知识与技能：
经历探索同位角相等，两直线平行的过程，掌握两直线平行的条件，并能解决一些问题。会用三角尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。
过程与方法：
通过“转动木条”的活动锻炼学生观察、想象、思考的能力。在学生亲自动手操作、合作交流中直观认识“同位角相等，两直线
平行”。
情感态度与价值观：
让学生在自主探究活动中积极投入认真思考，并与同伴合作交流，尝试成功的快乐，激发学生的探究意识及学习积极性。
【教学重点】探索同位角相等，两直线平行。
【教学难点】掌握同位角相等，两直线平行，并能灵活对其运用，解决一些实际问题。
【教学方法】合作探究，动手操作。
【教具学具】多媒体课件、三根木条。
【教学过程】
一、情景导入
问题1：在同一平面内两条直线的位置关系有几种？分别是什么？
问题2：什么叫两条直线平行？
问题3：装修工人正在向墙上钉木条。如果木条b与墙壁边缘垂直，那么木条a与墙壁边缘所夹角是多少度时，才能使木条a与木条b平行？你的理由是什么？
二、探究新知
1.上面的操作过程可以抽象出几何图形。如图：
（1）师明确：两线相交成四角，三线相交成八角。具有∠1、∠2这种位置关系的角叫做同位角。
（2）思考：同位角的位置关系有什么特点？
（3）图中还有哪些是同位角？
2.拿出学习用具，三根木条相交成∠1，∠2，固定木条b、c，转动木条a。
（1）观察∠2的变化以及它与∠1的大小关系，你发现木条a与木条b的位置关系发生了什么变化？它们何时平行？
（2）改变∠1的大小，按上面方式再试一试，两角满足什么关系时，木条a与木条b平行？小组内进行交流讨论。
（3）学生组内思考交流：通过以上操作，你能得出什么结论？
（4）明晰：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。简称为“同位角相等，两直线平行”，平行用符号“∥”表示。例如，直线a与直线b平行，记作a∥b。
3.现在你能解释问题3了吗？
4.做一做
（1）如图1：你能过直线AB外一点P画直线AB的平行线吗？能画几条？你能画出不同的线吗？通过以上操作你能得到什么
结论？
师生共同明晰：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。
（2）在图2中，分别过点C、D画直线AB的平行线EC、DF，那么CE与DF有怎样的位置关系？猜一猜，再验证一下。通过这次操作你又得到了什么结论？
师明晰：平行于同一条直线的两条直线平行。
（3）转化成几何语言该是什么呢？（生口述，师演示多媒体）
三、巩固练习
1.找出图中点阵中互相平行的线段，并说明理由（点阵中相邻的四个点构成正方形）。
2.如图，在屋架上要加一根横梁DE，已知∠B=32°，要使DE∥BC，则∠ADE必须等于多少度？为什么？
四、课堂小结
1.本节课你有什么收获？
2.通过本节课的学习你还有什么想要进一步探究的吗？
五、布置作业
关键词：数学教学；探索能力
随着科学技术的不断发展，在中学数学教学中如何培养学生科研基础能力，已提到教学研究的日程上。若认为中学数学内容浅显，还远未涉及科研问题，从而忽视科研基础能力的培养，是极不恰当的，事实上，中学数学这些浅显内容，在未被发现之前也是难度很大的新问题，也都是通过科研探讨而获得解决的。因此，中学数学内容包含了科研能力的基本功。如果在教学的过程中能够有意识地对学生加强这方面的培养与训练，那么对于他们在未来的科研道路上获得新成果，定会起到积极的作用。
下面，我就在数学教学中如何培养学生的探索问题的能力，结合个人三十余载的高中数学教学实践，谈几点粗浅的认识。
1、在进行解题克服矛盾过程中，培养学生探索问题的能力。一切事物都是在不断地克服矛盾的过程中前进的，如果在教学的过程中，能经常不断地通过揭示矛盾而引出新知识和新方法，那么学生在遇到矛盾时，就能够抓住矛盾的关键所在，从而提出解决矛盾的设想，激起勇于探索创新的精神。
类似这些问题，在教学中应尽量把矛盾摆出，启发学生来解决。
2、从由特殊到一般进行归纳中，培养学生探索问题的能力。由一些特殊的，个别的事物之中寻求共性，从而归纳出一般的结论，这是认识事物的一种最基本的方法。事实上，无论是自然科学，还是社会科学，经常是通过归纳而提出猜测性的结论，然后再进一步检验与证明提出的结论正确与否。因此，这是一种很重要的探索问题的方法，在教学中应随时有意识地对学生进行这方面的培养和训练，从而提高学生探索问题的能力。例如：求数列的通项与前n项和的公式以及排列、组合种数公式等，教学中都应本着这种要求进行教学。
课本上归纳法这部份例题，习题很多，我们均可让学生先推导结论，再用数学归纳法证明。
3、从通过类比进行数学中培养学生探索问题的能力。
类比也是探索问题的一种重要方法，虽然由类比得到的结论不一定可靠，但类比是科学研究的最普遍的方法之一，对科学发现方面具有重要的作用。数学中不少概念、性质、定理，就是从类比推测中发现的。因此，在教学时，采用类比方法那是大有益处的，不仅可培养学生探索问题的能力，而且还可以把类似的问题联系在一起，明确他们在哪些方面共性，哪些方面没有共性，从而能再准确地掌握它们。如：不等式性质可以与等式的性质进行类比，从而更加明确等式两边同时乘以或除以（除数不为0）同一个数，仍是等式，这一性质对于不等式来说是不成立的，只有明确了所乘（或除）的数是正（或负）数之后，才能有相应的性质。
又如：立体几何中的直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行、垂直关系可以与平面几何中直线与直线的平行、垂直关系进行类比，而提出推测，然后再进一步于以肯定或否定。如“二直线同时平行一直线则二直线平行”成立；而“二直线同时垂直于同一直线则二直线平行”就不成立；但“二直线同时垂直于同一平面则二直线平行”又成立；而“二平面同时垂直于同一平面则二平面平行”却又不成立；等等。如果学生能独立地通过类比而提出推测，进而判定推测的正误，那么，他们将能更扎实的掌握知识。
在教学过程中，我们应当尽可能地创造更多的条件和机会，让学生参加这类活动，事实上，一旦他们的设想、联想、猜想所得结论被证明正确的时候，势必大大增强其自信心，增强对数学的兴趣。
4、从条件变换来推导结论中，培养学生探索问题的能力。在自然科学领域中，经常是通过改变条件进行实验来研究可能获得的新成果。在数学领域中也经常是变换条件来研究可能获得的结论的，变换条件而提出新问题也是科研的基本功之一，因此，我们不能忽视对这种能力的培养。有关这方面的内容就更多了，这里仅举一例：
如：在“平面与平面垂直的判定定理，性质定理”的教学中，分下面三层次进行教学，使学生思维处于积极兴奋状态。
第三、要求学生阅读课本后，概括出命题⑴即为两个平面垂直的判定定理。命题⑵、⑶即为两个平面垂直的性质定理，并要求学生用语言表达。
在这节课的教学中，我们教师因势利导，适时启发，师生共同得出面面垂直判定、性质定理。这种发现情境的创造无疑对激发学生学习兴趣，提高分析问题解决问题的能力起积极作用。
如果学生养成变换条件进行探讨问题的习惯，它将能随时把所获得知识和作过的习题，通过变换条件而寻求更多的结论，从而利于探索能力的培养。
关键词：探索题 结论探索型 存在探索型 隐含探索型 变换探索型
探索是数学的生命线，显然试题中有探索性的要求是非常必要的，这类命题是较典型的“开放式”题型，对于培养学生创造性思维能力、类比归纳能力、直觉思维能力，全面提高学生素质是十分有益的；同时探索性问题也是区分度较高的试题，它能有效地检测学生运用知识、推理运算的能力，以及分析问题、解决问题的能力。本文就探索题题型与学生数学能力的发展作一些探讨。
一、结论探索型
这类探索性问题一般是由给定的已知条件求相应的结论，它要求学生充分利用已知条件进行猜想，透彻分析，发现规律，获取结论，这对学生分析问题归纳结论的能力有一定帮助。
下面用数学归纳法证明(略)。
解决这类问题的思路一般是：归纳――猜想――证明，它可以激发学生的学习兴趣，拓宽学生的思路，培养学生善于思考探索的习惯。
二、存在探索型
“存在性”的探索性问题是探索性命题的热门形式，而且是一类综合性覆盖面大、已知条件更加隐蔽的题型，它着力要求学生根据题设条件把握特征，对“是否存在”作出准确的判定和正确的推断，以提高学生的判断能力和演绎推理能力。
例3：已知抛物线c：y =4x和定点R（0，-2），是否存在过定点R且与抛物线交于P、Q两点的直线l，使|PQ|是|RP|与|RQ|的等比中项？若存在，求其方程；若不存在，说明理由。
三、隐含探索型
隐含探索型问题，即命题中既没有猜想一般规律也没有“是否存在”等字样，但问题本身的结论隐含着不确性，这类问题有时必须通过由此及彼、由彼及比的类比联想，估计出结论，再进行证明；有时必须通过由具体到抽象、由特殊到一般的归纳得出结论，然后进行证明。也有时可以根据定义、定理直接进行演绎推理，最终会“水落石出”得出结论。这类问题可以提高学生的抽象思维能力和推理论证能力。
例6：平面θ上有n条直线，其中任意两条直线不平行，任意三条直线不共点，那么这样的n条直线把平面θ分成多少个部分？
四、变换探索型
这类题型的特点往往是对已有的条件进行演变，它着力要求学生善于用运动与变换的观点去加以观察探索，勇敢地发现、大胆地猜想、科学地分析、严谨的论证，从而解决问题，它对发展学生思维的发散性和灵活性大有益处。
例7：求证：外切已知椭圆的矩形的对角线的长度不变。
分析：取特殊位置――各切点为椭圆的各顶点，这时矩形的对角线 为定值。
由以上所举的实例可以看到，探索题对学生的观察力、想象力、逻辑推理及归纳和综合能力、分析问题和灵活运用数学知识解决实际问题的能力的发展都有积极作用。
怎样通过一节或几节课的复习把一章知识进行系统归类，让学生加深对概念的理解、结论的掌握，方法的运用和能力的提高？
专题复习课如何设计，才能达到使学生能把各个章节中的知识联系起来，提高综合运用知识的能力？
如何通过复习课，促进数学思想的形成和数学方法的掌握，培养学生的数学能力，使学生从容应付中考？
1.选好例题，选题要思考，不能以多取胜，搞题海战术
（1）有什么用？――认清功能。
（2）用来干什么？――认清目的。
（3）是否适合学生的水平？――从实际出发。
2.用好例题，用好变式
设计变式型问题（一题多解，多题一解，采用题组的形式一题多变）――提高学生应变思维能力。
陈题新讲――将其变化延伸，拓展学生思维，于旧题中挖出新意。
深题浅讲――找准突破口，巧妙降低难度，将大题化小，深题化浅。
要精讲精练，懂一题，懂一类，悟其妙。
3.课堂中贯穿着对学生的关爱
教给他们良好的做题素质：对新题、应用题、综合题等不要怕，用一颗平常心对待。平常做这些题时，要敢于去碰、敢于去试。
教给学生做题后反思的习惯：不管自己独立解决问题是否成功，每做完一道有思考性的题目后，都要反思总结，这样就会做一题，得一题；当获得了反思总结的经验后，做完一道题后再进行反思，有可能会做一题，得一题，得一法，懂一类。
下面探讨开放性题型和探索性题型的复习课：
一、开放性题型特点
按照条件与结论的开放性，可分为三种类型：
（1）条件开放性题型：往往已知部分、已知条件和一个完整的结论，要求解题者根据这部分条件与完整的结论，将缺少的条件找出来，当然这些缺少的条件通常不是唯一的。
（2）结论开放性题型：已知条件已经完全给定，但Y论没有给出，要求解题者由这些已知条件，通过推理的方式，得出若干种正确的结果，这些结果往往有多个，甚至无穷多个。
（3）条件与结论放题型：给出了部分已知条件，同时也允许解题者按照要求添加若干条件，并根据题目已经给出的条件和添加的条件，推导出带有个性色彩的结论。
二、探索性题型特点
问题的解决不是按照某个固定的、明确的程序，使用某种技能就能完成的；思考问题的方向不是很明确，解决问题的路线不是很清晰的，通常要经历一定的尝试与试误过程；探索性活动是有个性化的数学活动，不同的人往往有不同的表现和不同的成果。
可分为四类：条件探索、结论探索、存在性探索、规律性探索。
三、开放性题型与探索性题型的关系
开放性题型是从答案的形式来界定的，而探索性题型是从思维的层面上来说的，两者的关系如图1所示，有部分兼容性。
首先，介绍开放性题型和探索性题型两种专题的特点以及关系。
例1 如图1，在RtABC中，CD为AB边上的中线，若将ABC沿CD对折，你能添加一个条件使四边形EBCD为菱形吗？请说明理由。
解：添加_______。理由：_____________。
点评：这是一道条件开放题，添加的条件①∠A=30°，②AB=2BC③ECAB，④∠ABC=2∠A，⑤CD=BC，⑥∠CDB=∠ABC等。
其次，从添加的条件出发，经过推理论证，得到四边形EBCD为菱形。
变式：已知条件不变，设问变为：当∠A满足什么条件时，四边形EBCD为菱形？请说明理由。
此题变为条件探索题。先回答∠A=30°时，四边形EBCD为菱形。再从∠A=30°出发，经过推理论证，得到四边形EBCD为菱形。
通过变式的设计说清了条件开放题和条件探索题的不同之处：条件开放题中缺少的条件通常不是唯一的；条件探索题中缺少的条件往往带有唯一性。
例2 如图2，点B为线段AD上一点，AB=2BD，分别以线段AB、BD向外作等边三角形ABF和等边三角形BDE，O是ABF的外接圆，联结FE交O于点N，交AD的延长线于点M。
（1）直线BE与O有何位置关系？并说明你的理由。
（2）除（1）的结论外，另外写出三个至少经过两步推理得出的不同类型的结论（不要求证明）。
点评：第（1）问是结论探索题，第（2）问是结论开放题。不同类型是指写了线段相等，就不要再写其他线段相等，在线段的数量关系、位置关系、两角的关系等中，写了其中一个量，就不要再写同一类型的其他量了。还要注意至少经过两步推理这句话。从线段之间的关系得：①AF∥BE，②BEFM，③BD=DM，④BM=2DE，⑤AF2=FN・FM，⑥BE2+EF2=BF2，从角度之间的关系得：⑦∠M=∠DEM，⑧∠M=30°。
四、结论
（1）在例2的两个小问上设计了结论探索题和结论开放题，通过比较区分两者的不同：结论探索题的结果通常具有唯一性；结论开放题的结果往往有多个，甚至无穷多个。
（2）设计比较型问题，在求同求异比较中整合学生知识。通过比较，能把相关概念串联起来形成知识链。
（3）此例的设计将结论探索题和条件探索题放在一起比较。
关键词：开放；探索；求解
近年来各地中考命题中都有把开放与探索题作为热点问题之一进行命题，这与课标总体目标是相吻合的。《义务教育数学课程标准（2011年版）》总体目标中明确提出：（1）初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力；（2）获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识。而开放探索性问题是相对传统的“已知――求证”固定模式的题型，即对有完备的条件和固定结论的封闭型试题而言的，它的条件、结论之一未明显写出。常见的开放探索题有：（1）探索、补充条件；（2）探索、确定结论；（3）探索存在性；（4）有关方案设计与动手操作的题目。
一、条件开放的探索
此题型命题规律是给出问题的结论，让解题者分析探索使结论成立应具备的条件，而满足结论的条件不唯一，这样的问题是条件开放性问题。一般解决这样的问题的思路是：从结论出发，执果索因，逆向推理，逐步探求结论成立的条件或把可能产生结论的条件一一列出，逐个分析。
例1.（集美区某年中考一模试卷）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是BD上的点，连结AE、CF。
（1）请添加一个条件：_______（注：不增加新的字母或辅助线）使得ABE≌CDF，并加以证明。
（2）判断题命题“如果OE=OF，BD=12，那么点E是ABC的重心”是否正确？若正确请说明理由；若不正确，请举出一个反例。
分析：（1）题是条件开放，要立足所论证的结论，来引导学生从平行四边形的性质出发，结合全等的判定探索需要添加的条件，如：BE=DF，∠AEB=∠CFD等条件，可得到ABE≌CDF。
（2）把握三角形重心的定义，通过学生观察、探究找到特殊值。如：当EO=3时，BE=EO=3，E就不为ABC的重心。
二、结论开放的探索
此题型命题规律是给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论，并且符合条件的结论往往呈现多样性，或者检验结论的“存在性”需要解题者进行推断，甚至要求探索者探求条件在变化中的结论，这些问题都是结论开放性问题，它要求解题者充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论，这类题主要考查解题者的发散性思维和应用所学基础知识的能力。解决这类问题的一般思想是：从剖析题意入手，充分捕捉题设信息，通过由因导果、顺向推理或联想类比猜测等，从而获得所求的结论。
例2.（2012贵州遵义）如图，ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PEAB于E，连接PQ交AB于D.
（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；
（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由。
分析：这是一个动态问题，（2）小题结论开放。很多学生望而却步，所以要鼓励学生遵循“动中有静、以静制动”的变化规律。先充分利用好已有的数学知识和数学方法――等边三角形的性质、直角三角形中30°角的特殊性，来解决第（1）题中的AP在特殊情况下的值。然后通过几个特殊值，如AP为1、2时，让学生探索（2）小题的结论，猜测出当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变。教师在点拨学生作垂线QFAB，交直线AB的延长线于点F，连接QE、PF，由点P、Q做匀速运动且速度相同，可知AP=BQ，再根据全等三角形的判定定理得出APE≌BQF，再由AE=BF，PE=QF且PE∥QF，可知四边形PEQF是平行四边形，进而可得出EB+AE=BE+BF=AB，DE=■AB，由等边ABC的边长为6可得出DE=3，故当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变。
三、条件与结论都开放的探索
此题型命题规律是没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，这就要鼓励学生通过自己的观察和比较，将已知的信息按一定的规律有序排列进行分析，探索问题成立所必须具备的条件或特定的条件应该有什么结论，通过这一思维活动得出事物内在联系，从而把握事物的整体性和一般性。
例3.某七年级学生在做作业时，不慎将墨水瓶打翻，使一道作业题只能看到如下字样：
“甲、乙两地相距40km，摩托车的速度为45km/h，汽车的速度为35km/h，■（后面一段矩形黑框是被墨水污染无法辨认的文字）”，请你将这道题补充完整，并列方程解答。
分析：本题也要仔细阅读题目中的已知部分，理解题目的意思，领会命题者的意图，结合问题情境，进行合理补充，然后解答，条件与结论不唯一。由已知条件可知，此题可补充为相遇问题或追及问题，问题都是求时间。若补充为相遇问题：摩托车和汽车分别从甲、乙两地相向而行，则经过几小时后相遇？设经过x小时摩托车与汽车相遇，列出方程：（45+35）x=40，x=0.5；也可补充为追击问题：摩托车在甲地，汽车在乙地，汽车在甲、乙两地所在的直线上背对甲地出发，摩托车同时从甲地出发追赶，问经过多少小时能追上汽车？可设经过x小时追上汽车，列出方程：（45-35）x=40，x=4。
四、有关方案设计与动手操作的题目
此题型命题规律是题目中给出一个实际生活中能够遇到的问题，而解决问题的方法、策略是不唯一的，要求学生在题目要求的条件下，通过有序的表达形式，设计一个方案解决这个实际问题。解答这类题目的关键，在于平时数学思考和问题解决能力的培养和训练。
例4.某农场有一块三角形土地，准备分成面积相等的4块，分别承包给四位农户，请你设计两种不同的分配方案（在已给的图形中画图，保留画图痕迹，不写画法）。
分析：此题可获取以下主要信息：
（1）师生先通过三角形一边的中线可把三角形分成面积相等的两个三角形，帮助学生提出解决问题的策略。
（2）经观察、探究，让学生发现和提出一般性的问题，等底（同高）等高的两个三角形面积相等，再有规律地通过各个边的中点来划分面积相等的四等分三角形的各种情况。
现根据上述分析，结合题意，给出以下几种代表性的四类划分供参考。
这类开放型问题主要分为经济类和图形操作类，所涉及的知识点主要有方程（组）、不等式（组）、一次函数在一定范围内比较大小、二次函数的最值、作图、图形的割补等较广泛的问题。这类问题的难度主要不在数学知识本身，而在数学知识的灵活运用，在于教师根据学生思维层次设计问题层次，使不同层次学生都参与到数学思考和问题解决的过程中来，让他们都能获得数学思考和问题解决的成功体验。
参考文献：
[1]王后雄.中考完全学案・数学，2008-9：200-201.
一、条件开放探索型判断说理题
条件开放探索型判断说理题是指结论已经给出，要求探索能够使所给结论成立的条件.有了正确的答案，说理一般都比较容易.
图1
例1 （2011福建漳州）如图1，∠B=∠D，请在不添加辅助线的情况下，添加一个适当的条件，使ABC≌ADE并证明.
分析 因为题目中已经具备条件∠B=∠D，又∠A为公共角，要使得ABC≌ADE，需要添加的肯定是一组相等线段，从而可以得到三种方案，随着添加的相等线段的不同，得到的说理方法也不同.
解 方案1：添加的条件是AB=AD.此时，在ABC和ADE中，∠B=∠D，
AB=AD，
∠A=∠A，所以ABC≌ADE（ASA）.
方案2： 添加的条件是AC=AE.此时在ABC和ADE中，∠B=∠D，
∠A=∠A，
AC=AE，所以ABC≌ADE（AAS）.
方案3：添加的条件是BC=DE.此时，在ABC和ADE中，∠B=∠D，
∠A=∠A，
BC=DE，所以ABC≌ADE（AAS）.
点评 本题考查了同学们对全等三角形判定方法的掌握情况，判定三角形全等有四种方法，即SSS，SAS，ASA，AAS，要根据具体情况灵活选用.想一想：如果把条件中的“∠B=∠D”换为“AB=AD”，其他不变，应该怎么解决呢？请同学们试一试.
二、 结论开放探索型判断说理题
结论开放探索型判断说理题是根据给出的条件来寻求结论，但结论通常在两个以上.解答这类问题思路必须开阔，思维必须敏捷，要善于抓住题目的关键语句，采用各种变通的方法，进行横向联系和纵向比较，探索出问题的多种答案来，再进行判断说理.
例2 （2011湖北黄石）2011年6月4日，李娜获得法网公开赛的冠军，圆了中国人的网球梦，也在国内掀起一股网球热.某市准备为青少年举行一次网球知识讲座，小明和妹妹都是网球迷，要求爸爸去买门票，但爸爸只买回一张门票，那么谁去就成了问题.小明想到一个办法：他拿出一个装有质地、大小相同的2x个红球与3x个白球的袋子，让爸爸从中摸出一个球，如果摸出的是红球，妹妹去听讲座，如果摸到的是白球，小明听讲座.
（1） 爸爸说这个办法不公平，请你用概率的知识解释原因；
（2） 若爸爸从袋中取出3个白球，再用小明提出的办法来确定谁去听讲座，请问摸球的结果是对小明有利还是对妹妹有利，说明理由.
分析 （1） 根据概率公式分别求得妹妹与小明去听讲座的概率，概率相等就公平，否则就不公平；（2） 根据概率公式分别求得妹妹与小明去听讲座的概率，再讨论x的不同取值引起的概率大小关系的变化，根据概率大的就有利，即可求得答案.
解 （1） P（小明胜）＝35，P（妹妹胜）＝25， P（小明胜）≠P（妹妹胜）， 这个办法不公平； （2） 当x＞3时对小明有利，当x
理由如下： P（小明去）＝3x-35x-3，P（妹妹去）＝2x5x-3， 由3x-35x-3=2x5x-3，有3x-3=2x，解得x＝3. 当x＝3时摸球的结果对双方公平，即游戏公平；当3x-35x-3＞2x5x-3，即x＞3时摸球的结果对小明有利；当3x-35x-3
点评 此题考查了概率公式的应用和游戏公平性的判定.一个游戏规则是否公平，关键是看游戏双方获胜的概率（或得分）是否相等，若相等则公平，否则不公平.另外，如果要设计公平的新规则，一般方案不唯一，只要使两者获胜的概率（得分）相等即可.
三、 存在型开放探索判断说理问题
存在型开放探索判断说理问题通常以“是否存在”的形式设问，答案有两种可能：或存在，需要找出来；或不存在，需要说明为什么不存在.解决这类问题的一般思路是先假设所探索的结论是存在的，并把它当作已知条件，结合题设进行探索、归纳、推理、计算，如果能求出合理的结果，则说明假设成立.如果不能得到合理的结果或得到与题设、实际生活相矛盾的结果，则表明假设不成立，探求的结论不存在，从而作出正确的判断.无论最终结论是否存在，解题时都要求考生对作出的判断进行正确的说理.
图2
例3 （2011甘肃兰州）如图2所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2 cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D4，-23.
（1） 求抛物线的表达式.
（2） 如果点P由点A出发，沿AB边以2 cm/s的速度向点B运动，同时点Q由点B出发，沿BC边以1 cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动.设S=PQ2（cm2）.① 试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；② 当S取54时，在抛物线上是否存在点R，使得以点P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由.
（3） 在抛物线的对称轴上求点M，使得M到点D、A的距离之差最大，求出点M的坐标.
分析 （1） 求出A、B两点的坐标后，将A、B、D三点坐标代入y=ax2+bx+c，求出a，b，c的值；（2） ① 用含t的代数式表示BP、BQ后，再用勾股定理求出S的解析式；② 根据S=54即可解出t的值，进而得出P、B、Q的坐标.然后先假设R点存在，根据P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形，分类求出R点的坐标，再验证R点是否在抛物线上；（3） 利用对称将点A转化到与点D在对称轴的同一边，再利用三角形两边的差小于第三边判断出点M与点B、D在同一直线上时，差才最大，再利用一次函数求出点M的坐标.
解 （1） 由题意得A（0，-2），B（2，-2），又抛物线y=ax2+bx+c过点A， c=-2.再把B、D两点的坐标代入，由4a+2b-2=-2,
16a+4b-2=-23，解得a=16,
b=-13.
抛物线的解析式为y=16x2-13x-2.
（2） ① S=PQ2=BP2+BQ2=(2-2t)2+t2=5t2-8t+4（0≤t≤1）；② 由5t2-8t+4=54，解得t=12或t=1110（不合题意，舍去），此时，P（1，-2），B（2，-2），Q2，-32.假设存在点R, 使得以点P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形，则R3，-32或1，-52或1，-32，代入抛物线解析式检验可知，只有点R3，-32在抛物线上，所以抛物线上存在点R3，-32，使得以点P、B、Q、 R为顶点的四边形是平行四边形.
摘 要：在国家课程标准下，数学有多种教材版本，在同一课程标准下，为什么会有多种教材版本呢？显然，各教材侧重的方向和方法不同，但是最终目标是一致的。北京师范大学出版社出版的教材，简称“北师大版”，人民教育出版社出版的教材，简称“人教版”，主要研究这两种数学教材《平行线判定》的异曲同工之处。
关键词：平行线；判定；北师大版；人教版
目前，中小学数学主要使用北京师范大学和人民教育出版社两种教材，其中沿海和新课改城市一般采用北京师范大学出版社的教材，而北方内地城市一般采用人民教育出版社的教材。两种教材究竟有哪些不同和联系呢？本论文将从新课程标准的要求、章节引言、内容结构和教学设计四方面，阐述两本教材中《平行线判定》这一课的异曲同工之处。
一、新课程标准要求
1.实施意见
《义务教育数学课程标准》在实施意见中指出，数学教学要生活化、情境化和知识系统性，最终超出生活（生活数学）并上升到“笛模型”（书本数学）。
2.课程目标
在课程目标中要求学生：探索并掌握相交线、平行线的基本判定，掌握基本的证明方法和基本的作图技能；体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明，在多种形式的数学活动中，发展合情推理与演绎推理的能力。经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题方法的多样性，掌握分析问题和解决问题的一些基本方法。敢于发表自己的想法、勇于质疑，养成认真勤奋、独立思考、合作交流等学习习惯，形成实事求是的科学态度。
3.内容标准
在内容标准中要求学生：识别同位角、内错角、同旁内角。掌握基本事实：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。能用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。探索并证明平行线的判定定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等（或同旁内角互补），那么两直线平行。
二、两教材中的章节引言
两本教材的章节引言大同小异。都从生活出发，使用了桥梁图片，引出本章内容。介绍了生活中的一些蕴藏相交线和平行线的景象，并介绍了本章学习的主要内容。
三、两教材中的内容结构
《相交线与平行线》在初中数学北师大版教材中的第38页至第60页，使用了23页的篇幅。而人教版是教材中的第2页至第37页，使用了36页的篇幅。可见人教版使用的篇幅较多，将命题定理和平移的知识点也融入里面了。
北师大版的章节安排有：2.1两条直线的位置关系，2.2探索直线平行的条件，2.3平行线的性质，2.4用尺规作角，回顾与思考，复习题。人教版的章节安排有：5.1相交线，5.2平行线及其判定，5.3平行线的性质，5.4平移，小结，复习题。可见章节安排大致相同，不过北师大版中的同位角、内错角和同旁内角的概念安排在后，在“2.2探索直线平行的条件”中，一起使用了两个课时。人教版中的同位角、内错角和同旁内角的概念安排在前，在“5.1 相交线”中，而“5.2平行线及其判定”只使用了一个课时。同位角、内错角和同旁内角概念的前后，体现了两本教材的不同思路。
四、两教材中的教学设计
北师大版的课题名字是“探索直线平行的条件”，课本分两个课时，第一课时主要内容有：装修工人如何使木条a平行于木条b？利用三根木条转动模型，探索同位角概念和平行线判定（同位角），三角尺画平行线，过直线外一点画平行线。第二课时主要内容有：内错角和同旁内角概念，探索平行线判定（内错角、同旁内角）。根据课本内容，教学过程可以设计如图：
1.情境引入
出示图片，提问学生“看到这么多图形，你有什么问题和想法想和大家交流一下吗？”引出本节课的大问题“我们该如何判断、作出两直线平行？”
2.合作探究
学生讨论、交流做平行线的方法，并上台展示。学生1：“在同一平面内，做同一条直线的两条垂线，这两条垂线平行。”学生2：“用小学学过的知识，平移三角板画出两条直线平行。”学生3：“作两组对边分别相等的四边形，得到平行四边形，平行四边形的对边平行。”学生4：“在直线一旁，作两个相等的角，这两个角的另一边互相平行。”……
3.导学达标
老师引导学生，总结以上方法，并找出共性。引出“同位角”的概念，发现“同位角相等，两直线平行”。接着再思考过直线外一点作平行线的情况，让学生体会平行线的唯一性和传递性。
4.矫正深化
安排练习，纠正认知错误，熟练知识点。课本安排了随堂练习2道，习题5道。安排的习题有：求角度的、证明平行的、格子图作平行线的、折纸作平行的、建筑工人调整工具作图的原理等。主要侧重操作。下一节课再学习“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线平行”。
人教版的课题名字叫“平行线及其判定”，课本安排了一个课时，在学习之前已经学习了同位角、内错角和同旁内角概念，本课时的主要内容有：利用三根木条转动模型思考两直线位置关系，过直线外一点画平行线，回顾三角尺画平行线，平行线判定（同位角），木工用角尺画平行线的原理，平行线判定（内错角），平行线判定（同旁内角）。根据课本内容，教学过程可以设计如图：
1.情境引入
出示图片，提问学生：“看看这些图形，它们有什么共同特征？”引出本节课的内容“两直线的位置关系”。
2.合作探究一
思考三根木条转动模型，思考两直线不相交的情况。学生体会两直线不相交时候的角与线的位置特征。
3.合作探究二
思考过直线外一点作平行线的情况，让学生体会平行线的唯一性和传递性。学生画平行线体验。
4.合作探究三
思考以前学习过的用三角板画平行线的方法，思考其中的原理。学生通过操作、演示和交流发现“同位角相等，两直线平行”。学习完判定后，再思考木工用角尺画平行线的原理，让学生进一步体验判定的内涵。
5.合作探究四
思考内错角、同旁内角与同位角的关系，想想能否用内错角和同旁内角的关系判断两直线平行。学生运用所学知识，将内错角相等、同旁内角互补转化为同位角相等，发现新的两条判定。
6.合作探究五
思考垂直于同一直线的两条直线的位置关系，运用前面所学知识，证明垂直于同一直线的两条直线平行。学生在学习的过程中，不断地应用所学知识。
7.矫正深化
安排练习，纠正认知错误，熟练知识点。课本安排了练习3道，习题12道。安排的习题有：求角度的、证明平行的、生活中的数学原理、区分三个判定、三个判定的联系等。主要侧重知识的应用。
五、两教材中的异曲同工
两教材的知识点、内容设计、章节引言和情境引入都符合新课标要求。两本教材的课本引言和新课引入都从生活出发，引入课题，符合新课标中教学生活化和情境化的要求。两本教材的内容、结构大致相同，循序渐进，从生活现象观察里面所包含的数学原理，探索数学定理，不过人教版安排的内容比较多，习题也比较多，所以篇幅也较多，更加重视知识的系统性。
两教材在探索平行线的判定过程中，都使用了木工画平行线的情境，但是使用的方法有所不同，北师大版更注重从生活现象探索数学的过程，人教版更注重用数学知识解释生活中的现象。例如，北大版利用木工画平行线的方法，引导学生探索平行线的判定，判定是学生从生活中自己探索发现的，而不是强加给自己的。而人教版是在探索完平行线的判定以后，让学生去解释木工画平行线的合理性，将数学知识融入现实生活中，服务于生活。前者重视让学生自己去探索新的知识和方法，通过老师引导升华为数学定理，而后者重视利用自己所学的知识，解释生活中的各种现象，用数学原理解决生活中的问题。
两教材在探索平行线的判定过程中，都使用了同位角、内错角和同旁内角的概念，但是使用的方法有所不同，北师大版更注重因探索的需要创造工具，而人教版更注重使用已有的工具探索新的问题。例如，北师大版在学习平行线的判定之前，没有学习同位角、内错角和同旁内角的概念，而是为了方便探索平行线的判定，给有相应位置特征的角起个名字，是在探索中新发现的数学概念和工具。而人教版是在之前就学习了同位角、内错角和同旁内角的概念，而且在前面的习题中，引导学生，认识和区分这些角。在探索平行线的判定的时候，将这些角作为探索的工具，帮助学生探索平行线的判定。这些工具是为了探索新知而补充的知识。
两教材在这一课中，除了重点学习“平行线的判定”以外，还学习平行线的唯一性、传递性、木工画平行线、三角尺画平行线和垂直于同一直线的两直线平行，但是两本教材放“平行线的判定”的位置不相同。北师大版放在最前面，人教版放在后面。可以看出，北师大版更注重探索“平行线的判定”这个活动，其他的知识都是在探索的过程中发现的相关联的知识，因探索而生，优点是学生自己探索，思维比较发散，适合小组合作学习，体验探索的过程，更加深入地体会到数学。缺点是学生探索的难度较大，方向不明。人教版更注重不断探索，循序渐进，水到渠成。学生在探索“平行线的判定”这个活动之前，学习了很多铺垫的知识，同位角、内错角、同旁内角、平行线的唯一性和传递性和三角尺画平行线等等，最后使用这些知识，轻易地探索到了“平行线的判定”。优点是学生比较容易探索新知，符合学生认知过程。缺点是学生是按照老师设定好的路走，思维受限制，问题分散，不利于开展小组合作探究。
