关键词：概念教学；意义建构；认知能力
初中数学教材所选择的教学内容中有很多概念，概念构成了数学教材的一大部分。数学知识主要由概念串组成，可以说概念是数学教学中的大问题。学生了解和掌握了数学的概念，那么就可以利用概念进行推理和判断，从而形成数学知识的建构。可以说离开概念教学就没有数学教学的高效性存在，数学教学中的概念教学是一个举足轻重的任务，任课教师不能小觑。
一、正确理解概念建构的过程
正确理解数学概念的含义，对于数学知识的学习具有基础性的重要作用。概念是一类事物中具有共性的结论。数学概念的形成实质是从表象蒸发出来的抽象概念，然后由抽象的思维再导致具象的再现。数学教学中，教师进行概念教学主要是基于两个出发点：第一是怎样引导学生形成较为具体的概念印象，理解和体会到概念的内涵；第二是如何使概念的思维具体化。教师实施的概念教学是帮助学生获得概念的具体意义。所以教师要重视概念的形成过程，不要将概念教学变成条文加例题的僵化模式。这样进行教学才符合学生的认知规律及心理特征。比如，在进行单项式的教学中，让学生建构单项式的概念是由一组例题来完成的，然后在这组例题中总结出一些共性的内容，就建构起了单项式的概念。
二、分解概念的含义挖掘其本质
数学概念的定义一般是通过描述然后形成具体的定义，教师在教学中要善于抓住本质属性，专注概念的基本内容和基本点。在教学中，教师是通过对定义概念的再加工然后帮助学生形成概念的意义建构。同类二次根式概念的教学，其基本点是：（1）最简二次根式，未化简的应先化简。（2）被开方式相同。与根号外面的有理式是否相同无关。通过这样的教学后，学生对二次根式的认识及意义建构了然于胸。教师如果能引导学生充分挖掘概念的内涵，那么学生对概念的含义建构也就会水到渠成。概念教学对于教师教学功底的考验是非常具有现实意义的，所以有经验的教师都非常重视概念的教学，高效的概念教学对于提高学生的学习能力及教学效果都具有十分重要的意义。
做好概念教学是初中数学教学的半壁江山，没有高质量的概念教学就没有高质量的数学教学。教师要不断提高自身的专业素质，不断进取和探索教学方法及模式，力争使教学达到高效和实效的目标。
参考文献：
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2013）06B-0048-02
数学概念是客观世界的空间形式和数量关系及其本质属性在人们思维中的反映，是构成数学知识体系的细胞，是数学的精髓和灵魂，是建立数学性质、法则、公式、定理的基础，也是学生进行计算、判断、证明等的依据和培养学生良好能力的素材。但是，在实际教学中笔者却发现，只要学过，学生极少算错3×3=9，但犯32=6这一错误的却绝不是个例，甚至还有32=5，原因是他不明白32表示什么。又如学生都会算40+50=90，但如果换成“已知α、β互为余角，α=40°，求β”，有些学生就做不下去了，因为他们不明白什么是“互余”。出现这样的问题都是源于概念不清，学生对概念理不清，不但逻辑思维变差，在计算、推理、证明过程中也会遇到各种困难。可是，有的教师在教学中往往把教学重点放在对学生解题能力的培养上，忽视数学概念的学习，从而导致学生对概念的理解不深、不透，甚至停留在机械背诵层面。有的学生不重视概念的学习，认为学数学就是学解题，把学解题的重要前提――熟悉、理解数学概念忽视了，结果学习效率低下，影响进一步学习数学的兴趣和信心，最终形成怕数学、厌数学的心理。
要帮助学生准确理解概念，解决学生概念不清的问题，教师首先要重视概念的导入，注意密切联系生产、生活实际和学生年龄特点、接受能力，让学生从学习数学的源头――数学概念开始，对数学产生兴趣，乐学数学，爱学数学。笔者结合个人经验，谈谈如何导入数学概念。
一、定义型概念的引入
定义型的概念，在教材中有确切的含义限制着它的外延与内涵。比如锐角三角函数中“角A的对边与斜边的比叫做角A的正弦”“一般地，形如■（a≥0）的代数式叫做二次根式”等这些概念，已经是人们约定俗成的规定，是公认的，就不用过多去解释为什么这样规定。这种概念在初中数学中比较多，应使用单刀直入式直接导入。为加深学生对这类型概念的印象，教师可在备课时收集此类概念产生的背景故事，用故事加深印象。
二、叙述型概念的导入
叙述型概念也称描述型概念，一般是指在教材中没有严格的定义，只用语言描述了其基本特征，比如“直线”是这样定义的：在日常生活当中，一根拉紧的绳子、一根竹竿、人行横道线、都给人以直线的形象，而实际上的直线是两端都没有端点、可以向两端无限延伸、不可测量长度。又如“射线”的定义：直线上的一点和它一旁的部分所组成的图形称为射线。这类概念，宜在唤起学生的充分想象的同时用简洁准确的语言导入，必要时还应用辅助物加以演示加深理解。如教师在导入“射线”概念时，可用手电筒发出的光束来演示，让学生更易于理解，并掌握此概念的要点。
三、形成型概念的导入
形成型概念是指概念在产生的过程中，或存在某种逻辑推理过程，或存在实例加以印证。由于许多数学概念源于生活，有些数学概念就是由生产、生活中的实际问题中抽象出来的，有些则是由数学自身的发展与需要而产生的，这类概念，可以通过创设数学概念形成的问题情境，采用演示、计算、猜想、归纳等方法导入。
1.创设情境导入。教师在课堂教学中，注意运用实例或实物、模型进行介绍，激发学生的求知欲，积极为学生创设乐学情境。实物往往可以就地取材，如“圆”的定义，可以让学生思考如何用一根绳子画圆，在体验画圆的过程中形成圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个顶点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的封闭图形叫做圆。或者得出“平面上到定点的距离等于定长的所有点的集合叫做圆”。又如学习“平面直角坐标系”，就以在剧院找座位或在教室用第几行、第几列来确定同学位置的方法进行导入，再如可利用铁轨、窗枝、电线等有平行特征的实物导入“平行线”概念等。创设情境导入数学概念，学生参与度高，学习兴趣浓厚，取得的效果也更好。
2.演算推理导入。当通过计算、推理能够很好地揭示数与形的某些内在矛盾或本质属性时，计算推导是一个很好的导入方法。如“一元二次方程根与系数的关系”“平方差公式”“勾股定理”等概念就可以通过演算推理来导入。
3.由旧引新导入。数学有些概念承启性很高，可以从学生已有的知识基础上加以引伸，导出新概念。如从“分数的性质”引伸出“分式的性质”、由四边形引出平行四边形再到特殊的平行四边形等，通过原有概念导入新概念，只须抓住它们的本质特征作出简要说明，就可以让学生建立起新的概念。
从上述分析可知，不同的概念有不同的导入方法，方法适当，效率才高，效果才有保证。如果教师不注意区别概念的类型，照本宣科导入，或片面强调理论联系实际，处处从实际导入，就会犯教条主义、形式主义的错误，不但延误教学时间，而且课堂也会变得很枯燥，学生学得乏味，削弱教学效果。
概念的导入除了要注意区别不同的概念类型采用不同的导入方法外，还应注意以下几点。
1.注意让学生体验概念形成过程，改变传统教学中只注重结论及结论运用的教学方法。
2.注意概念中的“关键词语”。教师在导入概念时要讲清、讲透，使学生理解透彻，真正弄懂概念。如“二元一次方程”的定义：如果一个方程含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数是1，那么这个整式方程就叫做二元一次方程。对这个定义，除了要讲清“元”与“次”的含义外，还要重点强调“项”与“整式方程”，否则学生往往把“xy=10”“x+1/y=2”也认为是二元一次方程。又如“一元二次方程”定义：只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程，其一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0）。这个定义，除了要讲清“元”与“次”“整式方程”的含义外，还要特别强调“a≠0”这个条件，否则学生在解答“m取何值时，关于x的一元二次方程（m-1）x2+7x+m2-1=0有一根为0”这一问题时，学生就会求出m=1或m=-1，而实际上m=1时方程不再是一元二次方程。
3.注意概念的文字语言表达与数学符号语言表达的互相转化，进一步理解概念所表达的含义。如“a平行b”，可写成“a//b”，又如“相似三角形的对应边成比例”可写成“若“ABC∽DEF，则AB/DE=AC/DF=BC/EF”。
4.注意概念的准确识记，通过识记来加深理解。教学中在理解的基础上教师可通过这些方法指导学生识记：（1）反复阅读、背诵，达到熟记程度，随时可脱口而出；（2）编顺口溜识记；（3）数形结合识记。
5.注意引导学生形成概念体系，将所获得的每一个新概念及时纳入相应的概念系统。数学是一门结构性很强的学科，任何一个数学概念都存在于一定的系统之中，将新概念置于系统中，新旧概念才会融会贯通，学生才能理解此概念与彼概念的联系与区别。
6.注意发挥学生的主体作用，让学生积极动手、动口、动脑，大胆猜想，交流合作，勇于创新。
7.注意体现教师的引导作用，如选择实例要具有代表性，引进概念要突出必要性，概括特点要重视准确性，区别概念要注意系统性，运用概念要具有针对性，巩固概念要做好及时性等。
一、教材分析
1、教材的地位和作用：
函数是数学中最主要的概念之一，而函数概念贯穿在中学数学的始终，概念是数学的基础，概念性强是函数理论的一个显著特点，只有对概念作到深刻理解，才能正确灵活地加以应用。本课中学生对函数概念理解的程度会直接影响数学其它知识的学习，所以函数的第一课时非常的重要。
2、教学目标及确立的依据：
教学目标：
（1）教学知识目标：了解对应和映射概念、理解函数的近代定义、函数三要素，以及对函数抽象符号的理解。
（2）能力训练目标：通过教学培养学生的抽象概括能力、逻辑思维能力。
（3）德育渗透目标：使学生懂得一切事物都是在不断变化、相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点。
教学目标确立的依据：
函数是数学中最主要的概念之一，而函数概念贯穿整个中学数学，如：数、式、方程、函数、排列组合、数列极限等都是以函数为中心的代数。加强函数教学可帮助学生学好其他的数学内容。而掌握好函数的概念是学好函数的基石。
3、教学重点难点及确立的依据：
教学重点：映射的概念，函数的近代概念、函数的三要素及函数符号的理解。
教学难点：映射的概念，函数近代概念，及函数符号的理解。
重点难点确立的依据：
映射的概念和函数的近代定义抽象性都比较强，要求学生的理性认识的能力也比较高，对于刚刚升入高中不久的学生来说不易理解。而且由于函数在高考中可以以低、中、高挡题出现，所以近年来高考有一种“函数热”的趋势，所以本节的重点难点必然落在映射的概念和函数的近代定义及函数符号的理解与运用上。
二、教材的处理：
将映射的定义及类比手法的运用作为本课突破难点的关键。函数的定义，是以集合、映射的观点给出，这与初中教材变量值与对应观点给出不一样了，从而给本身就很抽象的函数概念的理解带来更大的困难。为解决这难点，主要是从实际出发调动学生的学习热情与参与意识，运用引导对比的手法，启发引导学生进行有目的的反复比较几个概念的异同，使学生真正对函数的概念有很准确的认识。
三、教学方法和学法
教学方法：讲授为主，学生自主预习为辅。
依据是：因为以新的观点认识函数概念及函数符号与运用时，更重要的是必须给学生讲清楚概念及注意事项，并通过师生的共同讨论来帮助学生深刻理解，这样才能使函数的概念及符号的运用在学生的思想和知识结构中打上深刻的烙印，为学生能学好后面的知识打下坚实的基础。学法：
四、教学程序
一、课程导入
通过举以下一个通俗的例子引出通过某个对应法则可以将两个非空集合联系在一起。
例1：把高一（12）班和高一（11）全体同学分别看成是两个集合，问，通过“找好朋友”这个对应法则是否能将这两个集合的某些元素联系在一起？
二.新课讲授：
（1）接着再通过幻灯片给出六组学生熟悉的数集的对应关系引导学生总结归纳它们的共同性质（一对一，多对一），进而给出映射的概念，表示符号f：AB，及原像和像的定义。强调指出非空集合A到非空集合B的映射包括三部分即非空集合A、B和A到B的对应法则f。进一步引导学生总结判断一个从A到B的对应是否为映射的关键是看A中的任意一个元素通过对应法则f在B中是否有唯一确定的元素与之对应。
（2）巩固练习课本52页第八题。
此练习能让学生更深刻的认识到映射可以“一对多，多对一”但不能是“一对多”。
例1.给出学生初中学过的函数的传统定义和几个简单的一次、二次函数，通过画图表示这些函数的对应关系，引导学生发现它们是特殊的映射进而给出函数的近代定义（设A、B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，使得A中的任何一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应则这样的对应叫做集合A到集合B的映射，它包括非空集合A和B以及从A到B的对应法则f），并说明把函f：AB记为y=f（x），其中自变量x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y（或f（x））值叫做函数值，函数值的集合{f（x）：x∈A}叫做函数的值域。
并把函数的近代定义与映射定义比较使学生认识到函数与映射的区别与联系。（函数是非空数集到非空数集的映射）。
再以让学生判断的方式给出以下关于函数近代定义的注意事项：
2.函数是非空数集到非空数集的映射。
3.f表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样。
4.f（x）是一个符号，不表示f与x的乘积，而表示x经过f作用后的结果。
5.集合A中的数的任意性，集合B中数的唯一性。
6.“f：AB”表示一个函数有三要素：法则f（是核心），定义域A（要优先），值域C（上函数值的集合且C∈B）。
三.讲解例题
例1.问y=1（x∈A）是不是函数？
【关键词】数学概念；概念学习；概念意象；概念联系；负迁移
【基金项目】广西教育科学“十二五”规划2015年度广西基础教育教育教学法研究基地专项课题《初中数学优质课堂教学策略研究与实践》，编号：2015JD409.
在数学概念的学习中，由于概念意象的模糊性、分散性和数学概念定义的不一致以及学生对概念理解不透彻、掌握不牢，导致学生经常出现一些错误.笔者从学生的心理、生理特征以及已有的认知结构出发，来分析在表征数学概念时，易受日常概念、思维习惯及教师的教法和观念以及学生负迁移的影响而发生的错误.
一、数学概念意象形成中的错误
在数学概念的形成中，由于与数学概念意象的形成密切联系，学生利用概念意象来记忆、表征和运用数学概念而导致错误概念的产生，这些错误主要集中在用日常生活概念、概念原型、“形象描述”代替数学概念.
（一）用日常概念代替数学概念
日常概念是指产生于日常生活经验的概念.科学概念则是指在学校教学中形成与获得的真实概念.当日常概念与科学概念相一致时将有助于科学概念形成，反之亦然.学生学习科学概念几乎从日常生活概念中抽象发展而成，进而形成数学概念.但由于日常概念具有易变性、多义性、不精准性等特点，使其极易与科学概念的本质属性发生矛盾，不利于科学概念的形成、掌握与运用，从而导致数学概念错误的产生.例如，日常生活中，我们观察到和接触的“角”是尖的，所以，学生学习“角”的概念时用了日常概念来代替数学概念，认为平角和周角不是角，此时与科学概念不一致，从而导致数学概念错误的发生.
（二）用概念原型代替数学概念
人们学习新知识时，喜欢从模仿开始入手，模仿概念原型硌习数学概念.然而在模仿概念原型学习的过程中，学生有时自然而然形成概念原型标准化的框架来学习数学概念，导致错误的数学概念产生.
在数学概念的学习中，学生往往先试着回忆获得概念的情境，然后，才联想到其定义的形式，此时概念的典型实例在学生的脑海里唤起学生所建立的概念意象，然而学生自己所建立的概念意象有时并不像科学概念那么明确，对概念意象具有模糊性，从而也出现错误的数学概念.同时学生借助典型实例来观察、分析获得新的数学概念，给予概念标准化，把无关的元素加入数学概念，或把数学概念相关的元素忽视了，直接用原型概念来代替数学概念判断知识，不仅用了数学概念的相关元素，也用了无关元素来判断数学某些知识，甚至有时只用了无关元素来判别.
（三）用形象描述代替数学概念
形象描述，就是把抽象的材料用形象化的语言来阐述，在数学概念意象表征数学概念的学习中，许多时候，学生通过自己的语言来描述数学概念.但在形象描述过程中，学生对于描述的语言、符号使用不准确，包括概念意象的模糊性和分散性而造成数学概念的错误.如，学生对完全平方公式的概念表征中，忽略公式中字母代表的具体意义，认为公式中字母仅代表数，却忽略了公式中的字母不仅可以代表数，也可以代表单项式，甚至多项式.
二、数学概念定义中形成的错误
在定义数学概念时，由于学生不能准确地把握数学概念的内涵、外延以及概括与抽象能力不强、概念定义与概念意象相脱离也会导致数学概念错误的产生.
（一）内涵和外延把握不正确导致数学概念错误
从逻辑上说，概念的外延就是适合这个概念的一切对象的范围，而概念的内涵就是这个概念所反映的对象的本质属性的总和，概念的内涵和外延是相互依存、相互制约的，倘若内涵扩大，其外延就会缩小；内涵缩小，其外延就会扩大.如果学生不能准确地把握数学概念的内涵、外延，那么将会导致数学概念错误出现.
例如，“互为余角”这个概念，它的外延是这两个角与它们所处的位置无关，即使这两个角相距很远，但只要它们的和等于90°，这两个角就为互余，而它的内涵是“具备两个角，且这两个角和等于90°，则称这样的两个角互为余角”.然而大部分学生常常只会叙述定义，不去真正理解其本质属性，内涵与外延分不清，扩大内涵、缩小外延出现互为余角这个概念的错误，或缩小内涵、扩大外延而出现互为余角这个概念的错误.
（二）概括与抽象能力不强导致数学概念错误
概括是从思想中把从某些具有一些相同属性的事物中抽取出来的本质属性，推广到具有这些属性的一切事物，从而形成关于这类事物的普遍概念.在数学概念的定义中，是把具有共同特点的对象归纳总结在一起，抽象出对象的本质属性，将其推广为这一对象的更大范围的同类数学对象的本质属性.概括与抽象能力不强就会有可能在数学概念的定义中将一些无关特征当作本质属性；或者脱离具体背景，仅仅保留其抽象的本质属性来形成概念的定义.
一是将非本质特征作为本质特征进行概括产生数学概念错误；二是只概括部分本质特征，不能正确理解数学概念的本质所产生的数学概念错误.如，分式的概念，学生往往遗漏了关键的一点――分式的分母中必须含有字母，分子分母均为整式，而造成错误的分式概念产生.三是发生异化，即对本质特征加以修正、改变.如，算术平方根的概念，不少学生将其概念中的整数修改为正数，导致概括出来的算术平方根概念是错误的.
（三）概念定义与概念意象相脱离导致数学概念错误
数学概念是由概念定义与概念意象构成的完整的整体.但是，在大多数情况下，学生的概念定义与概念意象是相脱离的，大多数数学概念的形式化定义与概念本质想脱离造成许多错误的产生，特别是那些以检测概念定义为主要目标的问题，错误的概率就更高了.
例如，学生在学习函数定义时，往往用了概念意象形象地记住几种特殊的函数模型――一元一次函数、一元二次函数、指数函数、三角函数、对数函数，而将函数概念早已置之不理.将数学定义与数学概念意象想脱离最易发生在每个初学者身上，对于大多数的数学概念的学习都潜藏着这种概念定义与概念意象相脱离的现象，只有经过变式、正反例的对比、概念的运用等多种活动的开展后，才会慢慢地将概念定义与概念意象相融合起来.
三、数学概念联系中形成的错误
数学概念之间的联系一直贯穿于数学概念学习的过程中，例如，新概念与原概念的联系，概念内容与概念的联系等.部分学生在学习数学概念时，对概念之间联系比较僵化，对概念联系不恰当，从而导致数学概念错误的产生.
（一）数学概念联系僵化导致的错误
学生在学习数学概念时，没有自主去建立概念内部与概念之间的联系，依赖与教师所建立的结构或教材上现有的结构去记忆其表达形式，或语言表达.然而教师和教材的知识有限，并不能满足于学生对数学概念的准确掌握.此时，学生所掌握的数学概念是孤立的，所掌握的概念对象是僵化的.这种孤立僵化地看待数学概念而产生的错误，一般出现在有高中数学概念交织在一起的复杂背景中，在这种背景中，学生往往同时接触多个数学概念，只有恰当地解决这些概念之间的联系，才能从根本上解决问题.比如，把“正比例函数”“一次函数”和“二次函数”的概念放在一个联系的背景下去理解，比单纯地理解其中的一个对象要容易得多.然而，由于部分学生对所掌握的数学概念是孤立的，是僵化的，结果造成这样一种常见的情形：学生对每一个数学概念很熟悉，甚至能倒背如流，但问题终究解决不了，到运用时却不知所措.
（二）数学概念联系不恰当的错误
在学习和使用数学概念时，或多或少都要与各种概念进行联系，如果数学概念的联系不恰当，将会导致数学概念学习与运用中的许多错误：一是将数学概念中的非本质特征作为本质特征与其他概念进行联系干扰了数学概念之间的联系的正确建立.二是将数学概念体系中的概念定义、概念性质、概念判定等混为一谈.将数学概念的部分定义作为整体概念定义，将数学概念的部分性质作整体数学概念的性质，将数学概念部分判定用来判定数学概念；或者将数学概念的部分定义与部分性质、部分判定合起来一起去建立数学概念的联系.以致在数学概念学习中会思维混乱，表现为对概念认识模糊不清，对概念知识掌握太过零散，难以掌握正确的数学概念，甚至将正确的数学概念给歪曲了.三是对数学概念的本质属性把握比较浅显，导致数学概念之间的联系无法正确建立.如，“轴对称图形”与“中心对称图形”之间的联系可以说明这一点.在讨论对称图形时，这两个概念之间的联系可以很容易建立，然而当讨论完轴对称图形再讨论中心对称图形时，他们将无法接受中心对称图形的概念.
四、负迁移形成的数学概念理解和运用错误
负迁移包括认知结构与新知产生矛盾以及消极的思维定式.认知结构，简单来说就是学生头脑中的知识结构.广义上，认知结构是学生已有观念的全部内容及其组织；狭义上，它是学生在某一学科的特殊知识领域内观念的全部内容及其组织.当学生的认知结构与所学的新知产生矛盾时，认知结构将影响新知识的理解、运用.思维定式，也称“惯性思维”，是由先前的活动而造成的一种对活动的特殊的心理准备状态，或活动的倾向性.当在学习数学概念时有了消极的思维定式，将会成为束缚创造性思维的枷锁.
（一）认知结构与新知有矛盾导致数学概念的错误理解
利用原来的认知结构来进一步学习新的知识，一旦认知结构与新的知识有矛盾时，他们将无法对新知识进行理解与运用，导致新知识的错误产生.例如，学习复数中的“i2=-1”时，早已有这样的认知结构“任何实数的平方都是正数”，因此，在学习复数时，无法接受i2=-1，在心理上自觉不自觉地存在一些障碍，导致对复数概念的理解、运用的错误产生.
（二）消极的思维定式导致数学概念的错误理解
消极的思维定式将会束缚创造性思维，妨碍采用新的方法来正确理解新的知识，导致新知识错误的产生.消极的思维定式包括认识上的困难、不适当的类比与只善于简单思维，不会复杂思维等等，在数学概念的学习中，不同阶段的差异性与同一阶段内的稳定性存在矛盾，将会使学生在认识上发生困难.例如，函数的概念，在初中阶段的定义与高中阶段的定义从字面上看是不一样的，在初中只是描述性的，是作为常量的数学的函数，然而高中是用映射的观点来解释，如果在初中时过于强调函数概念的描述性，那么将会使学生在高中时认识函数上发生困难.
在数学概念的学习中，不仅认识上的困难会导致数学概念的错误产生，不适当的类比也会导致数学概念的错误产生.人们学习新的事物或知识几乎是从模仿开始的，然后，用类比的方法去解决类似的问题，大部分情况下，解得答案都是正确的，所以，学生容易形成类比思维的定式，但是学生有时候盲目地类比，把不恰当的类比用来学习新的概念，此时类比的思维会对学生学习数学概念起消极作用，导致数学概念错误的产生.
在数学概念的学习中，学生反复使用简单性思维（单向思维和顺向思维）去学习新的知识，却不会用复杂思维（发散思维和逆向性思维）去学习新的知识.例如，学生理解函数列的收敛性概念时，当问学生{fn}在X上一致收敛于f是否有ε>0，Ν≥1，x∈X，则|fn（x）-f（x）|
综上所述，由于对概念理解不透彻，概念意象模糊性、分散性以及消极的思维定式都会造成数学概念学习过程中出现错误.
【参考文献】
【关键词】概念课型 核心任务 教学定位
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）06-0130-02
1.概念课型的界定
数学概念课型是以“事实学习”为中心内容的课型。该课型体现学生的学习活动是在进行“代表学习”和“概念学习”。通过“概念学习”，把作为新知识中的概念，正确地初步地转化为学生自身认知结构的概念体系里的概念。通过“代表学习”，对概念的文字、语言叙述或概念的定义能初步理解，掌握这些数学概念所对应的数学符号及这些符号的书写、使用方法。初步了解由这些数学符号组成的语言含义，并能初步把它转译成一般语言。
2.高中数学概念课的核心任务与教学定位
2.1高中数学概念课的核心任务
高中数学概念课教学的核心任务是对数学对象的抽象概括。
正确地理解和形成一个数学概念，必须明确这个数学概念的内涵――对象的“质”的特征，及其外延――对象的“量”的范围。一般来说，数学概念是运用定义的形式来揭露其本质特征的。但在这之前，有一个通过实例、练习及口头描述来理解的阶段。比如，儿童对自然数，对运算结果――和、差、积、商的理解，就是如此。到小学高年级，开始出现以文字表达一个数学概念，即定义的方式，如分数、比例等。有些数学概念要经过长期的酝酿，最后才以定义的形式表达，如函数、极限等。定义是准确地表达数学概念的方式。
许多数学概念需要用数学符号来表示。数学符号是表达数学概念的一种独特方式，对学生理解和形成数学概念起着极大的作用，它把学生掌握数学概念的思维过程简约化、明确化了。许多数学概念的定义就是用数学符号来表达，从而增强了科学性。
许多数学概念还需要用图形来表示。有些数学概念本身就是图形，如平行四边形、棱锥、双曲线等。有些数学概念可以用图形来表示，比如基本初等函数的图像等。有些数学概念具有几何意义，如函数的导数。数形结合是表达数学概念的又一独特方式，它把数学概念形象化、数量化了。
总之，数学概念是在人类历史发展过程中，逐步形成和发展的。学生对数学概念的学习，应有一个抽象概括的过程，从文字语言、符号语言及图形语言等不同角度抽取概念本质属性，在准确把握概念外延的基础上，形成清晰的学习数学知识结构的认识。
2.2高中数学概念课的教学定位
数学概念课的教学中应引导学生经历从具体实例抽象概括出数学概念的过程，经历对实际背景的感知与抽象、概括的过程。
（1）对每一个数学概念，都应该准确地给它下定义。对一些基本（原始）概念，不宜定义的也应给予清晰准确的“描述”。通过给概念下定义的教学，让学生从定义的表达形式及逻辑思维中去领会该事物与其它事物的根本区别。并注意对同一概念的下定义的不同方案，从而深化对概念的理解。
（2）对概念（定义）的理解必须克服形式主义。课内应通过大量的正、反实例，变式等，反复地让学生进行分析、比较、鉴别、归纳，使之与邻近概念不至混淆，并要解决好新旧概念的相互干扰。
（3）概念教学还必须认真解决“语言文字”与“数学符号、式子”之间的互译问题，为以后在数、式运算中应用数学概念指导运算打下基础。使学生把代表某一概念的数学符号与概念内涵直接挂钩。
（4）克服学生普遍存在的“学数学只管计算，何必花时间学概念”之类的错误认识。重视概念课教学的启发性和艺术性，重视创设情境，激发学习兴趣，引导学生对概念学习的高度重视。同时应采用多种形式的训练（如选择答案、填空、变式等），从多个侧面去加深对概念的理解与应用。
3.高中数学概念课课型分析
课型1：从整体背景到局部知识的结构教学（以《集合的含义与表示》为例）
（1）背景引入――介绍数学对象的相关背景。
介绍集合论及其发展过程的相关背景。
（2）材料感知――借助具体事例，从数学概念体系的发展过程或解决实际问题的需要引入概念。
问题1：我们学习过哪些集合？
问题2：你能再举出一些集合的例子吗？
教师引导学生回忆、举例，并对学生活动进行评价。
（3）分类辨析――以实例为载体分析关键词的含义（使用反例，鼓励学生大量举例）。
问题3：你能说出你所举例子的特点吗？
教师引导学生独立思考，举出一些能够构成集合及不能构成集合的例子，概括所举例子的特点。如果学生仍不能有效地提炼出集合的三个基本特征，教师可以作如下的提示：“请所有的男同学站起来；请所有的高个子站起来”，以此来帮助学生理解集合的“确定性”。
（4）提炼本质――提供典型丰富的具体例证，进行属性的分析、比较、综合，概括不同例证的共同特征。
问题4：你能概括出所举例子所具有的共同特征吗？
师生共同概括所举例子的特征，得出结论。
（5）抽象命名――概念的明确与表示：下定义，给出准确的数学语言描述，即把实际问题数学化（文字的、符号的）。
引导学生抽象概括出集合的含义及集合中元素的特征――确定性、互异性、无序性。
（6）巩固应用――用概念作判断的具体事例，形成用概念作判断的具体步骤。
问题5：我们可以从哪些角度来研究集合？
学生阅读教科书，自己尝试整理相关的知识内容，归纳出元素与集合的关系，常用数集的记号以及表示集合的三种方法：自然语言、集合语言（列举法或描述法）及图形语言。
（7）概念的“精致”――纳入概念系统，建立与相关概念的联系。
课本例1与例2；课本第5页练习1，2。
学生独立思考，解决问题，全班交流讨论，教师析疑。
除集合外，以上教学流程适用于一般数学对象的抽象概括，如命题、向量、数（复数）、数列（包括等差数列、等比数列）、角、事件等，它们具有相同的学习“基本套路”，即按“背景――概念――表示――分类――性质（关系及运算）――应用”展开。
课型2：从上位概念到下位概念的结构教学（以《不等关系与不等式》为例）
（1）背景引入――提供一些学生感兴趣和富有时代感的素材。
问题1：如图抛物线中，试找出相关的不等关系。
（2）概念形成――让学生自己举例或提供大量材料，引导学生对这些材料进行辨析，学会透过表面现象发现它们的本质特点，形成上位概念。
问题2：数学和日常生活中存在大量不等关系，你能举出一些含有不等关系的例子吗？
学生每人至少各举一个数学及日常生活中的例子并在小组交流，独立归纳概括出不等式（组）的概念。
（3）辨析比较――教师要注意引导学生在比较中辨析和体会哪种分类更合理、更准确，并注意特殊情况的研究和思考。
问题3：你能对以上所举例子进行分类吗？
第一层次：独立进行分类，并以小组为单位对不同分类标准的合理性进行讨论。
第二层次：全班进行交流和讨论。
教师引导学生在比较中辨析和体会哪个分类更合理、更准确，并注意特殊情况的研究和思考。
（4）抽象命名――引导学生根据各种分类结果的本质特点，对各种关系进行命名，从而得到下位概念的各种类型。
提炼出不等式的概念，并对不等式进行分类。
根据字母所在位置进行分类：整式不等式，分式不等式，无理不等式，……
在整式不等式中，根据字母的个数进行分类：一元不等式，二元不等式，……；根据字母的次数进行分类：一次不等式，二次不等式，……
在此基础上，学生说出一元一次不等式、一元二次不等式及二元一次不等式的概念及形式，以及不等式组的概念，并能举例加以说明。
（5）巩固应用――用概念作判断的具体事例，形成用概念作判断的具体步骤。
问题探究（课本素材）
（6）整体认识――从整体上认识与概念相关知识内容及研究套路。
教师引导学生回顾之前学习过的方程（等式）的知识内容，如等式的性质，一元一次方程，一元二次方程，二元一次方程等，梳理相关知识结构。
类比方程（等式）的相关内容，构建不等式的知识网络。
课型3：探索数学对象运动变化的规律（以《函数的概念》为例）
（1）概念的引入――通过复习回顾或日常生活中的实例引入概念，学生经历材料感知的基础上初步认识概念。
问题1：函数的概念是什么？我们已经学习过哪些函数？
提出问题引导学生思考，通过对一些基本初等函数，如正比例函数，反比例函数，一次函数，二次函数等的认识，揭示函数是用于描述变量之间依赖关系的模型。
（2）概念的形成――引导学生从数学活动或数学实例中概括出概念的本质。
问题2：y=1是函数吗？y=x与y=■是同一个函数吗？
展示课本三个实例并提问：
问题3：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着怎样的对应关系？三个实例变量之间有什么共同点？
（3）概括概念――学生尝试给概念下定义，在小组交流、全班研讨中不断完善对概念的精确描述。
问题4：你还能举出一些相关的例子吗？你能归纳概括出一般结论吗？
除了课本中的三个实例，让学生大量举例（可以是已经学习过的基本初等函数），通过聚类分析提炼抽象本质属性，获得函数概念。
（4）理解概念――从概念的内涵与处延、概念的要素理解概念。
问题5：我们可以从哪些方面理解函数的定义？
引导学生明确以下几点：①函数的要素：定义域、值域和对应关系。②函数的表示法：解析式、图象、表格。③函数记号y=f（x）的内涵。
（5）应用概念――用概念作判断的具体事例，形成用概念作判断的具体步骤。
问题6：初中学过哪些函数？它们的定义域、值域、对应法则分别是什么？
提出问题，引导学生思考，启发学生利用表格对一次函数、二次函数、反比例函数的要素进行归纳与类比，并可利用信息技术工具（几何画板）画出函数的图像帮助理解上述函数的三个要素。
（6）形成认知――归纳总结概念的形成过程，概括应用概念解决问题的方法步骤。
问题7：你对“函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型”这句话有什么体会？构成函数的要素有哪些？你能举出生活中一些函数的例子吗？
举出生活中函数的例子（三个以上），并用集合与对应的语言来描述函数，同时说出函数的定义域、值域和对应关系。
关键词： 高一函数概念 教学设计 集合与映射
一、引言
在高一数学教材讲述函数概念时，主要是通过集合与映射引入.但是每个教师在教学中讲解函数概念的方式、对课本知识的理解程度不相同，使得对于相同的知识各自的教学设计也有所不同.
本文首先给出了三种不同的教学设计的一般环节及优缺点，然后叙述了函数概念教学的意义及困难现状，接着通过具体的高一函数概念教学设计分析教学设计的优势及缺点，吸收教学方案中的优点，进而加以反思，最后总结出函数概念教学设计研究中的体会.
二、教学设计的分类
（一）传统教学设计
传统教学设计，它的设计理念是基于教师“教”为主体的思想上，以教师为课堂教学中心进行设计编排教学策略与方法的教学设计模式.
1.传统教学设计主要环节
（1）目标分析；
（2）学习者分析；
（3）确定教学方法与策略；
（4）选定教学媒体；
（5）实际教学，并获得教学反馈.
2.传统教学设计的优点及不足
传统教学设计是以教师为主体的教学设计模式，其优点在于教师能够充分发挥主导作用，有助于学生系统掌握科学知识.
传统教学设计的不足主要表现在以教师为中心，忽视学生的自主学习能力，没有充分考虑学生的创造性，不利于学生成长.
（二）建构主义下的教学设计
建构主义下的教学设计是以学生为主体的教学模式设计，以学生自主的“学”为中心，学生是信息加工的主体，是知识的建构者.
1.建构主义下的教学设计主要环节
（1）情景创设；
（2）信息资源提供；
（3）自主学习策略设计；
（4）组织与指导自主发现，自主探索.
2.建构主义下的教学设计的优点与不足
建构主义下的教学设计是以学生为中心的教学模式设计，其优点在于能够充分发挥学生的自主学习和探索发现能力，有利于培养学生的创新能力与发散思维.
建构主义下的教学设计不足表现在，过分以学生为中心，忽视了教师的主导作用，学生的学习不够系统科学.
（三）“学教并重”的教学设计
“学教并重”的教学设计，既强调学生的自主学习，又肯定了教师的主导教学，是传统教学设计理论和建构主义下的教学设计理论的结合.
1.“学教并重”教学设计的主要环节
（1）教学目标分析；
（2）学习者特征分析；
（3）教学策略的选择和活动设计；
（4）学习情景设计；
（5）教学媒体选择与教学资源的设计；
（6）实际教学过程中形成性评价并根据反馈信息对教学设计加以改进.
2.“学教并重”教学设计的优点与不足
“学教并重”教学设计是结合了教师的“教”与学生的“学”，可以灵活选择“发现式”教学和“传递―接受式”教学，便于考虑情感因素，即动机的影响.
“学教并重”教学设计不足在于教师对知识的理解程度及教师素养等的差别，从而导致教学设计的不同，因而我们仍要学习不同的教学设计改进教学.
三、函数概念教学设计的相关问题
（一）函数概念教学的意义
函数是数学学科学习中的重要内容之一，对其概念的学习是学习函数知识及其他数学概念的基础.因此，了解函数的背景是十分有益的[1].
（二）中学生对函数概念理解程度
从思维发展的特征来看，初中生处于从形象思维为主的逐步向经验型的抽象思维发展的阶段，由于高一学生还处于经验型的抽象思维阶段，根据经验理解函数概念非常不适应，这是构成函数概念学习困难的主要根源[2].
（三）函数概念教学中存在的问题及解决办法
1.函数概念的抽象性
在中学生函数概念教学的诸多问题中，函数概念的抽象性是其中最重要的一个问题[3].针对函数概念的抽象特性，教师在教学设计时注意把概念具体可观化，利于教学.
2.教师对函数概念理解不够深刻
在函数概念教学中，除了函数概念本身的抽象难懂之外，教师对函数概念理解本身就不够深刻也是教学中存在的一大问题.
四、具体函数概念教学过程设计研究
函数概念教学设计
1.教学重、难点：理解函数的模型化思想及“y=f（x）”的含义，用集合与对应的语言刻画函数，掌握函数定义域和值域的区间表示法.
2.教学过程：
（1）阅读课本引入新知，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想.
（a）炮弹的射高与时间的变化关系问题.
（2）引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系.
（3）根据初中所学函数的概念，判断各个实例中两个变量间的关系是否是函数关系.
（4）函数的概念.
（5）函数定义的五大注意事项[5]：
（a）f表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样；
（b）f（x）是一个符号，表示x经过f作用后的结果；
（c）集合A中数的任意性，集合B中数的唯一性；
（d）“f：AB”表示一个函数的三要素：法则f（核心），定义域A（要优先），值域C（上函数值的集合且C∈B）.
（6）函数定义域和值域的表示方法.
3.例题讲解：
例1：根据函数定义，判断下列图像是否为y关于x的函数图像：
4.课堂小结：（a）函数的概念.（b）函数定义的五大注意点.（c）函数的三要素及符号的正确理解和应用.（d）定义域、值域的表示方法.
5.课后作业及板书设计.
从函数概念教学设计研究中，我们可以得到以下启发：第一，函数概念教学有四大核心，函数的概念、函数的表示、函数的定义域与值域及对应法则、函数的应用；第二，函数概念的教学随着函数概念的发展应循序渐进，相关概念的教学在教学设计中应把握整体，首先认识函数中的变量，突出函数各变量之间的关系，其次学习函数表达式，最后把握概念本质，理解“对应”，牢记函数定义，形成函数对象，建立函数模型；第三，函数概念教学设计的具体环节应考虑全面，包括重难点的把握，新课的引入安排，师生互动安排，代表性例题的选择等；第四，教学设计完成后，经过实际教学，形成教学反思，通过反思，总结经验，改进教学质量[6].
参考文献：
[1]方晓燕.浅谈中学函数概念的教学[J].教育教学论坛，2010（3）：47-48.
[2]朱文芳.函数概念.学习的心理分析[J].数学教育学报，1999，8（4）：24.
[3]夏也.学生在函数概念学习中的困难分析[J].电大理工，2007（3）：66-67.
[4]烁箩.《函数的概念》教学设计中存在的问题及其解决――兼评网上教学设计[J].内蒙古师范大学学报（教育科学版），2012，25（12）：27-29.
但是，在实际教学中，我们往往发现，只要学过，学生极少算错3×3=9，但将32算成6的却绝不是个例，甚至还有32=5的，因为他不明白32表达什么意思；又如学生都会算40+50=90，但如果换成“已知α、β互为余角，α=40°，求β”，有些学生就做不下去了，因为他不明白什么是“互余”。诸如此类的问题，都是学生概念不清的具体表现。概念不清的学生，不但逻辑思维能力差，而且在计算、推理、证明过程中也会遇到难以克服的困难。可是，教学中有的老师往往把重点放在解题能力的培养上而忽视了数学概念的学习，从而导致学生对概念的理解不深不透，甚至停留在机械背诵层面；有的学生也不重视概念的学习，认为学数学就是学解题，把学解题的重要前提——“熟悉、理解数学概念”忽视了，结果学解题也学不了，学习效率低下，影响进一步学习数学的兴趣和信心，最终形成怕数学、厌学习的心理。
要帮助学生准确理解概念，解决学生概念不清的毛病，首先要重视概念的引入，注意密切联系生产、生活实际和学生的年龄特点、接受能力，让学生从学习数学的源头——“数学概念”开始，对数学就产生兴趣，乐学数学，爱学数学。在教学中，笔者是这样导入数学概念的：
一、定义型概念的引入
定义型的概念，在教材中它有确切的含义限制着它的外延与内涵。比如锐角三角函数中“角A的对边与斜边的比叫做角A的正弦”“一般地，形如√ā（a≥0）的代数式叫做二次根式”等这些概念，是人们约定成俗的规定，是公认的，就不要去解释为什么这样规定，这种概念在初中数学中比较多，应单刀直入式地导入。
二、叙述型概念的导入
叙述型的概念，也称描述型概念，在教材中没有严格的定义，只用语言描述了其基本特征，比如“直线”是这样定义的：“在日常生活当中，一根拉紧的绳子、一根竹竿、人行横道线、都给人以直线的形象，而实际上的直线是两端都没有端点、可以向两端无限延伸、不可测量长度的。”又如“射线”，是这样定义的：“直线上的一点和它一旁的部分所组成的图形称为射线。”这类概念，宜在唤起学生的充分想象的同时用简洁准确的语言导入，必要时还应用辅助物加以演示，如用手电筒发出的光表示“射线”。
三、形成型概念的导入
形成型概念，是指概念在产生的过程中或存在某种逻辑推理过程，或存在实例加以印证。因为许多数学概念源于生活实际，有些数学概念就是由生产、生活中的实际问题中抽象出来的，有些则是由数学自身的发展与需要而产生的，这类概念可以通过创设数学概念形成的问题情境，采用演示、计算、猜想、归纳等方法导入。
（1）创设情境导入。是指教师在课堂教学中，注意运用实例、实物或模型进行介绍，激发学生的求知欲，为学生积极创设乐学情境。这些实际事物，往往可以就地取材，如“圆”的定义，就可以让学生思考如何用一根绳子画圆，在体验画圆的过程中形成圆的定义：“在一个平面内，线段OA绕它固定的一个顶点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的封闭图形叫做圆。”或者“平面上到定点的距离等于定长的所有点的集合叫做圆。”又如学习“平面直角坐标系”，就以在剧院找座位或在教室用第几行、第几列来确定同学位置的方法进行导入。再如可利用铁轨、窗枝、电线等有平行特征的实物导入“平行线”的概念。创设情境导入数学概念，学生参与度高，学习兴趣浓厚，效果好。
（2）演算推理导入。当通过计算、推理能够很好地揭示数与形的某些内在矛盾或本质属性时，计算推导是一个很好的导入方法。如“一元二次方程根与系数的关系”“平方差公式”“勾股定理”等的导入。
（3）由旧引新导入。有些概念与学生原有的概念联系得很紧密，可以从学生已有的知识基础上加以引申，导出新概念。如从“分数的性质”引申出“分式的性质”，由四边形引出平行四边形再到特殊的平行四边形等，就是原有概念与新概念联系十分紧密，只需抓住它们的本质特征作出简要说明，就可以让学生建立起新的概念。
从上述分析可知，不同的概念有不同的导入方法，方法适当，效率才高，效果才有保证。如果我们不注意区别概念的类型，或照本宣科地导入，或片面强调理论联系实际，处处从实际导入，教学上就要犯教条主义、形式主义的错误，不但延误教学时间，而且课堂枯燥，学生学得乏味，削弱教学效果。
那么，概念的导入除了要注意区别不同的概念类型采用不同的导入方法外，还要注意什么呢？
（1）注意让学生体验概念的形成过程，改变传统教学中只注重结论及结论的运用的教学方法。
（2）注意概念中的“关键词语”，在学概念时要讲清、讲透，使学生理解透彻，真正弄懂。如二元一次方程定义中“如果一个方程含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数是1，那么这个整式方程就叫做二元一次方程。”对这个定义，除了要讲清“元”与“次”的含义外，还要重点强调“项”与“整式方程”，否则学生往往把“xy=10” “x+1”或“y=2”也认为是二元一次方程。又如“一元二次方程”的定义：“只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程，其一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0）。”除了要讲清“元”与“次”“整式方程”的含义外，还要特别强调“a≠0”这个条件，否则学生在解答“m取何值时，关于x的一元二次方程（m-1）x2+7x+ m2-1=0有一根为0”这个问题时，学生就会求出m=1或m=-1，而实际上m=1时方程不再是一元二次方程。
（3）注意概念的文字语言表达与数学符号语言表达的互相转化，进一步理解概念所表达的含义。如“a平行于b”，可写成“a//b”，又如“相似三角形的对应边成比例”可写成“若ABC∽DEF，则AB/DE=AC/DF=BC/EF。”
（4）注意概念的准确识记，通过识记来加深理解。教学中在理解的基础上教师可通过这些方法指导学生识记：①反复阅读、背诵，达到熟记程度，随时可脱口而出；②编顺口溜识记；③数形结合识记。
（5）注意引导学生形成概念体系，将所获得的每一新概念及时纳入相应的概念系统。数学是一门结构性很强的学科，任何一个数学概念都存在于一定的系统之中，将新概念置于系统中，新旧概念才会融会贯通，才理解此概念与彼概念的联系与区别。
（6）注意发挥学生的主体作用，调动学生积极参与，动手、动口、动脑，大胆猜想，交流合作，勇于创新。
（7）注意体现教师的主导作用，如选择实例要具有代表性，引进概念要突出必要性，概括特点要重视准确性，区别概念要注意系统性，运用概念要具有针对性，巩固概念要做好及时性等。
