关键词：三角变换；诱导公式；倍角公式
三角变换是高中数学的重要内容，是历年高考的必考内容，但也是学生们比较头疼的地方，总结起来原因有二。第一，三角公式繁多，记忆时容易出错；第二，即使公式都记住了，用公式解题时不知道该用哪一个公式。本文就针对学生学习时容易出现的问题，探讨怎样巧记活用三角公式进行三角变换。
一、把握公式规律，巧记公式
对三角公式的准确、熟练记忆是进行三角变换的前提，但是三角公式繁多：同角三角函数的基本关系式（8个）、诱导公式（36个）、两角和与差的三角函数公式（6个）、二倍角公式（5个），再加上各组公式的变形，总共有60多个公式。如何才能保证记忆时不出现错误呢？这就要求学生在记忆时不要死记硬背，而是要把握其中的规律，巧记公式。下面，介绍各组公式的记忆方法。
1. 同角三角函数的基本关系式
这组公式常称“三类八式”，即这八个公式分为三大类：平方关系、商数关系和倒数关系。八个公式可画一个六边形来记忆。
记法：①在最长对角线上的两个三角函数的乘积为1。如：tanα・cotα=1；②在3个倒三角形中，上面两个顶点的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方（中心点为1）。如：tan2α+1=sec2α；③任意一顶点上的三角函数值等于与之相邻的两个顶点的三角函数值的乘积。如：sinα=tanα・cosα.
2. 诱导公式
诱导公式看似很多，其实可以概括为一句口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。诱导公式左边的角可统一写成k・±α(k∈Z)的形式，当为奇数时，等号右边的三角函数名称与左边的三角函数名称正余互变，当k为偶数时，等号右边的三角函数名称与左边一样；而公式右边的三角函数之前的符号，则把α当做锐角，k・±α为第几象限，以及左边的三角函数之前的符号即为公式右边的符号。
3. 两角和与差的三角函数公式
这6个公式可分为三组，故可分为三组来记忆。每一组的特征都很明显：两角和（差）的余弦：余余、正正、符号异；两角和（差）的正弦：正余、余正、符号同；两角和（差）的正切：分子同，分母异。
4. 二倍角公式
其实，二倍角公式是两角和的三角函数公式当两角相等时的特殊情况。把握住这点，记住两角和的三角函数公式，二倍角公式自然就记住了。有规律有方法地巧记公式，有事半功倍的效果。
二、总结题型规律，活用公式
记 住了三角公式，如果不了解三角变换的提醒规律，也很难去用公式解题。三角变换题目虽然很多，但是也是有规律可循的，大致可以分为以下几类。
1. 角的变换
进行角的变换常用的公式有诱导公式、两角和（差）公式和二倍角公式。因此，题目当中需要化角时就要想到用这些公式，而不是往别的公式上去套。例1：已知α、β为锐角，且sinα=，cos(α+β)=-，求sinβ的值。解析：此题就需要用到角的变换β=(α+β)-α，然后两边取正弦，右边用两角差的正弦公式展开即可。
2. 函数名称的变换
一般是切割化弦或弦化切割，常用公式为同角三角关系式中的倒数关系式和商数关系式。例2：已知tanα=3，求的值。解析：已知正切的值，求关于正余弦的值，很显然只能采用公式tanα=。
3. 常数变换
在三角变换中，有时需要将常数化为三角函数值，比较常见的是“1的变换”，常见的变形有1=sin2α+cos2α=sec2α-tan2α=cot2α-
sos2α。例3: 若2k?仔-≤α≤2k?仔+(k∈Z)，则+的化简结果为( )。解析：巧用常数1的变换：1=sin2α+cos2α，则1-2sinαcosα= sin2α+cos2α-2sinαcosα=(sinα-cosα)2，同理，1+2sinαcosα=(sinα+cosα)2，再结合角的范围开方即可。
4. 幂的变换
降幂是三角函数变换时常用的方法，对次数较高的三角函数公式一般采用降幂处理方法，常用的降幂公式有：二倍角公式的逆用和同角三角函数平方关系式，降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式常用升幂处理变成有理式。例4：化简cos8x-sin8x+ sin2x・sin4x。解析：本题中三角函数的次数较高，需要从降幂入手进行化简，先后用到平方差公式，二倍角公式和sin2α+cos2α =1。
总之，三角变换题目比较灵活，其解法也千变万化，没有固定的、唯一的解法。所以，在解题时，应根据题目的特点确定解题方法和变换技巧，再选择有关公式，千万不能对公式生搬硬套。如果在学习过程中多归纳、多总结，注意分析题目的结构及发现其规律，则可以结合所学的知识迎刃而解了。
参考文献：
[1]王红霞.三角恒等变换的常用方法与技巧[J].新高考,2010(2).
【关键词】三角函数；化简；求值；图像；性质；应用
三角函数是高考的热点和重点，每年都会在主观题和客观题上出现它的身影。三角函数具有一般函数的性质，还具有自己独特的特性――周期性和对称性，使其产生并可以解决的问题内容多样、丰富多彩。在每年的高考中，围绕三角函数的考题具有新意，给人新颖的感觉，这已经成为了高考命题的热点。下面就三角函数在高考中如何考，谈谈自己的几点看法：
一、三角函数的化简、求值、求最值
三角函数式的化简、求值及求最值是高考考查的重点内容之一 通过三角函数学习使学生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，优化学生的解题效果，做到事半功倍。
求值问题的基本类型及方法：①“给角求值”一般所给的角都是非特殊角，解题时应该仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，通常是将非特殊角转化为特殊角或相互抵消等方法进行求解；②“给值求值”即给出某些角的三角函数（式）的值，求另外的一些角的三角函数值，解题关键在于：变角，使其角相同；③“给值求角”关键也是：变角，把所求的角用含已知角的式子表示，由所求得的函数值结合该函数的单调区间求得角；④化简求值。
.
三角函数的化简、求值及求最值的难点在于：众多的公式的灵活运用和解题突破口的选择，认真分析所给式子的整体结构，分析各个三角函数及角的相互关系是灵活选用公式的基础，是恰当寻找解题思维起点的关键所在。
二、三角形中的三角函数，即解三角形
分析近几年的高考试卷，有关解三角形的问题几乎是每年必考内容.试题主要是考查正、余弦定理及其变式或推论的内容及简单应用。解三角形的关键是在转化与化归的数学思想的指导下，正确、灵活地运用正弦、余弦定理、三角形的面积公式及三角形内角和等公式定理。
评注：三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现。这类题型难度比较低，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变。解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化。
三、三角函数与其他知识交汇的设计题和应用题
此类问题主要考查与三角函数有关学科内综合问题，如与平面向量、不等式、数列、解析几何等相结合，多为解答题，考查三角函数实际应用。对待应用题没有什么通解通法，只要认真读题、审题，合理分析已知量间的关系，总是能够解决问题。解决三角应用题的关键是认真阅读题目，正确理解题意，运用所学知识建立适当的三角模型，准确无误的计算等，其基本步骤如下：
第一步，阅读理解，审清题意。读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字途径，理解叙述所反映的实际背景，在此基础上，分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题。
第二步，搜集整理数据，建立数学模型。根据搜集到的数据，找出变化规律，运用已掌握的三角知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为一个三角函数问题，实现问题的数学化，即建立三角函数模型。
第三步，利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予解答，求得结果。
第四步，将所得结论转译成实际问题的答案。
关键词：高中数学；三角函数；体会
在高中三角函数的学习过程中有许多难点，但是通过仔细研究和学习，不难发现其中存在很多规律和技巧，掌握了这些规律和技巧，对牢固掌握三角函数有很大的帮助，能更好地解决学习过程中遇到的难题。
1.在三角函数解题过程中要对已知条件进行分析，明确不同变量间的关系，通过关系互化使题目由繁到简，解题思路更加清晰。如例1所示。
2.在三角函数中类似求定义域相关的题型，需要考虑到题目中所涉及的三角函数的周期规律，可以利用三角函数绘图的方法，对最终的结果进行全面的考虑分析。如例2所示：
【例2】 求函数y=的定义域。
分析：首先要确定本题为典型的确定三角函数定义域类问题，在解题过程中应根据题目所给的已知条件一步一步求解问题，切记不能丢解、漏解，这是我们在解答此类题型时必须考虑的方面。
根据题意可以判断2sinx+1≥0，可以求解出x值的区间，这是将已知条件应用于被求对象中的过程，再据正弦函数本身周期性规律，可以进一步提升解题准确性。解题步骤如下：
解：由已知条件我们可以得出2sinx+1≥0，从而可解sinx≥-，我们可以先求解出在一周期内的区间[-，]，由于正弦函数的周期性，我们要在所求区间加上2kπ（k∈Z）即可，所以本题的最终答案为[2kπ-，2kπ+]（k∈Z）。
可见，在高中三角函数解题过程中，要将三角函数数值与图形之间建立密切的关系，通过图形判断三角函数的正负，然后结合规律进行解题。
3.关于“托底”方法的应用
在三角函数的化简计算或证明题中，往往需要把式子添加分母，常用在需把含tgα（或ctgα）与含sinα（或cosα）的式子互化中，本文把这种添配分母的方法叫做“托底”法。方法如下：
【例3】 已知：tgα=3，求的值。
分析：由于tgα=，带有分母cosα，因此，可把原式分子、分母各项除以cosα，造出tgα，即托出底：cosα。
解：由于tgα=3?α≠kπ+?cosα≠0
故，原式====0
综上所述，三角函数虽然题型并不相同，但在解题中运用三角函数的解题规律和技巧，对典型题进行总结和分析，掌握三角函数内容也不是难事。
参考文献：
[1]刘博，郑利双.高中数学三角函数的W习心得[J].高考（综合版），2015（12）：231.
关键词：直角三角形；边角关系
中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2013）04-244-01
直角三角形的边角关系，在现实世界中应用非常广泛。而锐角的三角函数在解决实际问题中有着重要的作用，如测量距离、角度、高度等问题，特殊角30度、45度、60度角的三角函数值也是经常用到的，但许多学生在应用这些特殊角的三角函数值解决问题时，却总是出现记忆不牢靠或者张冠李戴的现象，如何让学生牢固并熟练掌握这些特殊角的三角函数值呢？我觉得可以从以下几个方面去加强。
一、引入图形，让学生建立清晰的第一印象
由于含30度、45度、60度的直角三角形三边之间有着特殊比例关系，因此，教学时为了便于学生理解和记忆，可以根据含这些特殊角的三角形的边角之间的关系，画出相应的图形，如30度角所对的直角边，所临的直角边，斜边之比为1∶√3∶2，含45度角的直角三角形三边之比为1∶1∶√2，让学生自己独立完成这几个特殊角的三角函数值的求值过程，学生根据定义，便可得到各角的三角函数值，学生经历了特殊角的三角函数值的求值过程，由于图形的直观作用，必然会产生清晰的第一印象，方便了记忆。
二、利用三角函数的增减规律进行记忆
在直角三角形中，当锐角的度数一旦确定，它对应的正弦值、余弦值、正切值也随之确定，当锐角的度数发生变化，它的正弦值、余弦值、正切值也随之发生变化，为了帮助学生探索并理解随着锐角度数的增大或减小，它对应的正弦值、余弦值、正切值变化的规律，可设计有公共锐角顶点且一直角边有重叠，以及斜边相等的一系列直角三角形，通过图形，学生会直观的感受到，当锐角的度数逐渐增大，它所对的直角边也随之增大，它所邻的直角边则随之减小，所以会很自然地得出结论，正弦值随锐角的增大而增大，余弦值随锐角的增大而减小，正切值随锐角的增大而增大，用锐角三角函数的增减性，学生记忆这几个特殊角的三角函数值就会容易许多。
三、寻找数字规律巧妙记忆
在记忆30度、45度、60度角的三角函数值时，可引导学生通过比较，寻找数字规律，巧妙记忆，如30度、45度、60度角的正弦值分母都是2，而分子依次对应为：1即√1，√2，√3，而余弦值分子则分别是√3，√2，√1即1，分母也都是2。
四、利用互余两角正弦和余弦之间的关系，及同角三角函数之间的关系，通过比较与联系记忆。
【关键词】三角函数；教学质量；知识体系；定义
在中学数学知识体系里，三角函数是重要的组成部分，对其他部分的知识的学习起着桥梁的作用.因此，采取科学的三角函数策略，提高数学教学质量，培养学生学习能力，值得我们不断探索和思考.
一、三角函数教学问题分析
学生由于知识结构和认知能力的差异，对三角函数的概念和性质的理解也存在着很大的差异.部分学生对三角函数的概念和性质理解不透，对三角函数的对应关系不够清楚，只能简单地运用三角函数的图像解决一些比较简单的问题，这就严重偏离了“新课标”关于提高学生数学能力的要求，直接影响和制约着三角函数的课堂教学质量和效果的提高.
二、如何采取科学的三角函数策略提高数学教学质量
（一）阐明三角函数定义，为后续教学奠定基础
1我们可以启发学生把角规范地设定在平面直角坐标系中，进而运用坐标工具解析角的内在规律；启发学生主动地讨论和交流角α终边所在的各种位置情况和角的范围的表示，以及一些终边相同的角的表示方法.
2讲好基础，阐述定义做好铺垫：在角α的终边上任取异于原点O的一点P（x，y），|OP|=r.在这里主要是鼓励学生多讨论，然后得出结论：六个比值xr，yr，yx，rx，ry，xy均与P在角α终边上的位置没有关系，只是取决于角α的大小，随着α的变大而变大，随着α的变小而变小.
3牢牢把握定义进行判断，记忆三角函数值正负符号：sinα=yr，符号只由y决定.可以编成口诀：上正下负横轴零(按象限依次记作+，+，-，-)；cosα=xr，符号只由x决定，口诀：左负右正纵轴零(+，-，-，+)；tanα=yx，同号得正异号得负，口诀：交叉正负(+，-，+，-)……符号判断是诱导公式的重要基础部分，记住了定义同时就很容易记住正负号的变化，熟知了定义也就很快知道了正负号.
（二）适时拓展延伸知识点，激发学生的学习兴趣
在三角函数的教学过程中，学生的注意力和对本知识点的兴趣与他们对该节课的教学内容的理解程度有很大的关系.学生的学习兴趣提高了，我们的教学活动就能更顺利地开展，教学质量也就自然而然地得到提高.因此，我们在教学中不但要注意对三角函数基本概念和性质的阐述，还要突出教学内容的生动性，适时拓展延伸知识点，激发学生的学习兴趣.
例如，由于角的集合与实数集之间能够建立相互对应的关系，我们就可以把三角函数看做是以实数为自变量的函数，如sinα＝yr，不管α取任何实数，yr恒有意义，所以sinα的定义域为｛α|α∈R｝.同样，研究cosα，tanα，cotα的定义域；根据三角函数的定义以及x，y，r在不同象限内的符号，研究sinα，cosα，tanα，cotα的值在各个象限的符号.
例1计算下列各组角的函数值，同时归纳和总结出一般性的规律.
（1）sin30°，sin390°.（2）cos45°，cos（-315°）.
（3）tan2π3，tan-4π3.
规律：终边相同的角有相同的三角函数值.
即sin（α＋k・360°）＝sinα， cos（α＋k・360°）＝cosα，
tan（α＋k・360°）＝tanα，（k∈Z）.
（三）加强学生抽象分析与综合训练
从三角函数的教学特点来讲，我们还必须通过加强综合训练的方式进一步学生抽象分析能力的提高.
例如，在三角函数的实际教学中，我们应当让学生充分认识到要将三角函数如sin看做是整体概念，而非仅仅只是一个运算符号，进而为学生在推导和变形三角函数公式时奠定基础，达到真正理解三角函数基本概念和性质的目标.
例2求函数f(x)=cos2x+2asinx-1(0≤x≤2π，a∈R)的最大值和最小值.
解析f(x)=cos2x+2asinx-1=-sin2x+2asinx，设sinx=t，-1≤t≤1，则f(x)=F(t)=-t2+2at=-(t-a)2+a2，（-1≤t≤1）.
(1)a
f(x)max=f(t)max=F(-1)=-1-2a，
f(x)min=F(t)min=F(1)=-1+2a；
(2)-1≤a
f(x)min=F(t)min=F(1)=-1+2a；
(3)0≤a≤1时，f(x)max=f(t)max=F(a)=a2，
F(t)min=F(1)=-1+2a；
(4)a>0时，f(t)在［-1，1］上为增函数，f(x)max=f(t)max=F(1)=-1+2a，
f(x)min=F(t)min=F(-1)=-1-2a.
三、结语
三角函数是中学数学教学和学习中的重要内容.中学数学新课标中课堂教学要求教师在课堂教学中要突出学生的主体地位，由于教师教学风格各异及教学对象不同，新课标下的三角函数教学就成为一个极有挑战性的课题.因此，需要我们在教学中重视学生的知识结构和认知水平，结合三角函数的性质和规律，对教学活动进行合理地、科学地安排，从而有效地提高数学教学质量.
【参考文献】
［1］吕彩霞.三角函数线在解题中的应用［J］.中学生数学，2011（6）.
关键词：问题串；任意角；三角函数；定义域；符号
在教学工作中，笔者参加了学校组织的一次省公开课教学展示活动，在这次课堂教学活动中，以苏教版《数学》必修4第一章第一节1.2.1“任意角的三角函数”第一课时为课题上了一节基于“问题串”的数学概念生成课，既有值得肯定的地方也有自我感觉不足的地方. 本文笔者将概述本课的教学过程实录，并附以自己的一些教学随想，以期专家同行的不吝赐教.
[?] 教学过程实录
1. 创设情境，引入课题
教师：日出日落，寒来暑往……自然界中有许多“按一定规律周而复始”的现象，一个简单又基本的例子便是“圆周上一点的运动”. 你能举出生活中的一些例子吗？
学生：钟表，摩天轮，自行车的轮胎……
教师：很好！刚才这位同学讲到了摩天轮. 问题1：摩天轮上一点P在转动过程中，引起了角度α和弧长l的变化，你能说出α、r、 l之间的关系吗？
学生：l=αr.
教师：这里产生了一个角α，从初中角度看是什么角？
学生：锐角.
教师：初中学过锐角三角函数，是在什么图形中研究锐角三角函数的？
学生：直角三角形.
教师：问题2：你能回忆一下初中里学过的锐角三角函数（正弦，余弦，正切）的定义吗？
学生：……
教师：问题3：前面我们是如何来研究角的？
学生：通过建立直角坐标系的方法来研究角的.
教学随想：著名教育家杜威说过：“最好的一种教学，牢牢记住学校教材和实际经验二者相互联系的必要性，使学生养成一种态度，习惯于寻找这两方面的接触点和相互的关系”. 摩天轮是学生实际生活中接触到的东西，学生熟悉的问题情境可以激发学生浓厚的学习兴趣. 初中锐角三角函数是学生比较熟悉的数学内容，由浅导入，由熟知引入，慢慢引导学生顺理成章的接受新知识. 著名数学家华罗庚说过：“把一个比较复杂的问题“退”成最简单最原始的问题，把这最简单最原始的问题想通了，想透了，然后再来一个飞跃上升”. 这是一个十分精辟的思维方法，用这种方法解决问题，第一可以培养学生良好的心理素质，使之遇“新”不惧；第二可以使学生养成良好的解决问题的习惯.
2. 展开问题，探索新知
教师：因此我们也想到把上面这个图形放入直角坐标系里面来研究，在直角坐标系中，一个点对应着一个坐标. 问题4：你能根据锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，说出（r，α）与（x，y）之间的关系吗？（学生分组讨论）
学生：过点P做x轴的垂线，垂足为M，则OM=x，MP=y，记r=，则sinα=，cosα=，tanα=.
教师：非常好！这里x，y为点的横纵坐标，点P所在的射线可以看成角的终边，即锐角三角函数可以用锐角终边上点的坐标来表示.那么锐角终边上只有这一个点吗？
学生：有无数个.
教师：问题5：如果改变点P在终边上的位置，这三个比值会改变吗？（学生分组讨论思考）
学生：在角的终边上任意选取一点P′，作x轴的垂线，垂足为M′，则OMP∽OM′P′，
所以sinα==，cosα==，tanα==，即比值不变.
教师：非常好！用文字语言来概括就是锐角的三角函数值仅与锐角的大小有关，而与点在锐角的终边上的位置无关，并且满足sinα=，cosα=，tanα=，在这里借助于图形得到了比值的结论，也就是数的结论，体现了数形结合的数学思想.
教师：角的终边只有这一种可能吗？
学生：也可能在其他象限或坐标轴上.
教师：问题4：在平面直角坐标系中，我们已经将角由锐角推广到了任意角，那么锐角的三角函数能不能推广到任意角的三角函数呢？（学生思考，分组讨论，感觉问题难以回答）
教学随想：美国著名心理学家奥斯贝尔曾经说过：“如果不得不将教育心理还原为一条原理的话，我将会说，影响学习的最重要的原因是学生已经知道了什么，我们应当根据学生现有的知识状况去进行教学.” 遵循从“学生已经知道了什么”与“学生原有经验”出发进行教学，符合皮亚杰的“认识即是一种以主体已有的知识和经验为基础的主动的建构活动”的观点. 上述设计先让学生回顾初中所学内容，进而放到直角坐标系中去考虑，学生自然会想到作一条高，构造一个直角三角形，体现了化陌生为熟悉的化归思想和数形结合的数学思想.
3. 归纳提升，形成定义
教师：可能这个问题有些难度，为了回答这个问题，我们课本给出了任意角三角函数的定义，这就是我们今天要学习的第一个内容：任意角的三角函数的定义：
一般地，对任意角α，我们规定：
①比值叫做α的正弦，记作sinα，即sinα=；
②比值叫做α的余弦，记作cosα，即cosα=；
③比值叫做α的正切，记作tanα，即tanα=. （学生一起来朗读定义）
教师：大家读得很整齐，声音也很洪亮！任意角的三角函数是课本规定好的定义，但是在学习的时候，要有大胆的怀疑精神，这个定义合情合理吗？（学生分组讨论交流）
教师：锐角的三角函数满足这个定义吗？
学生：满足. 只是定义的一种特殊情况.
教师：这里由锐角的三角函数推广到了任意角的三角函数，体现了什么数学思想呢？
学生：特殊到一般的化归思想.
教师：也就是说与我们原有的知识没有产生矛盾，这个定义的发展合乎数学发展的一般规律，具有合理性. 再来看这个定义，自变量是谁？
学生：角度α.
教师：非常好！我们已经将角度与实数之间通过弧度制建立了一一对应关系，再来看函数值，是一个什么呢？
学生：比值.
教师：比值是一个数. 给你一个角度，根据我们刚才的分析，会对应着几个比值呢？
学生：一个.
教师：给定一个角度对应着唯一的比值，大家想起了前面学习的什么定义呢？
学生：函数的定义.
教师：函数的定义是对两个什么而言的？
学生：非空数集.
教师：这里也是两个非空数集，并且也满足对任意的自变量α，都有唯一的比值与之对应，因此，我们可以称它为函数，只不过这里我们再给它起一个规范的名字：三角函数.
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以终边上点的坐标的比值为函数值的函数.以上三种函数都称为三角函数.对于定义，给出三点说明：
（1）sinα，cosα，tanα分别叫角α的正弦函数、余弦函数、正切函数.以上三种函数都称为三角函数；
（2）正弦函数、余弦函数、正切函数都是以角为自变量，以比值为函数值的函数；
（3）sinα不是sin与α的乘积，而是一个比值；三角函数的记号是一个整体，离开自变量的sin，cos，tan等是没有意义的.
教学随想：在定义集体诵读时，使每位学生都亲身体会教学重点的内容精髓. 学生参与定义，不仅符合学生的口味，而且记忆深刻，还能享受发现的乐趣，有益于培养学生的创新思维. 其实，教材中有不少概念，可以让学生参与到定义建构的过程中，激发学生主动发现、提出问题，进而让学生“乐学”. 由锐角的三角函数到任意角的三角函数，体现了特殊到一般的化归思想，符合由特殊到一般、由直观到抽象的认知规律.
4. 应用新知，解决问题
例1 已知角α的终边经过点P（2，-3），求α的正弦、余弦、正切值.
教师：在这里给出点的坐标后，先写x，y的值，再求r的值，然后根据任意角三角函数的定义，采用定义法来求解. 我们再来看这里正弦是负的，余弦是正的，正切是负的，思考1：根据任意角三角函数的定义，如果不求值，能不能判断角的正弦、余弦和正切的符号呢？
学生：正弦函数值的符号与y的符号相同；余弦函数的符号与x的符号相同.
教师：非常棒！这就是我们今天学习的第二个内容：三角函数值在各象限的符号，我们再来分别看一下，第一象限全是正的，第二象限只有正弦是正的，第三象限只有正切是正的，第四象限只有余弦是正的，那么可以用一个口诀来概括：一全正，二正弦，三正切，四余弦.
思考2：若将点P的坐标改为（0，-4）呢？（学生分组讨论交流，教师对学生作品进行展示）
教师：是不是对任意角，它的正切都存在呢？
学生：不是！
教师：什么时候不存在？
学生：x=0时不存在.
教师：x=0时，点在哪里？
学生：y轴上.
教师：y轴上角的集合是什么呢？
学生：
α
α≠+kπ，k∈Z
.
教师：正弦，余弦都存在吗？
学生：都存在.
教师：这就是本节课学习的第三个内容：三角函数的定义域：y=sinα的定义域是R；y=cosα的定义域是R；y=tanα的定义域是
α
α≠+kπ，k∈Z
.
教学随想：三角函数的符号和定义域让学生通过问题自己去归纳总结，打破了传统意义上教师灌输的教学方式. 问题串的设计可以让更多的学生主动参与，适度的研讨可以促进生生交流以及培养团队精神，知识的生成和问题的解决可以让学生感受到成功的喜悦，缜密的思考可以培养学生独立思考的习惯，让学生在教师评价、学生评价以及自我评价的过程中体验知识的积累、探索能力的增长和思维品质的提高，为学生的可持续发展打下基础.
[?] 教学反思
“任意角的三角函数”第一节《标准》对其学习要求是： 掌握任意角三角函数的定义；已知角α终边上一点，会求角α的各个三角函数值；熟记三角函数的定义域；理解并掌握三角函数在各象限的符号. 本文基于“问题串”做教学设计，有以下一些方面值得反思：
1. 以生为本，对教材认真研读
德国教育家第斯多惠说过：教学必须符合人的天性及其发展的规律. 这是任何教学的首要的、最高的规律. 只教给学生最本质的、最主要的东西，才能切切实实地掌握这种教材，使它不可磨灭地铭记在学生的记忆里. 本文以教材为根本，以学生已有的生活经验和已有知识为背景进行导入学习，符合学生的认知发展规律.
2. 教无巨细，从学生角度理解问题
锐角的三角函数能不能推广到任意角的三角函数？是学生难以回答的一个问题，课本以规定的形式给出了定义，定义的合理性是本节课的一个讲解重点，让学生明白推广到任意角是有根据的，是符合事物发展规律的：即没有违反原有的法则，同时它也真真切切的是函数.既然是函数，就自然而然地想到函数的定义域等问题，因此本节课接下来讲解的内容就顺理成章了. 学源于思，思源于疑.小疑则小进，大疑则大进. 虽然课本是以定义形式给出的，但是我们还是要引导学生要有大胆怀疑的精神，树立良好的数学学习观.
3. 多媒体的使用，使学生容易直观形象的认识问题
【关键词】 恒等变换 给值求值 给角求值 给值求角 综合运用
【中图分类号】G424 【文献标识码】 A 【文章编号】 1006-5962(2012)06(a)-0143-02
三角恒等变换是高考的重点之一,要求掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式;高考对本部分内容的考点:一方面是简单的化简、求值,以客观题为主,难度一般不大,有时以向量为载体出现解答题;另一方面本节内容常作为数学工具常融合三角函数,这时要先对三角函数解析式进行化简、变形,再深入考查三角函数的图像和性质。还需说明一点的是“几个三角恒等式”及积化和差、和差化积公式和半角公式不要求记忆和运用,已经淡出高考范围。本文现从江苏和全国其他各省近几年的高考试卷中精选出一些典型考题与大家一起研讨高考中这部分内容的命题方向和考查方向,希望能起到一个抛砖引玉的效果。
1 高考命题热点一:给值求值问题。
【真题再现1】(2011年全国卷理科第14题)已知,,则
【解析】本题考查了同角三角函数的基本关系式与二倍角的正切公式的运用。
由已知得,则,所以。
规律小结:对于给值求值问题,即由给出的某些角的三角函数值求另外一些角的三角函数值,关键在于变角,使目标角变换成已知角,若角所在的象限没有确定则应分情况讨论,应注意这部分内容中公式的正用、逆用、变形利用,同时根据题目的结构特征,学会拆角、拼角等技巧,
如,等。
2 高考命题热点二:给角求值问题。
【真题再现2】(2006年江苏卷第14题)
【解析】本题考查了切割化弦、辅助角公式
,倍角正弦公式、降幂公式。原式
=
=
=。
规律小结:给角求值问题,一般给出的角都是非特殊角,从表面来看是很难的,但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定的关系。解题时要利用观察得到的关系,结合三角公式转化为特殊角并且消去非特殊角的三角函数而得到解,有时还要逆用、变用公式,同时结合辅助角公式和升幂、降幂公式等技巧。
3 高考命题热点三:给值求角问题。
【真题再现3】(2008年江苏卷第15题)如图,在平面直角坐标系中,以轴为始边做两个锐角,,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,已知A,B的横坐标分别为。(1)求的值;(2)求的值。
【解析】本题融合三角函数的定义,考查两角和的正切公式、二倍角的正切公式。由条件得,因为,为锐角,所以=,因此
(1),
(2),所以,因,为锐角则,故=
规律小结:给值求角问题,往往通过间接求出这个角的某个三角函数值,再得出这个角的大小,选取某个三角函数值时可按照下列原则:一般已知是角的正切函数值,则选所求角的正切函数值;已知条件是正弦、余弦函数值,则选所求角的正弦、余弦函数值皆可;若所求角的范围是,则选该角的正弦函数值较好;若所求角的范围是,则选该角的余弦函数值较好。解决给值求角问题分三步:第一步是求该角的某个三角函数值,第二步是确定该角所在的范围,第三步是根据角的范围写出所求的角。
4 高考命题热点四:三角恒等变换与其他数学知识的综合运用问题。
【真题再现4】(2011年重庆卷第16题)设,
,满足,求函数在上的最大值和最小值。
【解析】本题考查融合了三角函数的单调性和最值的性质,考查诱导公式、二倍角的正弦公式、降幂公式、公式
,又考查综合分析问题和解决问题的能力。由已知 ,由得,因此
;由及,解得增区间;由及,解得减区间,所以函数在上的最大值是;又因,则函数在上的最小值为。
【真题再现5】(2009年江苏卷第15题)设向量
,,。
(1)若与垂直,求的值;
(2)求的最大值;(3)若,求证:∥。
【解析】 本题主要考查融合向量的基本概念与向量平行,考查同角三角函数的基本关系式、
二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式,考查运算和证明得基本能力、综合分析问题和解
决问题的能力。
(1)由与垂直,,即
,。
(2)4,
,则的最大值是。
(3)由得,即,所以∥。
规律小结:三角恒等变换与其他数学知识的综合运用,大多以解答题的形式出现,它一方面融合平面向量知识考查化简、求值、证明恒等式,学生必须掌握好平面向量知识特别是数量积的运算才能顺利解答问题;另一方面三角恒等变换为数学解题工具,它往往融合三角函数考查三角函数的图像和性质(如周期性、单调性、值域、最值等),这类题突破的关键是能正确快速地对三角函数进行化简,化简的技巧和原则:①采用遇平方降幂的方法使式子的次数尽量低;②采用辅助角公式、切弦互化使式子的函数种类尽量少;③采用已知角表示未知角使式子的角的种类尽量少;④采用通分等变形技巧使式子结构尽量简单,同时还要注意角的范围及三角函数的正负。随着知识的深入还会更多的接触到三角恒等变换与解三角形(正弦、余弦定理)融合的题型。
5 高考的考查特点分析和方向预测。
上面就一些高考中的三角恒等变换知识进行了深入的分析,通观全国各省对三角恒等变换的考查,我们发现有以下特点:
(1)分文理科的地区,两科对三角恒等变换均有考查;文理试题的题目基本相同,难度区分不大。
(2)区分度问题:三角恒等变换部分不会出非常难的题目,一般都是以容易题、中档题出现。
（3）题型方面:全国各省在选择题和填空题中都有所考查,更侧重填空题;在解答题中考查但难度不大;全国各省高考大多数都是考一道填空题容易题和一道解答形式的中档题。
