数学小论文1生活中，处处都有数学的身影，超市里，餐厅里，家里，学校里………都离不开数学。我也有几次对数学的亲身经历呢，我挑其中两件事来给大家说一说。
记得二年级，有一次，我和妈妈逛超市，超市现在正在搞春节打折活动，每件商品的折数各不相同。我一眼就看中了一袋旺旺大礼包，净含量是628克，原价35元，现在打八折，可是打八折怎么算呢？我问妈妈。妈妈告诉我，打八折就是乘以0.8，也就是35*0.8=28（元）。我恍然大悟。我准备把这袋旺旺大礼包买下来，可是，妈妈告诉我，可能后面的旺旺大礼包更便宜，要去后面看看。走着走着，果然，我又看见了卖旺旺大礼包的，净含量是650克，原价40元，现在也打八折。这下，我犯了愁，净含量不同，原价也不同，哪个划算呢？我又问妈妈。妈妈告诉我35*0.8=28（元），40*0.8=32（元），一袋是628克，现价28元，另一袋是650克，现价32元。用28/628≈0.045，32/650≈0。049，0.0490.045，所以第二袋划算一点儿，于是，我们买下了第二袋。通过这次购物，我知道了怎样计算打折数，怎样计算哪种物品更划算一些。
记得四年级，有一次，我和一个朋友出去玩，朋友的妈妈给我们俩出了一道题：1~100报数，每人可以报1个数，2个数，3个数，谁先报到100，谁就获胜。话音刚落，我便思考怎样才能获胜，我想：这肯定是一道数学策略问题，不能盲目地去报，里面肯定有数学问题，用1+3=4，100/4=25，我不能当第一个报的，只能当最后一个报的，她报X个数，我就报（4-X）个数，就可以获胜，我抱着疑惑的心理去和她报数，显然，她没有思考获胜的策略，我用我的方法去和她报数，到了最后，我果然报到了100，我获胜了。原来这道数学问题是一道典型的对策问题，需要思考，才能获胜。到了六年级，我也学到了这类知识，只不过，更加难了，通过这次游玩，我喜欢上了对策问题，也更加爱思考，寻找数学中的奥秘。
数学，就像一座高峰，直插云霄，刚刚开始攀登时，感觉很轻松，但我们爬得越高，山峰就变得越陡，让人感到恐惧。这时候，只有真正喜爱数学的人才会有勇气继续攀登下去，所以，站在数学的高峰上的人，都是发自内心喜欢数学的，站在峰脚的人是望不到峰顶的。只有在生活中发现数学，感受数学，才能让自己的视野更加开阔！
数学小论文2我每次做数奥都是拿起一道题拉起来就做，因为我觉得这样做起来很快。可是今天做数奥时，有一道题改变了我的看法，做得快不一定是做得对，主要还是要做对。
今天，我做了一道题目把我难住了，我苦思冥想了好几个小时都没有想出来，于是我只好乖乖地去看基础提炼，让它来帮我分析。这道题目是这样的：求3333333333的平方中有多少个奇数数字？分析是这样的：3333333333的平方就是3333333333×3333333333，这道乘法算式由于数字太多使计算复杂，我们可以运用转化的方法化繁为简，也就是把一个因数扩大3倍，另一个因数缩小3倍，积不变。使题目转化为求9999999999×1111111111=（10000000000-1）×1111111111=11111111110000000000-1111111111=11111111108888888889因此，乘积中有十个奇数数字。这道题，我们还可以位数少的两个数相乘算起，就能发现积中奇数的数字个数。即3×3=9积中有1个奇数数字。33×33=1089积中有2个奇数数字。333×333=110889积中有3个奇数数字。3333×3333=11108889积中有4个奇数数字。……
从上面试算中，容易发现积是由1，0，8，9四个数字组成的，1和8的个数相同，比一个因数中的3的个数少1，0和9各一个，分别在1和8的后面。积中奇数的数字个数与一个因数中3的个数相同，可以推导出原题的积是：11111111108888888889，积中有10个奇数数字。
做了这道题，我知道做数奥不能求快，要求懂它的方法。
数学小论文3你有遇到过不会做的题目吗？可不今天我就遇到一个题不会了，这个问题是：一个挂钟一天一共敲了多少下？这个钟整点是几时它就敲几下，每半点时只敲一下。这个时钟现在在我们身边很少见，现大家都用上手机、电子时钟，很少见到这能讲话的钟。
当我遇到这题时，考虑到一天有24小时，先写的算式是：整点时敲---1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=78（下）；一天整点敲---78*2=156（下），因每天有24小时，以上才算12小时整的敲响数，所以在此要乘2才能算出一天所敲响的数；题中所讲每半点敲1下，可算出12*1=12（下）12*2=24（下）；一天所敲响----156+24=180（下）
妈妈见我写的算式后对我说：“不光有这个方法，还有一简单的算法。”于是我开动小脑筋，还是想不出比此更简单的方法，无奈之下我只以能求助妈妈。
妈妈对我讲简单的方法从这12个小小数字中找规律：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12，在此这12个数字帮它们找朋友，每两个数字为一组，每组得数一样多。在妈妈的提醒下我想到：这六组朋友：第一组--1+12=13、第二组—2+11=13、第三组—3+10=13……第六组—6+7=13。每12个数中有6个13个，一天整天中还有个12时，可列出：（6*13）*2=156（下）①；每半点敲一下，一天中有24小时，可得出：24*1=24（下）②。一整天时钟敲多少下，用①+②=156+24=180（下）。
首次我完成的结果虽然与在妈妈的提醒下完成的结果一样，但是两个的方法后者较简单速度也快。通过这题目，我明白了无论做什么题时，有最笨拙的方法也有简单的方法，只要你能找到规律，相信自己，一定行！只要你敢于思考、静心对待问题，新的方法总能出现的。
数学小论文4今天，我遇到两道数学题，并得到了一些窍门。
第一题：幼儿园买进大小两种毛巾各40条，共用58。8元。大毛巾比小毛巾的2倍多0.12元。这两种毛巾各多少元？其实，这道题还是较简单的。只要用解方程就行了。先算出大小毛巾的价钱，在计算，不一会，我就做完了。
乔布斯水果店原来将一批苹果按100%的利润(即利润是成本的100%)定价出售，由于定价过高，无人购买。后来不得不按38%的利润重新定价，这样售出了其中的40%。此时，因害怕剩余水果腐烂变质，不得不再次降价，售出了剩余的全部水果。结果，实际获得的总利润是原定利润的30.2%，那么第二次降价后的价格是原来定价的62.5%。第二次降价的利润是：(1.302-40%×1.38-0.6)÷(1-40%)=25%，价格是原定价的(1+25%)÷(1+100%)=62.5%。接着道题要把这批苹果看成1，价格也看成1，这批苹果总共分两次卖，第一次卖了0.4，第二次卖了0.6。总的利润是30.2%，总的售出价格就是1.302，第一次卖了40%×1.38，1.302-40%×1.38就是第二次卖出的总货款。再减掉二次的成本60%，就得到第二次多卖出的钱。利润就是销售价比成本价多出来的钱再除以成本，所以用这个钱除以第二次的成本1-40%,就等于第二次降价后的利润，这时候需要注意，原来的定价应该是(1+100%)，所以用(1+25%)÷(1+100%)相除就等于所要答案。
关键词：林纾的翻译钱钟书“化”境“媒”“诱”“讹”
本文以人教版小学二年级语文课文为文本，主要使用antconc3.2.1w软件中的clusters、collocates、worldlist、concordance等工具来分析人教版小学二年级语文教材的词汇的型例比、单双音节词汇的多寡、词类的分布情况、词汇的搭配情况、平均句长以及句类分布情况，通过分析得出小学二年级语文教材的优劣之处，以下为分析报告。
一、人教版小学二年级语文教材词汇的型例比分析
通过使用antconc3.2.1w中wordlist这一软件，我们可以得出人教版小学二年级语文教材词汇的型例比数据如下表一所示：
通过以上表一并根据词汇型例比公式我们可以得出人教版小学二年级语文上册的词汇型例比为24%，即词汇丰富程度为24%。人教版小学二年级语文下册的词汇型例比为26%，即词汇丰富程度为26%。通过分析我们可以清楚地看到人教版小学二年级语文下册的词汇丰富程度明显高于人教版小学二年级语文上册的词汇丰富程度，这是符合小学生的认知发展情况的。
二、小学二年级语文教材单双音节词汇的多寡
通过antconc3.2.1w这一软件中clusters这一工具的分析可以得出人教版小学二年级语文教材词汇的音节长短分布情况，如下图表二所示：
通过上图二我们可以清楚地看到人教版小学二年级语文教材的词汇总体来说是以单音节的词汇为主，双音节的词汇次之，多音节的词汇最少。就上下册来看无论是单音节词汇、双音节词汇还是多音节词汇的数量下册的都要多于上册的。这都是符合人类认知的复杂性的，由易到难。就上册来看以单音节的词汇为主，双音节的词汇次之，多音节的词汇最少，这是符合总体规律的。但是，就下册来看双音节的词语是多于单音节的词语的，多音节的词语依然最少。
三、小学二年级语文教材主要词类的分布情况
通过antconc3.2.1w中wordlist与cluster这一软件，并提取了部分词频表，我们可以得出人教版小学二年级语文教材主要词类分布情况如下图表三所示：
频次表一：人教版小学二年级下册语文教材词类分布频次表（注：freq代表频次、cluster代表词条、v代表动词、w代表标点符号、n代表名词、u代表助词、d代表副词、a代表形容词）
图三：人教版小学二年级下册语文教材主要词类分布（注：图中的数据代表词汇的个数）
通过上频次表一我们可以清楚地看到教版小学二年级语文教材主要词类无论是上册还是下册都是以动词、名词、助词、副词、代词为主的，其中动词站总词数的比例最大。上图表三我们可以清晰地观察到动词、助词、副词、代词以单音节为主，名词以双音节为主，多音节的词汇无论是总体来看还是在不同的词类中来看都是最少的。
四、小学二年级语文教材主要词汇的搭配情况
我们主要使用antconc3.2.1w中clusters及collocates这一软件对主要词类做了搭配方面的分析，并提取了部分词频表。现分析如下：
（一）动词搭配情况
频次表二：人教版小学二年级下册语文教材动词分布频次表（注：freq代表频次、cluster代表词条、v代表动词、“w”代表标点符号、“说/v”表示“说”是动词、“v了”代表动词后是“了”）
由以上词频表二可以看出上册出现的最多的动词是“说”出现了88次，其次是“是”出现了56次，再次是“有”。下册出现的最多的动词是“是”出现了84次，其次是“说”出现了82次，再次是“有”。无论是上册还是下册出现在动词后的频率最高的都是“了”。由此可知在人教版小学二年级语文教材中“说、是、有”这三个动词占据了动词的主要部分，而且与动词搭配最频繁的是“了”。
（二）名词搭配情况
频次表三：人教版小学二年级下册語文教材名词分布频次表（注：freq代表频次、cluster代表词条、n代表名词、“w”代表标点符号、“n的”代表名词后是“的”）
由上频次表三来看无论是上册还是上册，名词后出现的除了标点符号以外最多的就是助词“的”了，这可能与名词常做定语修饰中心词有关，而“的”是定语
的标志。
（三）助词搭配情况
关于助词我们主要分析“的”“地”“得”的搭配使用情况。
频次表四：人教版小学二年级下册语文教材助词分布频次表（注：freq代表频次、cluster代表词条、u代表助词、“w”代表标点符号、“着/u”表示“着”是助词）
由上频次表四来看在“的、得、地”三个使用最频繁的是助词“的”，而助词“的”是定语的标志，由此可知小学二年级定中搭配的词汇相对于状中搭配与动补搭配的词汇来说是较多的。
五、小学二年级语文教材的平均句长
通过antconc3.2.1w这一软件中clusters这一工具的分析可以得出人教版小学二年级语文上下册的平均句长，如下表四所示：
通过表四我们可以清楚地看到人教版小学二年级语文教材上册的平均句长略短于人教版小学二年级语文教材下册的平均句长，这是符合学生学习的难度的。
我们还将人教版小学二年级语文教材的平均句长与人教版小学一年级及三语文教材的平均句长进行了对比，对比分析后发现随着年级的增高平均句长也在增长。
六、结语
通过以上数据分析，就人教版小学二年级上下册语文教材来看，人教版小学二年级语文教材的安排是有优劣之分的。
其优势在于它的词汇的型例比、词汇音节的多寡、词类的分布情况、词汇的搭配情况、平均句长以及句类分布情况难易程度的分布是符合小学生认知发展情况的，即由上册到下册词汇越来越丰富，平均句长也是逐渐加长的，句类也是由数量多的陈述句到数量少的疑问句来分布的。
在新课改的要求下，数学史逐渐融入小学数学教育，其重要性在小学数学教材中相关数学史内容的编排上得以体现。数学史作为数学文化的一部分，不仅对学生具有极大的德育、智育和美育价值；也有助于小学数学教师加深对学生数学认知过程的了解，提升对教材的理解能力，并形成独特的教学风格。
关键词：
数学史；小学数学教材；数学文化
数学，起源于人类对生产生活中实际问题的探索与解决。数学史凝聚着无数数学家和数学工作者的智慧，不仅在国际教育界得到认可，也受到我国数学教育工作者的重视。在新课改明确提出将数学史融入小学数学教育后，我国多个版本的小学数学教材都对数学史的内容进行了选择和编排。数学史的学习，不仅能激发小学生数学学习的兴趣，有助于他们对知识的理解，更能展示出知识形成的线索，有助于教师的数学教学。
一、数学史与小学数学教育的关联建立与发展
德国数学家海尔布罗纳与法国数学家蒙蒂克拉分别于1742年和1758年出版的《世界数学史》与《数学史》，标志着一个独立研究领域———数学史的出现。之后，数学史的教育价值得到了众多学者的关注和研究［1］85－89。1972年，研究数学史与数学教育关系的国际研究小组（HPM）成立，数学史渗透到数学教学中、数学史与学生的认知提升、数学史与教师的专业发展等都是其研究与关注的主要内容。数学史，是数学文化中非常重要的一部分，它揭示了数学知识的产生和发展的曲折过程，包含数学知识，思想方法，思维过程，是人类智慧宝库中的结晶［2］98－99。教育部在2001年颁布的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中强调数学史的教育功能，在教材编写建议中明确提出“介绍有关的数学背景知识”，认为这样不仅可以让他们对数学的发展历程有所认知，还可以让他们初步体会数学在人类社会发展史做出的非凡贡献，体验到数学的价值，激发他们学生学习数学的欲望。2005年5月，我国“第一届全国数学史与数学教育会议”在西北大学召开，来自全国多个省市以及国外著名大学的众多学者参加了此次会议。会议围绕如何将数学史与数学教育相结合以及如何在数学教学中运用数学史这一主题展开。该会议提出了研究数学史的重要目的———为历史而历史、为数学而历史、为教育而历史［3］108－109。在2011年颁布的《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）中，对这一内容进行了进一步的细致化。在“教材编写建议”部分中提到，数学文化是教材中不学发展史的相关材料，帮助小学生了解数学在推动人类文明发展过程中所起的重要作用，增加小学生对数学的学习兴趣，感受数学家严谨和认真的治学态度，欣赏数学所蕴含的逻辑美与形式美等。例如，可以引入《九章算术》、《几何原本》、珠算、黄金分割等数学史料。在教材内容设计上，《标准》还提倡要为学生提供一定量的数学阅读材料，包括背景材料、史料知识等，供学生选择阅读［4］63。可以看出，虽然我国数学史与数学教育关系的研究起步较晚，但自新课改实施以后，对于数学史与数学教育的联结与互动日益重视起来。在“一纲多本”的理念下，我国小学数学教材编写呈现出丰富多样的态势，数学史作为数学背景知识的重要内容之一也呈现出多维度的渗透与融入小学数学教材中的特点。下面以人教版和苏教版两个不同版本的小学数学教材作为对象进行简要分析。人教版小学数学教材，从一年级上册到六年级下册共十二册，每册平均约110页。其中，一年级上册、一年级下册、二年级上册、二年级下册、四年级下册和六年级下册均未安排数学史相关内容。涉及的数学史内容包括三年级上册的分数表示法、乘号的来历、古代计时工具介绍；三年级下册的七巧板、加减符号、小数的表示法、除号的来历、指南针等等。纵观涉及数学史内容的6本教材发现，除了六年级上册只有一处数学史内容———鸡兔同笼外，其余各册所含较多，共23处。且每处篇幅大小不等，从1／4页到一页不等。苏教版小学数学教材平均每册110页左右。其中，一年级上册、一年级下册、二年级上册、二年级下册、三年级下册、五年级上册和六年级下册均未涉及数学史内容。其余几册共有13处，分别为三年级上册的24时计时法、分数的产生、古代计数法；四年级上册的计算工具的发展、古代乘法计算（铺地锦）；四年级下册的哥德巴赫猜想、古代欧洲“双倍法”、计算乘法、用字母表示数；五年级下册的古代方程思想方法的发展、求公因数方法；六年级上册的鸡兔同笼、黄金比［5］80－83。以此为基础，对两种版本的教材关于数学史的相关方面进行进一步分析、比较，可以发现：首先，数学史在数学教材中呈现的时段具有以下特点：一是一、二两个年级均未涉及数学史内容；其次，在数学史的呈现方式上，两个版本的教材都有“文字给出”、“文字为主辅以图片”、“图片为主辅以文字”和“连环画”四种形式。其中，“文字为主且辅以图片”形式占多数；再次，在数学史内容的选择上，两种版本的教材皆选取了著名数学家的故事（如高斯、杨辉等）、相关数学知识史料（如分数的表示法、除号的来历等）以及经典数学问题（哥德巴赫猜想）等具有教育意义的素材；最后，在选材时空上，跨越中外，横跨古今，如此广阔时空的数学史内容，既可以让学生感受数学的发展历程，又能够拓展学生在数学方面的视野。
二、数学史学习与小学生的发展
读史可以明智。数学史是一部厚重的、丰富多彩的文化史，它如同人类演变史一样，再现数学发展的原貌和全景，展现出伟大数学家们不断探索的艰辛的数学历程和数学的独特魅力。小学数学教材中数学史的融入对小学生的发展具有重要的促进作用，兼具德育、智育和美育价值。
（一）德育价值
学者骆祖英早于1996年所写的《略论数学史的德育教育价值》一文中指出了数学史具有不可替代的德育教育价值。第一，数学史的学习有助于爱国主义、国际主义教育。数学，归根结底来源于生产和生活实际问题的解决，与社会政治、经济、文化等的发展有着密切的联系。我国数学具有辉煌的发展历史，在14世纪以前曾是数学大国，取得的数学成就得到了世界的公认。近现代也涌现出了多位数学大师，如华罗庚、陈景润、陈省升等，他们均作出了令世界瞩目的伟大成就。在我国数学不断发展的同时，国外数学领域也有瞩目的成果不断诞生。因此，对数学史的学习和了解，不仅能够使小学生感受祖国的光辉荣耀，激发学生的民族自信心和自豪感，同时，也能接轨国际数学教育，了解其他民族文化中有关数学的应用，并体会到数学文化的多样性，为数学的无穷魅力所折服。第二，数学史的学习有助于加深对辩证唯物主义的认识。数学教育，多数时候是以相对概念出现的，如“大”与“小”、“多”与“少”、“加”与“减”、“有理”与“无理”等。因此，从发展历程而言，数学就是在不断的对立、转化的循环往复中取得进展的，数学史不仅是一部矛盾史，也是一部运动发展史，充满了辩证唯物主义。对数学史的学习，将有助于加深学生对辩证思想的认识与体会。第三，数学史的学习有助于学生人格和精神的成长。数学上的每一步前进，都需要数学家们艰辛的探索和实践，哪怕是一个小小的证明，都需要极大的耐心和勇气作支撑。伟大的数学家，如欧拉、华罗庚等，身残志坚，为钻研数学作出了很大的牺牲。数学史充满了数学家们为真理而献身的事迹，他们的伟大人格和崇高精神为小学生们照亮了学习的旅程，激励他们勇敢地克服困难，为数学奋斗［6］。
（二）智育价值
美国数学家、数学史学家莫里斯•克莱因曾说过，由于在课堂学习中，学生也会遇到数学家曾遭遇的各种难点和问题，因而历史对于课堂教学具有极其重要的指示和借鉴作用［7］11－14。作为学生，虽然以学习间接经验为主，不必重复历史，但也不该从历史停止的地方开始学习。新课改强调小学生的学习方式不应只限于接受、模仿与记忆等，而应积极进行自主学习与合作探究。小学生要逐步在教师的引导下，懂得主动去发现、探索并感受知识的形成过程，如此将有助于培养学生的创造力和自主学习能力；此外，数学史也是一部思维发展史。数学思维作为数学的灵魂，是数学中最根本、最精彩且最有价值的部分。因此，小学生学习数学，应该遵循“重现法则”，小学数学教材中通过系统地呈现数学史料，渗透数学思想，将重要的数学思想方法和思维方式深入浅出地呈现给小学生。学生通过对和自己所学相关的数学史内容的观察、猜测、推理与交流等活动，逐步得到数学思维的训练，并提高思考问题和解决问题的意识，进而能够促进学生增长知识，发展智力。通过了解，更好的体会数学知识的价值及其应用。
（三）美育价值
数学，源于自然，是对自然之美的探索和解密。数学的内在美具有的神奇魅力，是驱使数学家们奋斗和拼搏的内在动力。随着社会的进步和发展，数学史的美学价值，逐渐引起教育界的注意并被挖掘出来。如黄金分割比0．618，是古往今来被认可的呈现数学美的典型案例。公元前6世纪，古希腊的哲学家、数学家毕达哥拉斯在研究正五边形和正十边形的作图中初涉这个比例。随后在公元前4世纪，柏拉图学派中最杰出的数学家———欧多克索斯，在处理“不可公度量”问题时对此进行研究，并依此建立的比例理论推动了数论和几何学的发展。最后，在欧几里得的《几何原本》著作中，黄金分割这一理论得到系统的论述并成立。德国天文学家开普勒称黄金分割为“神圣分割”。此后，黄金分割比0．618尤其受到建筑师们的青睐。无论是古埃及的神奇金字塔，印度的名著泰姬陵，还是中国的艺术博物馆———故宫等，这些享誉全球的建筑尽管风格各异，构造奇美，但都有意无意地使用0．618法则，尽显和谐之美，使人赏心悦目。数学史上类似的例子比比皆是，数字与音乐、数学与围棋等方面的探究成果无不彰显了数学所潜藏着的智慧和美。因此，提及数学之美，倘若只是注意到对称，无疑是大大窄化了数学背后所蕴涵的思维之美、方法之美与文化之美。透过教材所呈现的有关数学史料、图片，不仅能让小学生获得数学美的熏陶，提高审美意识，也有助于教师在欣赏数学美的同时学会寻找、挖掘教材中更多的美的元素。
三、数学史学习与小学数学教师的专业成长
数学作为小学的核心课程，对小学生今后的数学学习打下坚实基础起着十分重要的作用。数学史对小学生发展的重要意义，要求小学数学教师不仅需要具备扎实的数学课程专业知识，也需要有宽厚的数学文化底蕴，具备广泛的数学史常识，并能将之有效的融入数学教学之中。因此，数学史在小学数学教育中的融入，对于小学数学教师的专业成长也具有积极的推动作用。
（一）有助于加深对学生数学认知过程的了解
小学生的数学学习包含复杂的认知活动。但由于数学学科严密的逻辑性和高度的抽象性与小学生的思维水平、学习能力存在一定的差距，使得他们在数学学习时总会出现各种各样的错误，如对负数的认识。其实回顾负数概念的发展历程，数学家们也同样经历过各种障碍，甚至大数学家欧拉都对其表示怀疑。认知的历史发生原理提出“个体知识的发生过程遵循人类知识的发生过程”的观点［8］2－3。即学生在数学学习过程中所遇到的一些困难和认知障碍在一定程度上与前人所遇见的极为相似。因此，教师们可以通过对数学史料的学习和分析，梳理出有关数学知识的发生过程，通过数学家所走过的曲折道路去认识学生可能存在的困难，从而在教学中正确认识并把握学生数学学习的认知过程，从而提高教学的质量。
（二）有助于提升对教材的理解能力
香港大学学者肖文强曾说过，一个数学教师，需要像一个独奏表演者一样，可以凭借自己的理解和领会能力去演绎音乐作品，但要演绎得十分美妙，表演者自身必须先了解并熟悉这部作品［9］48－49。数学史是认识数学、了解数学、学习数学的重要工具，一旦脱离，教育者则丢失了数学宝贵的财富，只剩下简单的逻辑、公式与例题。苏联著名教育心理学家维果斯基也曾指出影响个体所处的社会文化对个体的认知发展具有十分重要的影响［10］131。不同的教材使用，要求教师要有广泛的知识面和深刻的理解能力，而精选的数学史料则能帮助教师加深对数学的认识，提高对教材的理解和掌控能力。
（三）有助于形成独特的教学风格
教师要将数学文化融会贯通，必须真正读懂教材。数学史在小学数学教材中占据越来越重要的地位，以注释、小知识点的形式呈现，展现古往今来的数学家、数学成就、数学难题等。教师在授课时，倘若只是局限于知识静态教学，学生则在长久的学习和艰难的探索中容易对数学失去兴趣。所以，充分利用数学史，开创独特的教学模式，向学生介绍著名的数学典故，展示优秀的数学成果，将数学知识置于历史长河中，让数学知识以动态的形式走进学生的心中，将有助于教师形成独特新颖的教学风格［11］21－24。
四、总结
数学史源远流长，丰富多彩，将数学史的相关内容编排进小学数学教材中，不管是对于小学生的学习，还是对于小学数学教师的教学都有积极的促进作用。但目前小学数学教材中数学史的呈现多数仅限于静态的点，还难以在学生头脑中动态的联系起来。随着电子教材、多媒体等现代教学媒体技术的广泛应用，数学家、数学教育者、小学数学教材编写者应探索更多的将教育史融合于教材中的方式方法，提供广泛的资源库和电子链接，开发数学史选修课程，编写数学史读本等，真实地展现数学充满挫折和困难的发展历程，而不仅限于静态的数学成果的呈现。作为一线教育者的小学数学教师，应通过课题研发、专项培训、改革教育模式、与高校教师联手等方式努力提升数学史素养，不断提升自身专业水平。
作者：李星云 单位：南京师范大学小学教育研究所
参考文献：
［1］谢明初．数学史应用于数学教育：发展历程与研究展望［J］．广东第二师范学院学报，2013（33）．
［2］教育部．全日制义务教育数学课程标准（实验稿）［M］．北京师范大学出版社，2001．
［3］冯振举，杨宝珊．发掘数学史教育功能，促进数学教育发展［J］．自然辩证法通讯，2005（27）．
［4］教育部．义务教育数学课程标准（2011年版）［M］．北京师范大学出版社，2011：63．
［5］杨豫晖，魏佳，宋乃庆．小学数学教材中数学史的内容及呈现方式探析［J］．数学教育学报，2007（16）．
［6］骆祖英．略论数学史的德育教育价值［J］．数学教育学报，1996（5）．
［7］（美）莫里斯•克莱因．古今数学思想［M］．张理京，张锦炎，江泽涵，等译．上海科学技术出版社，2009．
［8］徐章韬，汪晓勤，梅全雄．认知的历史发生原理及其教学工程化［J］．数学教育学报，2012（1）．
［9］陈秀琼，杨高全．提高小学数学教师的数学史知识水平［J］．湖南教育（数学教师），2009（12）．
评价性内容是指与评价有关的内容，主要是教材中非课文内容部分中能够体现学生评价、判断的相关语句。当代教育强调学生的自主学习，作为引导学生学习的重要媒介的教科书应当呈现一定的评价性内容，促进学生对学习，对内容的评价，提升其学习质量。基于此，探讨小学语文教科书中的评价性内容，有着重要的现实价值。
一．苏教版小学语文教材中评价性内容的选择与归类
依据教育评价的相关理论，笔者翻阅现行苏教版全套小学语文教材（2011年版）共计十二册，对这些教材进行了仔细的阅读与认真地记录，并对相关内容进行了严格地筛选和归类。因此本文所呈现的苏教版小学语文教材中的评价性内容，都是非课文内容部分中与学生评价和判断有关的语句内容。如三年级（上册）第7课中的“找出课文中你喜欢的句子，再抄一抄”[1]。以及一年级（上册）中出现的“说一说，上面图中的同学做得对不对；为什么；应该怎样做”。[2]这些内容均属于笔者的研究内容。
对评价性内容进行的分类，具体从其分布、呈现方式、具体内容及评价方式这四个方面对苏教版小学语文教材中的评价性内容进行。
在评价性内容的分布分析中，按分布位置，将评价性内容分为三类，属于课后习题中的评价性内容、属于单元练习中的评价性内容、属于习作中的评价性内容。而在评价性内容的呈现方式分析中，按句式分为三类，属于陈述句型的评价性内容、属于问句型的评价性内容、属于组合型的评价性内容。在评价性内容的具体内容分析中，按其内容属性分为三类：一类是学习型的评价性内容，主要是关涉对学生学习的评价；另一类是内容型的评价性内容，主要关涉对课文内容及课文中人物的做法行为进行的评价；还有一类是生活型的评价性内容，主要是指与学生日常生活相关的评价性内容。而在评价性内容的评价方式分析中，按其评价方式分为两类：一类是通过比较进行的评价性内容；另一类则是不通过比较的评价性内容。
二．苏教版小学语文教材中评价性内容的具体分析
（一）苏教版小学语文教材中评价性内容的分布分析
按分布位置不同，将评价性内容分为三类，一类是属于课后习题中的评价性内容，如二年级（下册）第24课《问银河》中课后的第四小题“你见过‘斜拉桥’和‘拦河大坝’吗；大家都来画一画，看谁画的好”[3]。一类是属于单元练习中的评价性内容，如一年级（上册）《练习6》中的“听老师讲《小猫钓鱼》的故事，然后再把故事讲给同学听；比一比，看谁讲得好”[4]。最后一类是属于习作中的评价性内容，如三年级（上册）《习作7》中的“请你把自己喜爱的玩具带到学校里来，摆一摆，玩一玩，再编个童话故事；先把故事大意讲给同学听，然后写下来，比一比，看谁写得有意思。”[5]评价性内容分布的具体情况详见表1。
经统计，位于课后习题板块的评价性内容共22处，位于习作板块中的评价性内容共5处，位于单元练习板块中的评价性内容共18处，从评价性内容的数量上来看，位于课后习题板块中的评价性内容数量最多，其次是位于单元练习板块的评价性内容数量，而位于习作中的评价性内容数量则最少。
位于课后习题板块中的评价性内容数量呈现出递增的趋势，内容数量随着学段的升高而增多。
位于习作板块中的评价性内容数量，从三年级上学期评价性内容开始在习作板块中出现，直至五年级上学期止，基本都处于第二学段。
位于单元练习板块中的评价性内容数量，呈现出先减后增的趋势，在第三学段时内容数量到达最高点。
苏教版小学语文教材中评价内容分布有其独特的优势，具体表现为：分布区域较多，不论是课后习题、单元练习或习作板块中均有分布，有利于学生进行及时的评价练习；分布范围广，除二年级上册之外，每一册均有分布，尤其是从一年级上册便出现关于评价的内容，有利于学生培养进行评价的意识。
但从教育评价及儿童心理发展的角度来看，苏教版小学语文教材中评价性内容显示出以下不足之处：苏教版小学语文教材中的评价性内容的分布较为零散，不论是横向的每一册中的内容分布，或是纵向的每一学期的内容分布，均无固定的板块及数量，就分布位置的固定性及分布的平均性均较差。因此苏教版小学语文教材中评价性内容在分布的固定性及稳定性方面有待加强。
（二）苏教版小学语文教材中评价性内容的呈现方式分析
笔者将苏教版小学语文教材中的评价性内容，按句式不同分为三类：一类是属于陈述句型的评价性内容，如一年级（上册）的“听老师讲《小猫钓鱼》的故事，然后再把故事讲给同学听，比一比，看谁讲得好”[6]。一类是属于问句型的评价性内容，如四年级（上册）的“你最喜欢这首诗里的哪些诗句”[7]。还有一类是属于组合型的评价性内容，如二年级（下册）的“你见过“斜拉桥”和“拦河大坝”吗？大家都来画一画，看谁画的好”[8]。评价性内容呈现方式的具体情况详见表2。
经统计，以陈述句型出现的评价性内容有27处，以问句型出现的评价性内容有8处，以组合型出现的评价性内容有10处，从数量上看评价性内容最多的是陈述句型，其次是组合型，而问句型出现的最少。
陈述句型的评价性内容，呈现出先增后减的趋势，在第二学段时内容数量达到最高点。
问句型的评价性内容，内容分布并无明显规律，甚至有些杂乱，有些学期并无相关评价性内容出现。
组合型的评价性内容，其分布较为杂乱，在第三学段时出现的评价性内容数量最多。
苏教版小学语文教材中评价性内容的呈现方式有其独特的优势：呈现方式多样，有包括陈述句、问句的句式，并且句式排列较为多样，从句式的作用来看，陈述句表述直白，内容简洁明了，有利于学生理解文字内容，问句表达的语气更为强烈，较能吸引学生的注意，引发学生对于句子意义的思考，并且《义务教育语文课程标准（2011年版）》明确提出，第一学段的学生要能够：在阅读中体会句号、问号、感叹号所表达的不同语气[9]。而一年级（上册）中便已出现带有句号及问号符号的评价性内容，这一点十分符合课程标准对于学生标点学习的规定。
但从教育评价及儿童心理发展的角度来看，苏教版小学语文教材中评价性内容的呈现方式存在不足之处：句子较长，而且句子理解的难度并没有依据学生学习发展的规律依次递增，如一年级（上册）中的评价性内容就比四年级（上册）中的评价性内容，总体上学生理解起来要更困难一些，因此依照学生学习发展的客观规律进行评价性内容呈现方式的选择更为科学合理。此外，笔者发现苏教版小学语文教材中评价性内容的标点的标注存在一定的问题，如“为什么”后面既有“。”标注，又有“？”标注，这也给分类增加了一定的难度，因此不仅要考虑评价性内容的呈现形式与学生发展之间的关系，还要注意规范标点的形式，做到准确、统一。
（三）小学语文教材中评价性内容的具体内容分析
笔者将苏教版小学语文教材中评价性内容，按其具体内容不同分为三类：
一是学习型的评价性内容，主要是指对学生学习的评价，有评价自己学习的评价性内容，如三年级（上册）中的“读读下面的词语，加点的字可要留心呦；读后再查字典，看自己读得对不对”[10]。也有评价他人学习情况的评价性内容，如三年级（上册）中的“收集几个小笑话，讲给同学们听听。看谁说的笑话最有趣”[11]。
另一类是内容型的评价性内容，主要是对课文内容及课文中人物的做法行为进行的评价，如二年级（下册）中“看图，说说下面图中的小朋友在什么地方跟谁说话，说话姿势是不是正确，为什么”[12]。以及一年级（上册）中的“说一说，上面图中的同学做得对不对；为什么；应该怎样做”[13]。
还有一类是生活型的评价性内容，主要是指与学生日常生活相关的评价性内容，如对学生个性特长的评价、学生参加活动的评价等。如四年级（上册）中的“读了这两篇习作，你一定会想，我也有我的长处，我的本领。请选择自己最得意的一个方面写下来”[14]。评价性内容具体内容的分析详见表3。
经统计，学习型的评价性内容有17处，其中对自己的学习进行评价的评价性内容仅1处，对他人的学习进行评价的评价性内容共16处。而内容型的评价性内容有23处，其中对课文词句进行评价的评价性内容共11处，对课文整体进行评价的评价性内容共7处，而对课文中人物做法行为进行评价的评价性内容有5处。生活型的评价性内容仅有5处。
从内容数量来看，内容型评价的数量最多，其次是学习型内容，而生活型内容的数量则相对最少。
对自己的学习进行评价的评价性内容仅有一处，并且在第二学段中才出现；在对他人的学习进行评价的评价性内容中，第二、三学段中的相关内容明显较多。两者从比例上来说极不均衡。
在对课文词句进行评价的评价性内容中，同样也较为集中在第二、第三学段；在对课文整体进行评价的评价性内容中，几乎仅在第三学段出现过相关内容；在对课文中人物做法行为进行评价的评价性内容中，则只在第一、第二学段出现过相应的内容。
而生活型的评价性内容，则基本分布在第三学段，一共仅出现了5处，占总体数量的比例也较少。
苏教版小学语文教材中评价内容具体内容的编排有其独特的优势：苏教版小学语文教材中评价性内容涉及的范围较广，既包含与课文内容相关的评价性内容，也包含了与学生相关的评价性内容，内容的类型多、范围广，这样的内容编排有利于学生体验不同类型的评价，丰富学生对评价内容的认识。
但从教育评价及儿童心理发展的角度来看，苏教版小学语文教材中评价性内容中具体内容的编排存在以下不足之处：尽管教材涉及的评价内容类型较多，但有关学生对自我进行评价的内容很少，直到三年级上学期，即第二学段时才出现相关的内容，并且仅有2处相关内容。而根据儿童心理发展理论的相关知识：我国儿童自我意识各因素（自我评价、自我体验、自我控制）的发展是随年龄的增长而发展的，其中自我评价开始发生的年龄为3—4岁之间。[15]这一结论正说明了处于第一学段中的学生，完全有能力也应该进行自我评价，并且学生在1至3年级期间，自我意识的发展速度十分迅速，因此苏教版小学语文教材中应该适当增加有关学生自我评价的内容，并且应该从一年级上学期开始就有意识地培养学生的自我意识与自我评价的能力，这样能够使得评价性内容的内容编排更为全面、科学。
（四）小学语文教材中评价性内容的评价方式分析
笔者对苏教版小学语文教材中评价性内容，按其评价方式的不同分为两类：一类是通过比较的评价性内容，即有对比的评价性内容，如三年级（上册）的“练习讲一讲‘哪吒闹海’的故事，看谁讲得最生动”[16]。另一类则是不通过比较的评价性内容，即无对比的评价性内容，如三年级（上册）中的“当你一个人在家的时候，有人敲门，你会怎么想，怎么做；大家说说这些做法对不对，为什么”[17]。而有无对比的评判标准，笔者则是依据评价性内容中有无“比一比”、“看谁”、“谁最”等一些含有比较性质的词语。评价性内容的评价方式分析详见表4。
表4 苏教版小学语文教材评价性内容的评价方式分析
经统计，有对比的评价性内容共19处，无对比的评价性内容共26处。从数量上看，无对比的评价性内容多于有对比的评析性内容。
有对比的评价性内容，总体呈现递增的趋势，第三学段时内容的数量达到最高点，但六年级时并无相关内容出现。
无对比的评价性内容的趋势则相对平稳一些，第二学段及第三学段时所占比重均较多，第一学段时内容数量最少。
尽管从数量上来看，无对比的评价性内容多于有对比的评价性内容，但从内容出现的时间来看，在一年级上学期时就已经出现让学生进行比较的评价性内容，过早让学生进行比较，这一点是否符合儿童心理发展的规律仍需进行更深一步的研究。
苏教版小学语文教材中评价内容具体内容的编排有其独特的优势：体现的评价方式较多，学生能够得到不同锻炼机会，并且通过比较也有利于学生思维能力等方面的发展。
但从教育评价及儿童心理发展的角度来看，苏教版小学语文教材中评价性内容的评价方式存在以下不足之处：尽管评价方式较多，但其中大部分评价的进行需通过比较的方式，并且还让学生通过比较他人与自身的学习表现，从中选出表现较好的一方，这样的比较方式、结果，以及比较次数的过于频繁，会使学生之间产生相互攀比、相互竞争的问题，从而影响到同学之间的关系。此外，对学生评价能力发展的相关研究中也并未提倡或鼓励过早的让学生接触比较性的评价，因此关于选择何种评价方式让学生进行评价的问题，还有待于进一步研究。
(注：本文是教育部人文社科研究一般项目“大陆与台湾现行小学语文教科书比较研究”（12YJA880066）的阶段性成果。)
注释：
[1]张庆，朱家珑.语文第五册[M].南京：江苏教育出版社，2011：38.
[2]张庆，朱家珑.语文第一册[M].江苏教育出版社，2011：128.
[3]张庆，朱家珑.语文第四册[M].江苏教育出版社，2011：135.
[4]张庆，朱家珑.语文第一册[M].江苏教育出版社，2011：138.
[5]张庆，朱家珑.语文第五册[M].江苏教育出版社，2011：123.
[6]张庆，朱家珑.语文第一册[M].江苏教育出版社，2011：138.
[7]张庆，朱家珑.语文第七册[M].江苏教育出版社，2011：8.
[8]张庆，朱家珑.语文第四册[M].江苏教育出版社，2011：135.
[9]中华人民共和国教育部.义务教育语文课程标准（2011年版）[S].北京师范大学出版社，2012.：8.
[10]张庆，朱家珑.语文第五册[M].江苏教育出版社，2011：107.
[11]张庆，朱家珑.语文第五册[M].江苏教育出版社，2011：93.
[12]张庆，朱家珑.语文第四册[M].江苏教育出版社，2011：78.
[13]张庆，朱家珑.语文第一册[M].江苏教育出版社，2011：125.
[14]张庆，朱家珑.语文第七册[M].江苏教育出版社，2011：40.
[15]朱智贤.中国儿童青少年发展与教育[M].北京：中国卓越出版公司，1990：420.
[16]张庆，朱家珑.语文第五册[M].江苏教育出版社，2011：55.
【关 键 词】小学数学教材；九章算术；负数
中图分类号：G622 文献标识码：A 文章编号：1005-5843（2013）04-0146-03
1972年第二届国际数学教育（ICM）大会上成立了数学史与数学教育国际关系研究小组（ International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics ），简称HPM。HPM关注的内容包括：数学与其他学科的关系、多元文化的数学、数学史与学生的认知发展、数学史与发生教学法、数学史与学生学习的困难、数学原始文献在教学中的应用等等。自1996年开始，HPM组织研究的一个重点是数学史在数学教学与学习中的角色。直到2005年5月我国第一届HPM研讨会在西安（西北大学）召开，我国才建立起HPM的交流平台，这也标志着我国HPM研究进入组织化阶段。
新颁布的数学课程标准（以下简称新课标）也凸显了数学史的地位和作用，无论义务教育阶段还是普通高中阶段，都有与数学史相关的论述和要求。2011年版的小学数学新课标指出：数学文化作为教材的组成部分，应渗透在整套教材中。为此，教材可以适时地介绍有关背景知识，包括数学在自然与社会中的应用以及数学发展史的有关材料，帮助学生了解在人类文明发展中数学的作用，激发学习数学的兴趣，感受数学家治学的严谨，欣赏数学的优美。例如，可以介绍《九章算术》、珠算、《几何原本》、机器证明、黄金分割、CT技术、蒲丰投针等。[1]因此，义务教育数学课程标准小学数学实验教材各版本，都不同程度地选入了一些数学史料作为背景知识。
迄今为止，已有一些专门研究小学数学教材中数学史相关问题的文章，但是就某一具体内容进行专门研究的尚鲜见。笔者认为，对这些问题的研究，无疑能为高师教师提供参考依据，使其在进行数学史教学时对相应内容有所侧重。本文主要讨论小学数学教材中的《九章算术》内容。文章选取人教版[2-4]、苏教版[5-7]和北师大版[8-11]教材作为主要研究对象。
一、《九章算术》简介
《九章算术》是中国古典数学最重要的著作，也是世界数学史上极为珍贵的古典文献。它总结了秦汉以前我国在数学领域的辉煌成就，开创了独具一格的理论体系，它的成书标志着中国传统数学理论体系的形成。该书的作者和成书年代据考证至迟在公元前1世纪。[12-14]
现传本《九章算术》包括246道数学问题，按性质分属于方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、句股九章，故称为《九章算术》。全书采用问题集的形式，书中每道题都有问、有答、有术（解题的思想方法、公式、法则），有的一题一术，有的一题多术，有的多题一术。其内容与当时或更早的社会生产、经济、政治等都有密切联系，许多社会问题在书中都有反映。[14]
《九章算术》的成书标志着中国传统数学理论体系的形成，公元656年，李淳风受诏负责编撰“算经十书”作为国学的标准数学教科书，[12]其中就包括《九章算术》。
正是由于《九章算术》在我国数学史上的重要地位及其影响，三种版本的教材均用了较多的篇幅介绍与教学内容有关的《九章算术》史料。
二、小学数学教材中的《九章算术》史料
以下分别是人教版、苏教版以及北师大版小学数学教材中关于《九章算术》的内容及呈现形式[2-11]（表1）：
由以上统计可以看出，《九章算术》史料在三种版本教材中均是占篇幅最多且介绍最详细的，只是根据各自教学内容的差异，教材选择具体介绍的史料也有所不同，但三种版本均选择了“负数”进行介绍，以下便以此为例加以说明。
三、负数
人教版（如图1）是在六年级下册学习第一章“负数”的过程中以“你知道吗”的形式介绍这一史料的，除介绍《九章算术》的“负数”外，教材还同时介绍了负数在国外的发展；苏教版（如图2）则是在五年级上册第一章“认识负数”的学习任务结束时以“你知道吗”的形式介绍这一史料的，且除介绍了《九章算术》中的“负数”外，教材还介绍了刘徽《注》对“负数”作的注解；而北师大版（如图3）是在四年级上册第七章“生活中的负数”的学习任务结束时以“你知道吗”的形式介绍这一史料的，其关于《九章算术》“负数”的文字介绍与苏教版相似，但没有数学家刘徽关于“负数”概念的解释，同时也没有图片。
关于负数，《九章算术》在第八卷“方程”是这样介绍的：正负术曰：同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之；其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。刘徽对此作了这样的注释：今两算得失相反，要令正负以名之；正算赤，负算黑，否则以邪正为异。[15]即两数相减，同号则绝对值相减，异号则绝对值相加，零减正数为负数，零减负数为正数；两数相加，异号则绝对值相减，同号则绝对值相加，正数加零是正数，负数加零是负数。刘徽注释为：正负是两种“得失相反”情况的反映，用红色算筹表示正数，黑色算筹表示负数，或者用正、斜排列的方式分别表示正、负数。
由以上介绍可以看出三种版本都介绍了《九章算术》用红色算筹表示正数，用黑色算筹表示负数的方法。只是对于其运算律即原文说的“正负术”均未作介绍。俗话说：授人一瓢水，身有一桶水。因此，尽管小学数学教材只介绍了《九章算术》中用算筹表示正负数的方法，但是作为教师的我们，应该对《九章算术》关于正负数的知识都有一个粗略的了解，那么作为高师学校的教师，就更应该在数学史课程介绍关于《九章算术》史料时对负数部分做重点介绍，以便开阔未来小学数学教师们的视野，使得他们在今后的教学中有足够的知识储备，能够尽快成为一名合格的小学数学教师。
参考文献：
[1]全日制义务教育数学课程标准（修改稿）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.1：24.
[2]义务教育课程标准实验教科书数学（五年级上册）[M].北京：人民教育出版社，2005.6：54，85.
[3]义务教育课程标准实验教科书数学（五年级下册）[M].北京：人民教育出版社，2005.11：47，87，112.
[4]义务教育课程标准实验教科书数学（六年级下册）[M].北京：人民教育出版社，2006.10：4.
[5]义务教育课程标准实验教科书数学（五年级上册）[M].苏州：江苏教育出版社，2004：9，16.
[6]义务教育课程标准实验教科书数学（五年级下册）[M].苏州：江苏教育出版社，2004：30.
[7]义务教育课程标准实验教科书数学（六年级下册）[M].苏州：江苏教育出版社，2004：36.
[8]义务教育课程标准实验教科书数学（三年级下册）[M].北京：北京师范大学出版社，2004：54.
[9]义务教育课程标准实验教科书数学（四年级上册）[M].北京：北京师范大学出版社，2004：90.
[10]义务教育课程标准实验教科书数学（四年级下册）[M].北京：北京师范大学出版社，2004：99.
[11]义务教育课程标准实验教科书数学（五年级上册）[M].北京：北京师范大学出版社，2004：48.
[12]李文林.数学史概论（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2011，2：72，89.
[13]朱家生.数学史（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2011.5：54，57.
关键词：马扎诺教育目标新分类；小学数学教科书；习题
一、马扎诺教育目标新分类学理论介绍
马扎诺教育目标新分类学是由美国教育改革家马扎诺博士提出的。其理论基础是有关人的学习行为模式的认识。该模型是三个思维系统和知识领域四个部分所构成。其中，三个思想系统即自我系统、元认知系统和认知系统。马扎诺在人的学习行为模式基础上，提出了新的教育目标分类学的二维模型：一维是认知心理活动的加工处理层次，共有6个层次，分别为信息提取、理解、分析、知识应用、元认知系统和自我系统，其中信息提取、理解、分析和知识应用属于认知系统的四个组成部分；另一维是三种不同类型的知识领域，即信息、心智程序和心理动作程序。
二、对人教版小学数学五、六年级教科书习题的调查研究
发展心理学的观点认为，小学五、六年级的学生逻辑思维已经开始从具体形象思维逐步向抽象逻辑思维过渡，推理能力得到发展。思维的发展是由低一级水平向高一级水平逐级过渡，这种发展顺序也是无法更改的。因此，在设置学习任务时，也必须与学生思维发展水平相适应。
（1）“提取”层次的比较与分析。“提取”在各年级习题中所占的比重都比较高。马扎诺认为“提取”主要包括再认、回忆和执行三过程，各年级习题的“提取”层次中，很大一部分是对知识的执行，主要表现为计算、运算方面。小学数学高年级的学习任务是进一步学习分数、小数、百分数的运算，增强学生对运算意义的理解，加强算法的运算能力。因此，五年级、六年级习题中“提取”层次所占比重较高，符合了小学数学高年级学习目标。
（2）“理解”层次的比较与分析。习题的“理解”层次随着年级的升高，其所占比重也在增加。理解在在知识的基础上通过整合和表征的形式生成新的知识，有利于存储到工作记忆中。小学高年级学生的思维逐渐向抽象逻辑思维发展，因此，“理解”所占的比重也需要根据学生思维发展特点逐渐增加。由此，五年级、六年级习题中“理解”所占比重逐步增加，符合了学生思维发展特点。
（3）“分析”层次的比较与分析。五年级上册和六年级上册习题的“分析”层次比较低，而五年级下册和六年级下册习题的“分析”却明显比较高。五年级下册习题的“分析”层次高于五年级上册习题的“分析”层次，六年级上册习题的“分析”层次高于六年级下册习题的“分析”层次，这符合了思维发展的一般规律。但是四册习题的“分析”层次并没有逐步提高，而是呈曲线发展，这与思维发展规律有偏差，可能在习题编制上存在一些不足。
（4）“知识运用”层次的比较与分析。五年级上册和六年级上册习题的“知识运用”层次高于五年级下册和六年级下册习题的“知识运用”层次。与“分析”层次相似，在习题的“知识运用”层次上，并没有逐步增加，而是呈曲线发展。这与思维发展规律存在偏差，在习题编制上可能存在着一些问题。
（5）“元认知”层次的比较与分析。“元认知”层次在四册教科书习题中所占比重都比较低。但“元认知”对监控学生自我学习内容、评价学习水平具有十分重要的作用，有助于将学习的主动权交还给学生。因此，各年级习题中“元认知”所占比重低，需要引起注意。
（6）“自我系统”层次的比较与分析。“自我系统”层次在四册教科书习题中所占比重都很低。马扎诺认为，自我系统决定着学生是否会开始这项任务以及投入多少精力到任务中。在数学习题中，对这一部分的体现会有一定的难度，因此目前教科书中的习题所占比重低。但这一部分需要提高关注度。
三、结论
通过对教科书的分析，思维的元认知系统和自我系统在五年级、六年级四册习题中所占比重都很低，需要在这两方面进行重视。在四册习题涉及的认知系统中，各水平随着年级的升高而发生变化，但“提取”和“理解”一直处于较高的比例，需要加大认知系统中的“分析”和“知识运用”水平的比重。
四、建议
（一）适当减少提取水平的题目，增加高认知水平的题目
目前小学教科书习题中涉及高认知水平的比例很低，仅占习题中很少的一部分，涉及“提取”水平的比例远远高于高认知水平。这就会导致学生“只知其然而不知其所以然”问题，从而不利于学生数学思维的发展。高认知水平既是新课程标准所要求的，更是目前学生最为缺乏的，需要重点培养的。因此，适当减少提取水平的习题，增加高认知水平的习题显得格外的重要。更加注重对问题的“分析”水平和“知识运用”水平，同时也能够提高学生解决问题的好奇心和兴趣，增强学生的学习热情，让学生体会到数学学习的乐趣。
（二）习题应加强元认知系统所占比例
北师大版的整理与复习内容为学生提供了空白部分，这相对于人教版的整理与复习内容，这部分对学生的成长有很大的帮助的。留足空白，让学生运用自己习惯的方式对所学知识进行整理，并根据所学的知识自主创造习题，然后与同学进行交流解决。这样充分发挥了学生学习的主动性，给予学生自我消化、自我揣摩知识的空间，能够让学生检查所学知识是否存在问题及查找出问题的所在。同时也提高了学生的元认知水平。考虑到小学生缺乏一些知识总结方法，需要教师进行一定的指导，但要把握一定的度，不要让“指导”变成“指挥”。
（三）习题应加入学生的情感状态
首先，根据学生的学习水平分层布置作业。针对不同的学生提出不同的思维发展要求，也即要根据学生的思维发展水平设计不同的作业，达到因人而异。
第二，转变传统的学生只能做作业的观念，鼓励学生为自己设计作业。在教师的指导下，学生可以一个人也可以和同学合作参与习题的设计，自己为自己布置作业。
参考文献：
[1]盛群力.21世纪教育目标新分类[M].浙江：浙江教育出版社，2008
［摘
要］ 在对人教版小学数学新教材的使用中，发现新教材在内容编排上存在着淡化基础知识、基本技能，强调能力而忽视知识，注重过程而轻视结论，内容零乱、结构松散、系统性欠佳等问题. 本文对此进行了详细的阐述并提出了修改建议.
［关键词］ 小学数学教材；内容编排；问题；建议
人教版小学数学新教材（以下简称新教材）秉持新课程理念，在内容编排上注重贴近学生生活实际，注重知识的获得过程. 新教材旨在培养学生发现问题、解决问题的能力，以及实践能力和创新能力，这些都是值得肯定的，但新教材在编写的指导理念及内容组织方面还存在着一些问题.
■ 新教材淡化基础知识和基本技
能，注重过程而轻视结论
基础知识、基本技能被称为“双基”. “双基”教育的历史贡献是巨大的，它对于形成学生坚实的知识基础和基本工作能力是必要的. 无论进行什么样的课程改革，传统的“双基”都是学生发展中的核心要素，是必须加以保留的. 基础教育只有以“双基”为中心组成课程体系，让学生掌握读、写、算的基础知识和基本技能，才能为他们的继续学习和工作打下坚实的根基. 长期以来，注重“双基”是我国数学教学的一大优点. 对于数学教学而言，要求学生掌握基本的数学概念、定理、规则等基础知识是首要任务. 学生只有在熟练地掌握概念、规则的基础之上才能开展计算和推理，只有掌握了扎实的数学基础知识，才能形成数学方法、数学能力和数学思想. 美国教育心理学者加涅（robert m．gagne）将概念、规则看成是智慧技能的重要组成部分，并进一步提出智慧技能的习得存在着由概念学习上升到规则学习的层次关系，这是有道理的. 尽管近年来有学者把“双基”发展成“四基”，即在“基础知识”“基本技能”的基础上增加“基本思想”和“基本活动经验”，但“四基”毕竟是在“双基”之上发展起来的，任何新的理论都不能颠覆“双基”的地位.
新课程实施以来，学界对数学新教材忽视“双基”的质疑声不断. 笔者结合使用新教材的切身体验及与一线教师访谈后，认为对新教材的质疑绝不是无稽之谈.
（一）教材中数学概念表述不严谨
概念是客观事物的本质属性在人脑中的反映，是人类在一定阶段对客观世界认识的总结，是逻辑思维最基本的单位和出发点. 数学概念是构成数学知识的“细胞”，是数学知识中最基础的知识，是进行数学思维的第一要素. 学生“只有真正掌握了数学中的基本概念，才能把握数学的知识系统，才能正确、合理、迅速地进行运算、论证和空间想象. 从一定意义上说，数学水平的高低，取决于对数学概念掌握的程度. 学生数学能力的高低，关键是在对数学概念的理解、应用和转化等方面的差异. 因此，抓好概念教学是培养学生数学能力的根本一环. ”
概念的清晰表述要借助于严谨规范的定义. 定义是对于一种事物的本质特征或一个概念的内涵和外延所作的确切表述，概念的掌握要建立在理解定义的基础之上. 但新教材多处对数学概念没有下定义，只是给出了概念的一些正反例证，让学生“感觉”概念的内涵. 教材呈现数学概念时多采用举例子的方式进行描述，如“像这样的……，叫做……”. 现举相关例子如下：
1. 三年级下册中对“小数”的解释是：“像5.98、0.85和2.60这样的数叫做小数.”
2. 四年级上册中对“射线”的解释是：“像手电筒、汽车灯和太阳等射出来的光线，都可以近似地看成是射线.”
3. 五年级下册出现的“因数”“倍数”“带分数”“最简分数”“众数”等概念都没有作出具体定义，仅列举了一些相关例子.
数学概念缺乏严谨规范的定义表述，而只是形象化地描述，这样的描述未涉及概念内在的逻辑属性，仅停留于肤浅的表面认识，难以深入透彻，给人一种“只可意会，不可言传”的朦胧感. 定义的缺失难以让学生抓住概念的本质属性，学生对概念的认识只能停留在半生不熟的模糊状态，难以从感性认识上升到理性认识. 对概念缺乏准确把握和深入理解会严重影响后续对概念的运用.
（二）教材中重要规则不醒目，重点内容不突出
规则是人们在认识世界，发现各种事物的内在联系的基础上，得出的计算公式、处理事物的法则或提出的科学原理和定律等，这些公式、法则、原理、定律都叫“规则”. 规则学习也称命题学习. “小学数学命题的学习是小学数学学习中较高层次的学习，是学好小学数学的关键. ”现代认知心理学理论认为：智慧技能和认知策略的形成都要以熟练掌握规则为前提，解决问题的能力、创新能力说到底都是对规则的灵活运用的能力. 因此，规则学习是数学教学的重要内容.
作为教材，篇幅中的公式、法则、原理、定律等重要内容的呈现一定要明了、清晰、醒目. 这样才容易引起学生的注意，也便于学生对知识进行整理复习. 但新教材中的重点内容呈现不醒目，重要结论、规则没有以黑体字或其他醒目的方式呈现出来，次要信息和关键信息区分不明显，结构松散、内容凌乱. 这样难以引起学生的注意和重视，也对教师和学生把握重点内容和整理知识造成不便. 现就相关问题举例如下.
1. 四年级下册“四则运算”一节，页尾方框中的内容就是四则运算的重要规则，但由于其出现位置和字体在整个篇幅中不够醒目，所以难以引起学生的注意.
2. 四年级下册“小数的加法和减法”一节，计算小数加法和减法的步骤和规则不够系统详细，只是几句简单的问答.
此外，教材中还有多处存在类似问题. 五年级下册中“异分母分数加、减法”，最关键的“分母通分”介绍不够详实，例题演示过于简单. 六年级上册中分数除法的过程和规则不清楚，等等. 受篇幅所限，不一一列举. 教材中重点内容不突出，篇幅花哨凌乱，例题的演示、讲解不够透彻，使得学生学完书本后犹如过眼烟云，难以留下实质性的东西.
（三）教材内容注重“过程”而轻视“结论”
基础教育阶段一定要让学生掌握一些基本的事实性知识，事实性知识就是通过验证而形成的科学结论. 就数学课而言，主要包括定义、公式、法则、原理、定律等. 数学教学既要关注知识的发生发展过程，又要关注数学结论. 新教材一个突出的特点就是在内容编排上遵循“从例子到规则”的原则，注重让学生了解知识获得的过程，由过程导出结论. 但教材中多处为开放式结尾，过程翔实而结论不明确或根本没有形成结论. 现列举教材中的例子如下.
1. 四年级上册“大数的认识”，教材意在让学生通过模仿例题，自己得出读大数的方法，却并没有总结出具体的方法和步骤. 一线教师普遍认为这一节的内容对四年级学生而言有一定的难度，真正能够掌握大数读法的学生为数不多，主要原因是学生没能掌握读数的具体的、可操作性的步骤和方法.
2. 四
年级上册中“三位数乘两位数”，教材只是简单地让学生通过模仿来学习怎样进行计算，并没有具体的方法和步骤.
此外，四年级上册“笔算除法”及“角的度量”等内容也都是只有过程而没有具体的方法、步骤等结论.
教材中结论缺失势必影响到学生对基础知识的系统掌握. 访谈中一线教师普遍反映新教材使用以来学生的计算能力有所下降，原因在于新教材注重理解与应用，却淡化了对基本结论的掌握，特别是忽视了对一些基础知识的记忆. 为弥补这一缺陷，在课堂教学中，教师通常都要总结出结论并要求学生抄写下来. 但这样做效果并不理想，一是受教师自身理论水平的限制，总结出的结论良莠不齐，特别是教育欠发达地区的教师难以完成这一任务，也就出现了一些教师“拿着过去的教材把定理和定义补齐”的现象；二是教材篇幅小，无足够空间誊写教师的“圣谕”，抄在笔记本上则容易丢失；三是低年级学生受书写能力限制，无法完成抄写任务.
新教材旨在让学生通过探索发现后得出结论，从中可以窥探出发现法教学的影子. 发现法教学有助于培养学生的探究能力和创新精神，这是值得肯定的. 但发现法教学的目的不仅仅是为了过程而去“发现”，最终目的还是要求学生掌握通过发现而获得的结论. “要使学生打好“双基”，必须既重视教学的过程也重视教学的结果，不能让一种倾向掩盖另一种倾向，或从一个极端走向另一个极端. 因为，没有过程的结果是没有体验、没有深刻理解的结果，不追求结果的过程是缺乏价值和意义的过程. ”因此，为了便于教学，教材非常有必要把重要结论整理在书中.
此外，发现法教学要取得良好的效果，一定要考虑到教学设备、图书资料、教学时间、教师教学能力等诸多因素. 新教材在教育欠发达地区不适应性更为明显.
■ 教材内容系统性、严密性欠佳
新教材螺旋上升的编排方式，将同一个问题分散在不同年级学习，致使知识呈现不够系统全面、深入透彻. 总体上看，教材内容零散、跳跃性大，系统性、严密性欠佳.
（一）内容衔接有断层
三年级下册“小数的初步认识”一节中始终没有交待小数的读法和小数大小比较的方法，但在随后的练习题中却出现了“读出小数”和“比较小数大小”的练习题，例题与练习题难度不匹配，例题肤浅、难度小，课后练习题却难度大. 又如，六年级上册“认识圆”一节中，始终没有介绍什么是“圆”，却直接引出了“圆心”“半径”等圆的相关概念；四年级上册练习十二第8题突然冒出“对称”概念，但前面并没有与“对称”相关的知识做铺垫，而较为系统的“对称”知识在五年级下册才出现. 教材知识衔接之间存在断层，内容跌宕不平，加大了学习难度.
（二）知识系统性欠佳
三年级下册“小数的初步认识”内容过于肤浅，直到四年级下册“小数的意义与性质”中才比较详细地介绍了小数的意义、读法和写法. 最好是将这两部分内容整合在一起，以保持知识的完整性和系统性. 三年级下册出现了统计和数据分析，但没有继续引出统计图的画法；四年级上册“角的分类”一节引出了“平角等于180°，等于两个直角”，但却始终没有交代什么是“直角”. 同样，对于“周角”也只画出了图例，却没有进一步解释周角，浅尝辄止，半途而废. 这样就使得教材内容零散，系统性不强.
（三）练习题目设计不严谨
三年级下册第35页“整理和复习”第1题，前提为“一间教室大的草坪，1天产生的氧气够3个人用，我们三年级有120人”，问“多少块这样大的草地产生的氧气，够三年级学生用？”这个题目设计明显不严谨，问题应改为“多少块这样大的草地产生的氧气，够三年级学生1天用？”否则无法计算.
■ 对改进教材内容编排的几点
建议
教材是教学之“本”，教材的编写质量会直接影响教学质量. 新课程理念主张教师“用教材”而非“教教材”，要求教师能够对教材内容自主加工，这就要求每一位教师都成为数学教学专家. 这种理想化的设想与现实相去甚远，我国大部分教育欠发达地区教师由于水平所限，难以胜任“用教材”这一使命. 因此教材内容编排应尽量做到具体化、细致化和可操作化. 这样既可以为教师教学带来方便，也可方便学生自学. 成功的教材编写应该在没有教师的讲解下，学生通过自学能够掌握内容，但新教材中的定义、规则、结论不详，内容零散，不利于自学.
他山之石可以攻玉，美国1989年颁布的nctm（全美数学教师协会）《数学课程标准》由于不重视基础训练而遭到众多批评. 2005年，一些数学家达成了几点共识，其中包括：（1）数学需要使用有关精确定义的对象及概念进行小心推理. （2）学生应该能够熟练地使用整数运算的法则，这些基本算法是数学的主要智慧结晶之一. 这些共识促使nctm《数学课程标准》做了修改和补充. 2006年，nctm的《数学课程焦点》力求在保持创造、发展的同时，强调数学基础的重要性. 我国教育部2011年通过审查正式公布的《全日制义务教育数学课程标准（修订稿）》明确提出，通过义务教育阶段的数学学习，要求学生“获得适应社会生活和进一步发展所必须的数学基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验. ”新《标准》中重申了基础知识和基本技能的重要性. 相信随着新《标准》的颁布，对小学数学教材的修订不久也将提上日程. 在此，建议教材作如下改进：
（一）教材在内容编排上应凸显基础知识的地位
1. 教材对数学概念表述要严谨规范
建议教材对数学概念做形象化描述后再做出严谨规范的定义，使感性认识和理性认识相结合. 这样有助于学生准确、深入地理解概念，有助于学生掌握扎实的基础知识.
2. 教材内容要重点突出
教材中的重要内容，公式、法则、原理、定律、结论等应以强调的方式呈现，如统一用醒目的黑体字或单独在特殊位置呈现等，使教材内容清晰明了，重、难点突出. 这样容易使学生分清主次、有的放矢.
3. 教材内容应使“过程”与“结论”并重
教材应在注重“探索”“发现”的同时注重“结论”的归纳与整理，既要注重让学生掌握知识获得的过程，又要注重掌握通过发现后获得的结论.
以四年级上册“亿以内数的认识”一节中“大数的读法”为例，大数的读法对四年级学生而言是比较困难的，要掌握大数的读法，最重要的是要掌握具体的、可操作性的方法和步骤. 为了便于学生掌握，可以将大数的读法和程序归纳如下：① 标出数位；② 分出数级；③ 读出数字.
再以四年级上册“角的度量”一节为例：可以把角的度量的方法和步骤归纳为：①使量角器的中心和角的顶点重合；②选定量角器的一边，使角的一条边和量角器的0刻度线重合；③从量角器选定的一边出发，从0刻度数起，角的另一边所指示的刻度就是角的度数.
总结整理出发现后获得的具体结论，学生在解决相关问题时就会有章可循，结合练习容易掌握教学内容，也有利于智慧技能的形成.
4. 教材应注重知识的系统性和结构的完整性
建议教材在内容编排上做到结构
紧凑、层次分明；标题醒目、主题明确；篇幅整齐，内容清晰；逻辑严密、系统性强.
