设计单元学习活动，发展学生的数学素养。在单元教学实践中，通过大观念的统领，实现知识的本质回归，打通知识之间的联系，关注学生的理性思维，发展学生的推理能力。我国小学数学教材编排的每个单元，一般是围绕若干个知识点，采用新授课、探究课、练习课推进，再到单元复习检测。在教学实践中，许多教师由于缺少学科大观念的统领，过于关注每个课时的细节教学，缺乏对单元整体性教学的认识；还有部分教师满足于知识和技能的教学，忽略知识内在的本质联系，忽视知识迁移能力的教学。为了解决这些问题，运用“单元学习活动”设计与实施，可以将处于学科中心地位的、最基本的数学大观念进行很好的联结，从而统领各单元的知识学习，整体推进单元结构化教学，提升教学成效。
一、“单元学习活动”的概念和意义
《义务教育数学课程标准（2011版）》指出，数学知识的教学要注重知识的“生长点”与“延伸点”，把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构和体系，处理好局部知识与整体知识之间的关系，引导学生感受数学的整体性。因此，数学教学实践以大观念统领的单元学习为主，以现行教材所划分的单元为基础，对教学内容进行整体把握，并进行结构化处理，关注知识之间的内在联系，帮助学生形成新的认知结构，实现知识的理解与迁移。
（一）何谓“单元学习活动”
小学数学单元学习活动是指教师以小学数学教材中的单元为主体，在大观念的统领下展开的系统化、结构化、科学化的整体设计活动。小学数学教材中的单元，是将具有内在联系的、有共同主题的内容构成整体，根据知识的内在联系和学生的数学认知规律，由浅入深、由易到难、逐级进阶地编排内容。例如，青岛版《数学》五年级上册第五单元“多边形的面积”单元中，教材是在学生学习了长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形的特征及长方形、正方形面积计算的基础上，逐渐过渡到平行四边形、三角形、梯形的面积以及计算简单组合图形的面积。教材的单元设计充分考虑数学知识之间的内在结构与相互关联，还注重学生的认知发展规律，将平面图形的面积计算合理编排，体现数学知识的逻辑性和整体性。
（二）“单元学习活动”在小学数学知识学习中的意义
发展学生的数学素养需要教师从整体上设计单元学习活动。核心素养是一个人表现出来的思维品质和做事风格，体现出学生在面对新情境下分析和解决问题的能力。在单元学习活动中，数学大观念能够很好地联结知识，统领本单元的知识学习，实现知识意义的理解与自主迁移。数学大观念来源于具体的数学内容，它是学生在积极主动的探究活动中对学习内容的提炼与升华。它能对数学知识起着自上而下的引领作用，能够促进知识的发生、迁移和运用。在单元学习活动中，要以具体知识为载体，引导学生通过高水平学习任务，在概括、提炼知识学习中形成数学大观念，通过大观念的统领，实现知识的有机联系，帮助学生形成自己的认识并进行有效迁移。另外，单元学习活动能够帮助教师从整体上开展系统化、科学化的单元教学设计，促进教师的专业发展。教材编排的每个单元学习内容，通常在思维方式上相同，学习方式上相近，这需要教师从整体上对教材内容进行把握和理解。我们在教学中要关注知识整体结构的“大观念种子课”，关注知识理解与迁移的“大观念统领课”，通过单元学习活动的实施，助力单元教学的深度发生，帮助学生将知识有机地联系起来，领悟知识背后的数学思想方法，促进学生对知识本质的深度理解与迁移，发展学生的数学素养。
二、小学数学“单元学习活动”设计的原则
数学从本质上来说，就是数学知识的结构化、数学知识的整体性和数学知识的内在联系。单元学习活动设计应该遵循以下原则。
（一）整体性原则
数学中的“整体性教学”应针对整个单元而不是各个单独的一节课进行分析思考，应用“整体性观念”指导各个具体内容的教学，帮助学生很好地实现由“局部性认识”向“整体性认识”的过渡，包括厘清整体的发展线索与逻辑联系，核心大观念的提炼，重要数学思想的梳理等[1]。单元学习活动的设计强调整体性，应用整体联系的视角来研究单元学习活动设计，加强知识之间内在联系的教学，以整体性思维指导单元教学。在教学中通过开发“种子课”帮助学生形成单元大观念，单元大观念一旦形成，将从根本上统领本单元的学习活动，帮助学生厘清单元知识的逻辑联系，从整体上推进单元学习活动。
（二）结构化原则
单元学习活动设计要充分考虑数学学科知识结构和学生的认知结构，通过大观念的统领，实现数学知识的结构化，帮助学生形成认知结构，实现知识本质的理解和自主迁移。单元学习活动的设计应包括关注知识整体结构的“大观念种子课”和关注知识理解与迁移的“大观念统领课”的设计。“大观念种子课”是指单元学习起始课，如青岛版《数学》五年级上册第五单元“多边形的面积”单元中，可以把平行四边形面积作为大观念种子课，通过种子课帮助学生形成本单元的数学大观念，三角形、梯形的面积以及计算简单组合图形的面积可以作为“大观念统领课”。在“大观念统领课”中，通过挑战性任务的设计，将学习主题有机整合，发挥数学结构的力量，帮助学生实现知识的理解与迁移，真正促进单元知识结构化的实施。
三、小学数学“单元学习活动”设计的实践逻
辑——以“运算律”教学为例以青岛版《数学》四年级下册第二单元“运算律”为例，应用“整体性观念”指导本单元教学内容设计，在数学大观念的统领下，帮助学生概括、提炼出知识背后蕴藏的数学思想方法，促进知识的理解与迁移。基于这样的认识，我们进行了单元教学的思考与设计。
（一）整体分析，确定单元大观念
教材中，本单元安排了三个信息窗，第一个信息窗是对加法结合律和加法交换律的学习，第二个信息窗是对乘法结合律和乘法交换律的学习，第三个信息窗是对乘法分配律的学习。对于运算律，学生在低年级学习加法和乘法的计算和验算时，以及连加和连乘计算时，已积累了较为丰富的感性经验，这些都是学习运算律的经验和基础。《义务教育数学课程标准（2011版）》指出，推理能力的发展应贯穿于整个数学学习活动中。推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。教材安排的是一个快乐农场的情景串，从解决学生熟悉的实际问题入手，让学生经历从特殊到一般、从感性到理性、从具体到抽象完整的数学建模过程，感悟“观察—发现（猜想）—举例验证—得出结论”数学推理的思想方法。在这一过程中，合情推理占据了主导地位，缺少演绎推理的渗透和挖掘。在单元的教学中，合情推理和演绎推理的发展应相辅相成，以加法结合律作为种子课，帮助学生形成探索规律的思想方法或思维方式，并能有效迁移到本单元其他规律的学习，引领学生真正领悟到知识背后的思想方法。基于此，提炼出了本单元的大观念：一是运算律的本质是改变计算的运算顺序，结果不变；二是“观察—猜想—验证”是探究规律的一般方法；三是合情推理和演绎推理的培养应相辅相成，帮助学生形成知识方法体系，并实现知识的有效迁移，发展学生的推理能力。
（二）种子课引领，由“扶”到“放”构建知识联系
1.确立种子课，形成大观念根据本单元的知识特点，把《加法结合律》作为本单元的种子课，尝试由种子课的“扶”过渡到本单元其他规律课的“放”，构建知识的关联，实现单元教学的有效开展。（1）情境导入授课开始，出示数学阅读情境，学生发现信息，提出问题：一共购进多少棵树苗？一共购进多少棵花苗？（2）观察等式，发现猜想学生解决问题，可能有两种个性化列式，引导学生结合解决问题的过程，说出先算什么，再算什么，学生会发现两种计算结果相等，得到两组等式：（56+72）+28=56+（72+28）（80+88）+112=80+（88+112）引导学生观察等式两边之间的联系，初步感受加法结合律的意义，得到猜想：三个数相加，先把前两个数相加再加第三个数，或者先把后两个数相加，再加第一个数，结果不变。（3）举例验证，构建模型学生纷纷举例验证猜想的普遍性——（28+25）+75=28+（25+75）（32+88）+12=32+（88+12）……通过大量举例和验证，由个案中的等式关系到若干同类算式中的等式关系，由个性到普遍性，由感性认识到理性认识，得到结论：“三个数相加，先把前两个数相加再加第三个数，或者先把后两个数相加，再加第一个数，和不变。”最后引导学生用字母表示规律：（a+b）+c=a+（b+c）=（a+c）+b（4）归纳方法，关注推理问题引领：想一想，加法结合律的学习我们经历了一个怎样的学习过程？根据思考，设计问题：刚才我们通过验证得到了加法结合律。除了举例验证规律之外，还有什么方法能够验证解释加法结合律呢？学生利用加法的意义解释：三个数相加，无论先加哪两个数，最终都是把这三个数合起来，和不变。通过种子课的学习，学生经历了从特殊到一般、从感性到理性、从具体到抽象完整的数学建模过程，感悟“观察—发现（猜想）—举例验证—得出结论”数学推理的思想方法。通过具体实例、逐步抽象、概括得到加法结合律的过程，合情推理占据了主导地位。对于四年级学生来说，促进逻辑思维发展是教学的主要目标，仅发展学生的合情推理能力，不能完全符合学生成长需求。对此，我们设计核心问题：我们刚才通过验证得到了加法结合律，除了举例验证规律之外，还有什么方法能够验证解释加法结合律呢？2.观念统领，自主建构本单元第二课时《乘法结合律》，学生已经初步建立起了单元大观念，它体现着本单元知识的核心、知识形成过程中的思想方法以及核心素养的教育价值，能够从根本上统领本单元的知识学习，帮助学生将知识有机联系起来，促进学生对知识的理解和迁移。因此，本节课的重点应集中于由“扶”到“放”构建联系。（1）创设情境，独立解答首先，教师出示情境，学生阅读情境。学生发现信息，提出问题：①一共购进了多少千克花土？②一共购进了多少千克花肥？学生分别用两种个性化方法解答。教师引导学生说出两种解决方法的思路，学生发现两种方法的结果相等，得到两组等式：（2×25）×20=2×（25×20）（5×8）×10=5×（8×10）（2）问题引领，自主探索核心问题引领：学习乘法结合律，我们将经历一个完整的推理过程。现在观察这组等式，你有什么发现？试着验证一下吧。通过学生的大量举例和验证，由个性到共性，由感性认识到理性认识，得到结论：三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘第三个数，或者先把后两个数相乘，再乘第一个数，积不变。学生用字母表示规律：（a×b）×c＝a×（b×c）=（a×c）×b。整个学习过程，学生自主经历了从特殊到一般，从感性到理性，从具体到抽象的数学建模过程，再次感悟体会了“观察—发现（猜想）—举例验证—得出结论”数学推理的思想方法。3.关注思维培养，多方式说理在小学阶段，理性思维是一种明确的思维方向，有充分思维依据，能对事物进行观察比较、分析综合、推理研究、抽象概括、思辨的思维能力[2]。理性思维是一种建立在证据和逻辑推理基础上的思维方式，是一种积极、辩证的思维方式，它能够帮助学生深入理解知识的意义并能有效迁移。在教学中，任何推理问题都是由推理形式和推理内容两方面构成的。加强数学知识的理解，是培养学生的推理能力不可或缺的基础[3]。其实，小学数学的各种概念以及计算法则、公式、规律，在教材中多数是通过丰富的实例示范，逐步抽象、概括所得出。在这一过程中，合情推理占据主导地位，缺少的正是演绎推理的渗透与挖掘。基于此，我们在研究本单元的第三课《乘法分配律》时，通过大观念的统领，采用直观手段和其他方式辅助说理，发展学生的合情推理，渗透挖掘演绎推理，关注学生理性思维的培养，发展学生的推理能力。教师通过计算实例及其算理意义的解释，多渠道、全方位培养学生的理性思维，促进学生逻辑推理能力的发展。（1）课始，教师出示两组计算实例：（12+18）×6○12×6+18×6（25+75）×12○25×12+75×12学生计算后，发现两边算式的结果相等。学生观察等式后发现猜想，然后结合自己的举例，验证规律，进而作出不完全的归纳推理，得到结论：两个数的和乘一个数，可以把两个加数分别同这个数相乘，再把两个积相加，结果不变。学生用字母表示规律：（a+b）×c＝a×c+b×c，再次经历数学规律的建构过程，感悟数学推理思想。（2）出示实际问题：课桌每张56元，椅子每把44元，学校要买50套这样的桌椅一共多少元？学生用不同方法解答，引出等式（56+44）×50=56×50+44×50，充分借助生活经验解释乘法分配律。引导学生发现相遇问题数学模型、长方形的周长公式等都可用来解释验证规律。（3）然后出示：东武学校的操场是一个长方形，原来长80米，宽35米，扩建后，长不变，宽增加20米，扩建后的操场面积有多大？鼓励学生画出图形，并运用两种方法解决问题，引出等式（35+20）×80=35×80+20×80，教师通过几何直观模型与生活问题相结合的教学方式，对规律再解释。（4）再出示35×12，鼓励学生用竖式计算，学生观察竖式后，发现竖式中先分后分的过程可以写成：35×12=35×（2+10）=35×2+35×10=70+350=420，进一步引导学生发现，原来两位数乘两位数计算的算理可以用来解释乘法分配律。（5）最后出示：12×2+12×4，你能用乘法的意义来解释验证规律吗？学生思考发现，根据乘法的意义，12×2+12×4=（12+12）+（12+12+12+12）=12×6这样的合并无论相同加数是多少、有几个，规律都是成立的，根本无须再举例。本单元的教学设计,无论是“大观念种子课”，还是“大观念统领课”，都是学生在大观念统领下深度体验知识、自主构建规律的学习过程。综上所述，单元学习活动要在大观念的统领下，从提升学生的核心素养出发，通过整体推进方式开展单元教学，发挥知识结构的力量，将知识有机联系起来，真正“让学生站在学习的中央”，帮助学生理解知识背后的数学思想与方法，实现知识本质的理解与迁移，促进学生的深度学习，促进学生数学素养的发展。
参考文献：
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[2]秦兰勇.理性思维的基础上证据和逻辑[J].四川教育，2017,(04)：25-26.
一、设定归纳目标，明确思考方向
初中数学教学和学习中归纳推理能力是十分重要的，特别是在课程改革的背景下，学生的归纳推理能力显得更加重要。学生能够独立自主地进行归纳推理成为了教学目标的重点。数学知识具有一定的抽象性和复杂性，其对学生的逻辑思维能力和想象力要求较高。学生可以依靠自己的直觉和经验进行大胆的猜测和臆想并且加以归纳。让学生以数学规律为准则进行归纳就需要设定归纳目标与方向。因此，在初中数学教学过程中教师应该起到引导作用，有针对性地提出相应的提示，让学生的思路朝着正确的方向进行。选择合适的教学内容、掌握学生的学习情况、设定归纳目标是教师引导学生思路的主要环节：
（1）选择合适的教学内容。初中数学的教学内容并不是所有都适用于归纳推理理论，教师应该选择具有特例的、并且具有规律以及共性因素的教学内容。
（2）掌握学生学习情况。教师所设计的问题要基于学生掌握知识的具体情况，在明确学生实际学习水平的过程中了解学生的学习心理。例如在进行“有理数的减法”时，教师可以结合教材内容设计出不同的算式来检验学生归纳能力，并根据学生掌握知识的情况调整教学内容与计划。
（3）设定归纳目标。教学目标是教师进行课堂教学的目的，学习目标是学生开展内容学习的最终目的，也是让学生自主积极学习的重要方式。教师应该发挥引导作用，设定归纳目标，让学生从多元化的角度思考问题。
二、检查归纳结果，反思归纳推理
学生在就归纳结果进行小组讨论后会获得一个或一个以上的结论，在获得结论后学生还需要对结论进行解释，将已学的知识作为支撑结论解释的依据。检查归纳结果、反思归纳推理的主要教学目标就是让学生自主发觉教材的异同点，并且就产生异同的原因与影响进行研究，然后将得出的结论与其他知识相关联。在学习过程中，学生思考问题的角度与思维都不尽相同，因此每个学生获得的结论也必然是不同的。归纳结论的正确与否可以进行检验。如在“一元二次方程”的学习过程中，教师提供学习资料，让学生自主归纳;同时让学生分享各自的归纳结论，并且说明以下问题：若干方程有何异同点？命名方程有什么共性？这些方程与一元一次方程相比有什么概念区别吗？教师在完成提问后学生进行讨论与总结，教师进行针对性点评，通过归纳学生的结论来阐述一元二次方程的概念，并且引导学生对刚刚归纳过程进行反思和总结。另外，学生进行归纳反思时可以根据自身的学习情况进行个性化反思，教师还可以将学生的归纳反思与课后习题相结合，让学生在课后完成，进而实现课堂内外的联系与互动，进一步提高教学质量。
三、归纳推力理论在初中数学课堂中的教学设计
优秀的教学设计不单单能够提高教学效率，达到教学目标，还能够吸引学生的注意力，让学生获得学习数学的乐趣。在进行“有理数加法法则”的课堂教学中，教师可以利用归纳推理理论来设计课堂教学。教师在课堂教学过程中时刻渗透归纳推理理论，将培养学生自主探索能力作为教学重点，让学生自主积极的去学习。教师可以首先提出问题，“大家已经学过有关有理数的知识了，那么如果两个有理数相加的话应该怎么计算呢？”其次，教师可以让大家回答一个熟悉简单的问题：“足球比赛中赢球数量和输球数量是具有相反意义的，如果赢球了就被记为正，输球则被记为负，平局为0，那么足球比赛中足球队在比赛中的胜负会有哪些情况呢？”再次，教师和学生共同探讨这一问题，上半场赢球2个，下半场赢球3个，那么全场赢球数量为5个，也就是（+3）+（+2）=+5，一共8种情况;最后教师引导学生得出有理式的加法运算法则，上面罗列了两个有理数相加的不同情况，并且得出了先加的总和，但是如果要计算有理数相加的总和就需要归纳出有理数的加法法则。教师在教学过程中要提醒学生特别注意判断确定“和”的表示符号以及计算“和”的绝对值。
[关键词]合情推理 推理情境 类比迁移 实践操作
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2015）17-073
2011年版《义务教育数学课程标准》指出：在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，清晰地表达自己的想法。合情推理是一种思维方式，是学生数学能力的重要部分。那么，教师如何才能借助数学活动，有效发展学生的合情推理能力？
一、创设相关情境，将合情推理融入教学过程
教师在设计数学活动时，可以将合情推理与情境相结合，借助情境让学生经历数学活动，鼓励学生敢于打破思维定式，大胆猜想、合理猜想。在活动中，观察、类比、迁移、实验、操作等都蕴含着大量的推理内容，教师要巧妙链接，让合情推理与教学相融合。
如 “正比例”一课，要求六年级学生真正理解“什么是正比例”“什么是正比例的量”的概念还是有难度的，教师该如何设计相关情境，将概念理解与推理能力的培养相结合？可先创设“倒水情境”：往六个完全一样的空杯倒水，借助数据推理让学生发现在杯子底面积固定的情况下，水的高度增加，体积也相应增加；水的高度减少，体积也相应减少。接着，创设汽车行驶的情境，通过调用学生已有的速度与路程、时间的关系，促使学生在情境中推理出速度不变的情况下，路程随着时间的变化而变化。最后，教师再以单价固定为例，引导学生发现总价与数量的变化规律。在情境中，教师并没有直接阐述正比例的相关概念，而是以情境为突破口，引导学生借助数据进行合情推理，从而在观察、比较、归纳中得出结论，进而对正比例相关的概念有一个清晰理解。
二、抓住新旧知识联系点，有效促进合情推理的开展
合理情推理不能孤立进行，必须紧扣教材的特点。在培养合情推理能力时，知识间的逻辑结构是关键点，教师可以让学生挖掘知识结构中已有的经验，巧妙以旧知为基础，将合情推理渗透在数学活动中，从而帮助学生更好地构建知识结构。
如，乘法和加法运算定律，它是简便计算的基础，在小数教材中，简便计算是一个难点，运算定律看似简单，但在进行简便计算时，往往需要学生运用综合推理才能迅速解答。如371×101，这题要先将101分解成100+1，再利用乘法分配律；371×99，这道题需要先将99看成100-1，然后再利用乘法分配律。当学生掌握了整数的简便计算后，小数简便计算就比较简单了，如371×10.1，教师可以抓住学生已掌握的整数简便计算的基础，让学生通过类比、迁移等推理出相应的方法，先将10.1看成10+0.1，然后再利用乘法分配律。又如25×6.4，学生借助整数简便计算的基础，将25乘8就会得200，然后把6.4分解成8×0.8，于是算式变成了25×8×0.8，计算过程就清晰了。可以说，合情推理的培养建立在学生的知识基础上，教师巧妙抓住新旧知识的关联点，有效引导学生进行合理的猜想、类比、迁移、推理，就能帮助学生更好地建构知识。
三、构建可操作的教学模式，有效拓展合情推理的深度
在数学活动中，实践操作是重要的学习方式，也是培养合情推理能力的重要渠道。小学教材中，可操作的内容比较多，例如低年级的数数、计算、数感培养、认识图形等，中高年级的空间与图形等都需要学生通过动手操作才能更好地建构知识。面对抽象的数学知识，操作模式能让学生经历感性到理性的过程，学生会在操作中经历观察、比较、类比、分析、推理等数学活动，从而拓展合情推理的深度。
如在推导平行四边形的面积公式时，北师大版教材只提供简单的情境图，但怎样操作推导需要教师自主设计，有些教师为了让学生能快速记牢公式，忽视操作过程，简化推理过程，当公式被推导出来后，往往留出一定时间让学生死记硬背，从短期看，学生可能很快掌握公式，但从长远和知识结构看，学生无法在推导过程中发展数学能力，知识点变得孤立。怎样才是有效的可操作模式？教师可二次处理教材，创设情境，将学生引入探究情境中：先让学生拿出事先准备的学具，但在操作过程中，教师并不作任何提示，而是让学生自主动手操作，让学生多动手、多动笔、多动脑。将平行四边形转换成长方形是本次推导的一个关键点，通过对比新拼成的长方形与原平行四边形的边的关系又是一个关键点。在突破这两个关键点的过程中，学生的观察、比较、推理等活动能有效拓展学生合情推理的能力。
