关键词：中考；反比例函数；数学；解答技巧；问题探究
数学中反比例函数应用问题是中考的重难点，对于考生来说每次的解题都是一次新的挑战。作为数学教师应该重视数学中反比例函数应用问题，将这一章节列为重点讲解对象，精心设计教学目标，优化教学内容，多利用多媒体课件等方式，提高学生对反比例函数的认知，做起练习题来得心应手，不再让反比例函数应用问题成为中考的困扰。笔者根据自身多年的教学经验，对中考中的反比例函数应用问题进行探究，提出了以下三大方面的要求。
一、认真分析反比例函数的题意
学生要想掌握反比例函数解题技巧，轻松解题，首先要知道什么是反比例函数，它的应用目的又是什么，知己知彼才能百战不殆。函数分为正比例函数和反比例函数，y=k/x（k为常数且k≠0）的函数，叫做反比例函数，并且自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。因此，学生在解反比例函数应用问题时，应该认真仔细地分析题目要求，理清题中的函数关系，将文字语言转化为数学语言，然后再根据实际问题解决反比例函数应用问题。
二、注意反比例函数与方程联系
学生通过教师对反比例函数的讲解，已经能初步掌握反比例函数，但是学生对应用题解答上还是存在一定的困难。对此，教师还需要对学生进行引导，使他们将反比例函数与方程联系起来，利用函数解决实际问题。反比例函数与方程的结合，大大降低了难度系数，学生的自信心得以增加，进一步激发了学生解决问题的积极性。
三、注重反比例函数的数形结合思想
数形结合思想为反比例函数问题的解决创造了条件，也为开发学生思维能力提供了机会。在处理“数”的问题时，要有转化为“形”的意识，用“形”直观引发出直觉，从而定位解题方向。反比例函数的数形结合思想，可以使问题化繁为简，从而达到事半功倍的效果，让学生真正掌握解题技巧。
总之，学生只要重视反比例函数应用问题，掌握问题解答的技巧，在中考数学中碰见此类型题时就能快速解答，既省时间又能得高分，并且能为今后学次函数知识奠定基础。
——谈反比例函数基础知识的应用
江苏省泰州市九龙实验学校 陈建（225300）
一、反比例函数的基础知识
1．一般地，形如y=(k为常数,k≠0)的函数称为反比例函数,其中x是自变量,y是函数,k是比例系数.
2.函数的解析式的特征:①等号左边是函数y,等号右边是一个分式,分子是常数k,分母中含有自变量x,且x的指数是1.②自变量x的取值范围是x≠0的一切实数.③比例系数“k≠0”是反比例函数定义的一个重要组成部分.④函数y的取值范围也是一切非0的实数.
3.反比例函数的几种等价形式：y=;y=kx-1;xy=k.(k≠0)
4.用待定系数法，求反比例函数的解析式：反比例函数 （且k为常数）中，只有一个待定系数，因此只需一对对应值就可求出k的值，从而确定其解析式.
5.反比例函数y=( k为常数,k≠0)图象是双曲线.(既是轴对称图形,又是中心对称图形)
6.反比例函数图象的性质：当k>0时,双曲线位于第一,三象限,在每个象限内,曲线从左向右下降,因而y随x的增大而减小;当k<0时,双曲线位于第二,四象限,在每个象限内,曲线从左向右上升,因而y随x的增大而增大.双曲线与x轴,y轴都没有交点,而是越来越接近x轴,y轴.
7.比例系数k的几何意义:反比例函数中比例系数k的几何意义,如果过双曲线上任意一点引x轴,y轴垂线,与两坐标轴围成的矩形面积为|k|.
二、反比例函数基础知识的应用
例1． 已知 是反比例函数
（1） 求它的解析式.
（2） 求自变量 的取值范围，在每个象限内， 随 的增大而怎样变化？
（3） 它的图象位于哪个象限？
分析： （k≠0）叫反比例函数，也可以写成 ，因此，它的特点是（1）k≠0，（2）x的指数为-1.
解：（1）由题意得 ， ，解析式为
（2）自变量 的取值范围是 .
（3）由于 ，它的图象位于二、四象限；在每个象限内， 随 的增大而增大.
O
A
O
O
B
O
O
C
O
O
D
O
例2、在同一坐标系中，函数 和 的图像大致是 （ ）
分析：本题是考查含有字母系数的几个函数在同一坐标系中的图象，分 和 两种情况进行讨论，选A.
例3、如右图，在 的图象上有两点A、C，
过这两点分别向x轴引垂线，交x轴于B、D两点，
连结OA、OC，记ABO、CDO的面积为 ，
则 与 的大小关系是( )
A. B. C. D.不确定
分析：由基础知识7知 ，故选C.
例4．已知反比例函数 的图像上有两点A( ， )，B( ， )， 且 ，则 的值是（ ）
A、正数 B、负数 C、非正数 D、不能确定
分析：由 可分为 ，易得 ，故选D.特别要注意反比例函数的增减性是对每一支曲线而言.
例5．如图是三个反比例函数 ， ， 在x轴上方的图象，由此观察得到 、 、 的大小关系为（ ）
A、 B、
C、 D、
分析：根据图象所在的象限，知 ，取 得 ，即 ，故选B.
例6．在矩形ABCD中AB=3，BC=4，P是BC边上与B点不重合的任意点，PA=x，D点到PA的距离为y，求y与x之间的函数关系式，并画出函数的图像以及自变量x的取值范围.
D
B
A
E
C
P
解：如图，由题意（1）∠DEA=∠ABP，∠1=∠2，DEA∽ABP，
即
(2) P在BC上,与B不重合,可以与C重合
, .
(3)由于函数自变量的取值范围是3<x≤5，所以y对应的取值范围是 ，因此图像只是一段曲线 , 其中不包括（3，4）而包括（5， ）.(图略)
例7.已知一个函数具有以下条件：（1）该图象经过第四象限；（2）当 时， y随x的增大而增大；（3）该函数图象不经过原点.请写出一个符合上述条件的函数关系式： .
分析:这是一道开放题,必须非常熟悉函数的图象和性质,才能解决问题.符合上述条件的函数关系式为 .
例8、某自来水公司计划新建一个容积为40000 的长方形蓄水池.
（1）蓄水池的底面积S（ ）与其深度h（m）有怎样的函数关系？
（2）如果蓄水池的深度设计为5m，那么蓄水池的底面积应为多少平方米？
（3）由于绿化以及辅助用地的需要，经过实地测量，蓄水池的长和宽最多能分别设计为100m和60m，那么蓄水池的深度至少达到多少才能满足要求？（保留两位小数）
一、拓展定义，完善概念
教师不是简单地将概念“抛”给学生，而要引导学生在积极思维讨论、主动合作探究的基础上通过归纳形成概念，并通过简单的习题训练不断拓展，引导学生抓住概念的本质。笔者在反比函数教学中引入定义时，向学生介绍其基本形式为：y=■（k≠0），或y=kx-1（k≠0），但学生对反比例函数概念的认识尚处于表象，教师适时将定义变式，设计几个变式题目来强化概念。
变式1：若函数y=（m-2）x|m|-3是反比例函数，则m的值为（ ）
A、m=-2 B、m=2 C、m=2或-2 D、m=3或-3
本题变式旨在让学生由反比例函数定义，一个函数满足是反比例函数的必备要件分别是k≠0、x的指数为-1。
变式2：如果函数y=kxk■-10是一个反比例函数，求k的值和反比例函数的表达式。
二、 数形结合，化繁为简
反函数教学要改变数、形彼此“两边飞”的现状，要将数与形完美结合，从而兼具“数”的关系和“形”的直观，在面积计算、比例大小等内容教学中要利用其图象特点，将复杂的问题简单化。
题源：若函数y=■的图象经过点（-2，6），则下列各点中不在y=■图象上的是（ ）。
A、（3，4） B、（2，-6）
C、（3，-4） D、（-3，4）
变式1：如右图所示，点A是反比例函数图象上一点，过A作ABx轴于B，若SAOB=5，则解析式为 。
通过观察图象可知，双曲线上任一点引x轴（或y轴垂线），该点与垂足、原点所构成的三角形面积是定值，
即SAOB=■k。
变式2：已知一次函数y=ax+b与反比例函数y=■的图象交于点A与B。（1）请利用给定的条件，求一次函数与反比例函数的解析式；（2）根据图象写出ax+b>■时x的取值范围。
本题旨在要求学生利用反比例函数与一次函数的交点来求不等式的解集。通过观察不难发现，一次函数图象在反比例函数上方时，一次函数值大于反比例函数值，即x
三、挖掘性质，探索规律
函数作为初中代数教学的重点内容，学生往往被其若干个性质搞得头昏脑胀。教师要通过变式练习，引领学生深入挖掘函数的性质，探索其内在的规律，才能使学生在解决问题时应对自如。
题源：若点A（x1，y1）和B（x2，y2）在反比例函数图象上，且x1
学生根据k>0确定反比例函数图象分布在一、三象限，在同一象限内，y随x的增大而减少，容易得出结论y1
变式：若点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）分别在反比例函数的图象上，且x1
四、关注社会，联系生活
数学源于生活，服务于生活。数学教学应根植于社会生活实际，从生活中搜索数学素材，精心编制习题，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，培养学生的数学应用意识。
题源：已知点M（-1，4）在反比例函数y=kx-1（k≠0）图象上，则k的值是 。
变式1：在温度不变的条件下，一定质量的气体的压强p与它的体积V成反比例。当p=50时，V=600，则当p=40时，V= 。
变式2：某学校为响应政府发出的全民健身的号召，打算在长24m、宽12m的矩形大礼堂内修建一个60m2的矩形健身房ABCD，该健身房的四面墙壁有两侧沿用大厅的旧墙壁。已知装修旧墙壁的费用为60元/平方米，新建（含装修）的费用为240元/平方米。设健身房的高为3米，一面旧壁AB的长为x米，修建健身房的总投入为y元。
（1）求y与x的函数关系式；
（2）为合理利用大厅，要求自变量x满足7≤x≤14。当投入资金为14400元时，问利用旧墙壁的总长度为多少米？
——谈反比例函数基础知识的应用
江苏省泰州市九龙实验学校 陈建（225300）
一、反比例函数的基础知识
1．一般地，形如y=(k为常数,k≠0)的函数称为反比例函数,其中x是自变量,y是函数,k是比例系数.
2.函数的解析式的特征:①等号左边是函数y,等号右边是一个分式,分子是常数k,分母中含有自变量x,且x的指数是1.②自变量x的取值范围是x≠0的一切实数.③比例系数“k≠0”是反比例函数定义的一个重要组成部分.④函数y的取值范围也是一切非0的实数.
3.反比例函数的几种等价形式：y=;y=kx-1;xy=k.(k≠0)
4.用待定系数法，求反比例函数的解析式：反比例函数（且k为常数）中，只有一个待定系数，因此只需一对对应值就可求出k的值，从而确定其解析式.
5.反比例函数y=( k为常数,k≠0)图象是双曲线.(既是轴对称图形,又是中心对称图形)
6.反比例函数图象的性质：当k>0时,双曲线位于第一,三象限,在每个象限内,曲线从左向右下降,因而y随x的增大而减小;当k<0时,双曲线位于第二,四象限,在每个象限内,曲线从左向右上升,因而y随x的增大而增大.双曲线与x轴,y轴都没有交点,而是越来越接近x轴,y轴.
7.比例系数k的几何意义:反比例函数中比例系数k的几何意义,如果过双曲线上任意一点引x轴,y轴垂线,与两坐标轴围成的矩形面积为|k|.
二、反比例函数基础知识的应用
例1． 已知是反比例函数
（1） 求它的解析式.
（2） 求自变量的取值范围，在每个象限内，随的增大而怎样变化？
（3） 它的图象位于哪个象限？
分析：（k≠0）叫反比例函数，也可以写成
，因此，它的特点是（1）k≠0，（2）x的指数为-1. 解：（1）由题意得，，解析式为
（2）自变量的取值范围是.
（3）由于，它的图象位于二、四象限；在每个象限内，随的增大而增大.
O
A
O
O
B
O
O
C
O
O
D
O
例2、在同一坐标系中，函数和的图像大致是 （ ）
分析：本题是考查含有字母系数的几个函数在同一坐标系中的图象，分
和两种情况进行讨论，选A.例3、如右图，在的图象上有两点A、C，
过这两点分别向x轴引垂线，交x轴于B、D两点，
连结OA、OC，记ABO、CDO的面积为，
则与的大小关系是( )
A. B. C. D.不确定
分析：由基础知识7知，故选C.
例4．已知反比例函数的图像上有两点A(，)，B(
，)， 且，则的值是（ ）A、正数 B、负数 C、非正数 D、不能确定
分析：由可分为，易得，故选D.特别要注意反比例函数的增减性是对每一支曲线而言.
例5．如图是三个反比例函数，，在x轴上方的图象，由此观察得到、
、的大小关系为（ ）A、 B、
C、 D、
分析：根据图象所在的象限，知，取得，即，故选B.
例6．在矩形ABCD中AB=3，BC=4，P是BC边上与B点不重合的任意点，PA=x，D点到PA的距离为y，求y与x之间的函数关系式，并画出函数的图像以及自变量x的取值范围.
D
B
A
E
C
P
解：如图，由题意（1）∠DEA=∠ABP，∠1=∠2，DEA∽ABP，即
(2)P在BC上,与B不重合,可以与C重合
,.
(3)由于函数自变量的取值范围是3，因此图像只是一段曲线 , 其中不包括（3，4）而包括（5， ）.(图略)
例7.已知一个函数具有以下条件：（1）该图象经过第四象限；（2）当时， y随x的增大而增大；（3）该函数图象不经过原点.请写出一个符合上述条件的函数关系式：.
分析:这是一道开放题,必须非常熟悉函数的图象和性质,才能解决问题.符合上述条件的函数关系式为
.例8、某自来水公司计划新建一个容积为40000的长方形蓄水池.
（1）蓄水池的底面积S（）与其深度h（m）有怎样的函数关系？
（2）如果蓄水池的深度设计为5m，那么蓄水池的底面积应为多少平方米？
（3）由于绿化以及辅助用地的需要，经过实地测量，蓄水池的长和宽最多能分别设计为100m和60m，那么蓄水池的深度至少达到多少才能满足要求？（保留两位小数）
一、识图
学会认识题目中的图形,使解题思路清楚,将题目“清晰化”
例1(漳州)矩形面积为4,它的长 与宽 之间的函数关系用图象大致可表示为()
解析:由题意xy=4,即y是x的反比例函数,图象B和C都是反比例函数图象,但图象B的自变量取值范围是x>0,选B。
例2 (兰州) 如图,在直角坐标系中,点A是 轴正半轴上的一个定点,点B是双曲线y= (x>0)上的一个动点,当点B的横坐标逐渐增大时,OAB的面积将会()。
A.逐渐增大 B.不变
C.逐渐减小 D.先增大后减小
解析:双曲线无限靠近坐标轴但与坐标轴不相交,在第一象限内当点B的横坐标逐渐增大时,点B到x轴的距离越来越小,所以OAB的面积将会逐渐减小。选C。
点悟:识图是学习函数图象的基础,“点动成线”即图象是由满足某个条件的无数个点组成的,而这些点的横坐标、纵坐标分别代表着函数的两个变量,因此函数的变化可以通过点的变化形成的图象直观地反映出来。
二、想图
无图想图,把数和形有机地结合起来,将题目“明朗化”
例3 (扬州) 函数y= 的图象与直线 没有交点,那么k的取值范围是( )。
A.k>1 B.k―1 D.k
解析:由解析式想图象,直线y=x经过一、三象限,而函数y=的图象是双曲线,它又与直线无交点,那么双曲线只能在二、四象限,得1-k
例4 (东营) 已知点M (-2,3)在双曲线y= 上,则下列各点一定在该双曲线上的是( )。
A.(3,-2) B.(-2,-3) C.(2,3) D.(3,2)
解析:第二象限的点 M (-2,3 )在双曲线y= 上,可知双曲线在二、四象限,题中四个点只有A在第四象限,因此选A。
点悟:研究函数离不开图象,当题目中没有图象时,要能根据条件充分地想象,把“数”转化为“形”,以形助数,从而得到解决问题的方法。
三、画图
作出符合题意的图象,将题目“直观化”。
例5 (内江) 若A(a,b),B(a-2,c)两点均在函数y= 的图象上,且a
A.b>c B.b
C.b=c D.无法判断
解析:k=1>0,所以图象在一、三象限,又a
例6 (梧州)已知点A(x1,y1)、B(x2,y2)是反比例函数y=
(k>0)图象上的两点,若x1
A.y1
解析:k>0,所以图象在一、三象限,又x1
点悟:把数转化成形,并能画出函数图象是学习函数的基本要求之一,通过画出图象使题目直观化,这样能更好地分析函数性质,加深对数量关系的认识,有利于探求解题的途径。
四、用图利用图象的桥梁作用,把性质和解析式联系起来,将题目“互动化”
例7 (黄石) 如图所示,正比例函数与反比例函数的图象相交于A、B两点,分别以A、B两点为圆心,画与 轴相切的两个圆,若点A的坐标为(2,1),则图中两个阴影部分面积的和是 。
解析:因为反比例函数图象关于原点的中心对称图形,所以A、B两点是对称点,那么整个图形是中心对称图形,得两圆的阴影部分可拼成一个圆,半径为1,所以两个阴影部分面积的和为π。
例8 (铁岭)如图所示,反比例函数y1与正比例函数y2的图象的一个交点坐标是A(2,1),若y2>y1>0,则x的取值范围在数轴上表示为()。
一、利用特殊四边形的性质找到在反比例函数图像上的顶点坐标确定反比例函数的解析式
例1.如图1，菱形的顶点在轴上，顶点C的坐标为（-3，2）．若反比例函数y=■（x＞0）的图像经过点A，则K的值为（）
A.-6. B.-3.C.3.D.6.
解析：如图1，因为菱形的两条对角线互相垂直平分，又在轴上，所以顶点C、A关于轴对称，已知C的坐标为（-3，2），所以A的坐标为（3，2）.
反比例函数y=■（x＞0）的图像经过点A，则K=3×2=6，故选D.
二、根据反比例函数比例系数的几何意义探究特殊四边形的面积
例2.如图2，点A是反比例函数y=-■（x＜0）的图像上的一点，过点A作ABCD，使点B、C在x轴上，点D在y轴上，则ABCD的面积为（）
A.1B.3
C.6D.12
分析：过点A作AEOB于点E，容易证明ABE≌DCO.
所以平行四边形ABCD的面积等于矩形ADOE的面积等于AD×AE.
根据反比例函数的k的几何意义可得：矩形ADOE的面积为6，即可得平行四边形ABCD的面积为6．故选C．
例3.如图3，点A是反比例函数y=■(x＞0)的图像上任意一点，AB∥x轴交反比例函数y=－■ 的图像于点B.以AB为边作ABCD，其中C、D在x轴上，则SABCD为()
A．2 B．3
C．4 D．5
分析：分别过点B、A作BECD于E，AFCD于F，因为AB∥x轴，所以BE=AF.四边形ABCD为平行四边形，所以BC=AD，所以BCE≌AFD(HL).所以SABCD=SABEF=SBGOE+SAGOF=2+|-3|=5，故选D.
评注：例2、3都考查反比例函数系数k的几何意义：反比例函数图像上的点向两坐标轴作垂线段，围成矩形的面积就是｜k｜,图像在一、三象限，k取正；在二、四象限，k取负.
三、以点的坐标为载体设计规律探究问题
例4.给出下列命题：
命题1：直线y=x与双曲线有一个交点是（1，1）；
命题2：直线y=8x与双曲线y=■有一个交点是（■，4）；
命题3：直线y=27x与双曲线y=■有一个交点是（■，9）；
命题4：直线y=64x与双曲线y=■有一个交点是（■，16）；
……
（1）请你阅读、观察上面命题，猜想出命题n（n为正整数）；
（2）请验证你猜想的命题n是真命题．
解析：观察命题1~4的结构特征可以发现反比例函数的比例系数与命题的序号是相同的，直线解析式中一次项的系数是命题的序号的立方数，交点的横坐标是命题相应序号的倒数，纵坐标是命题相应序号数的平方数. 据此可以猜想出（1）命题n：直线y=n3x与双曲线y=■有一个交点是（■，n2）.
（2）将（■，n2）代入直线y=n3x得：右边n3×■=n2，左边为n2，所以左边等于右边，所以点(■，n2)在直线y=n3x上，同理可证：点（■，n2）在双曲线y=■上.
1结论证明
图1如图1，AC是长方形ABCD的对角线，点P是对角线BD上一动点，过点E分别做AB、AD的平行线段IF、HG，点I、F分别在AD、BC上，点H、G分别在AB、DC上。则图中阴影部分的面积相等即S1=S2。
证明如图，在矩形ABCD中，易知
SABD=SCDB。①
同理在矩形AHGD中，知SPGD=SDIP。②
同理在矩形HBFP中，知SHBP=SFPB。③
①-②-③得：S1=S2。
这是矩形学习中很容易证明的一个结论，但一类有关反比例函数的题目，用矩形的这个结论来解显得极其容易，若对这个结论没掌握好要解这类题目是不容易的，下面我们来一起学习一下这个结论在反比例函数试题中的应用.
2应用举例
图2例1如图2，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数y=k1x的图象上。若点A的坐标为（-2，-2），则k的值为（）
A。-2B。2C。3D。4
解法1设C（m，n），则B（-2，n），D（m，-2），因BD经过原点，得n1-2=-21m，得mn=4，所以k=4.
解法2由以上结论，易知与两坐标轴围成的一、三限象中两小矩形面积相等，由点A的坐标为（-2，-2）得小矩形面积为4，所以k=4，答案：D.
点评显然，解法一不易想到正比例函数图象上的点B、D坐标满足的关系，从而解不出k的值。若熟悉以上矩形中的结论，便可很容易求出k的值来。
例2如图2，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数y=k2+2k+11x的图象上。若点A的坐标为（-2，-2），则k的值为（）
A。1B。-3C。4D。1或-3
点评由结论以上，易知k2+2k+1=4，解得：k=1或-3。
答案：D.
