教学目标：
1、理解反比例函数，并能从实际问题中抽象出反比例关系的函数解析式；
2、会画出反比例函数的图象，并结合图象分析总结出反比例函数的性质；
3、渗透数形结合的数学思想及普遍联系的辨证唯物主义思想；
4、体会数学从实践中来又到实际中去的研究、应用过程；
5、培养学生的观察能力，及数学地发现问题，解决问题的能力.
教学重点：
结合图象分析总结出反比例函数的性质；
教学难点：描点画出反比例函数的图象
教学用具：直尺
教学方法：小组合作、探究式
教学过程：
1、从实际引出反比例函数的概念
我们在小学学过反比例关系.例如：当路程S一定时，时间t与速度v成反比例
即vt=S（S是常数）；
当矩形面积S一定时，长a与宽b成反比例，即ab=S（S是常数）
从函数的观点看，在运动变化的过程中，有两个变量可以分别看成自变量与函数，写成：
（S是常数）
（S是常数）
一般地，函数（k是常数，）叫做反比例函数．
如上例，当路程S是常数时，时间t就是v的反比例函数．当矩形面积S是常数时，长a是宽b的反比例函数．
在现实生活中，也有许多反比例关系的例子．可以组织学生进行讨论．下面的例子仅供
2、列表、描点画出反比例函数的图象
例1、画出反比例函数与的图象
解：列表
x
-6
-5
-4
-3
1
2
3
4
5
6
-1
-1.2
-1.5
-2
6
3
2
1.5
1.2
1
1
1.2
1.5
2
-6
-3
-2
-1.5
-1.2
1
说明：由于学生第一次接触反比例函数，无法推测出它的大致图象.取点的时候最好多取几个，正负可以对称着取分别画点描图
一般地反比例函数（k是常数，）的图象由两条曲线组成，叫做双曲线.
3、观察图象，归纳、总结出反比例函数的性质
前面学习了三类基本的初等函数，有了一定的基础，这里可视学生的程度或展开全面的讨论，或在老师的引导下完成知识的学习.
显示这两个函数的图象，提出问题：你能从图象上发现什么有关反比例函数的性质呢？并能从解析式或列表中得到论证.（下列答案仅供参考）
（1）的图象在第一、三象限.可以扩展到k>0时的情形，即k>0时，双曲线两支各在第一和第三象限.从解析式中，也可以得出这个结论：xy=k，即x与y同号，因此，图象在第一、三象限.
的讨论与此类似.
抓住机会，说明数与形的统一，也渗透了数形结合的数学思想方法.体现了由特殊到一般的研究过程.
（2）函数的图象，在每一个象限内，y随x的增大而减小；
从图象中可以看出，当x从左向右变化时，图象呈下坡趋势.从列表中也可以看出这样的变化趋势.有理数除法说明了同样的道理，被除数一定时，若除数大于零，除数越大，商越小；若除数小于零，同样是除数越大，商越小.由此可归纳出，当k>0时，函数的图象，在每一个象限内，y随x的增大而减小.
同样可以推出的图象的性质.
（3）函数的图象不经过原点，且不与x轴、y轴交.从解析式中也可以看出，.如果x取值越来越大时，y的值越来越小，趋近于零；如果x取负值且越来越小时，y的值也越来越趋近于零.因此，呈现的是双曲线的样子.同理，抽象出图象的性质.
函数的图象性质的讨论与次类似.
4、小结：
本节课我们学习了反比例函数的概念及其图象的性质.大家展开了充分的讨论，对函数的概念，函数的图象的性质有了进一步的认识.数学学习要求我们要深刻地理解，找出事物间的普遍联系和发展规律，能数学地发现问题，并能运用已有的数学知识，给以一定的解释.即数学是世界的一个部分，同时又隐藏在世界中.
5、布置作业习题13.81-4
教学设计示例2
反比例函数及其图像
一、素质教育目标
（一）知识教学点
1．使学生了解反比例函数的概念；
2．使学生能够根据问题中的条件确定反比例函数的解析式；
3．使学生理解反比例函数的性质，会画出它们的图像，以及根据图像指出函数值随自变量的增加或减小而变化的情况；
4．会用待定系数法确定反比例函数的解析式.
（二）能力训练点
1．培养学生的作图、观察、分析、总结的能力；
2．向学生渗透数形结合的教学思想方法.
（三）德育渗透点
1．向学生渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点；
2．使学生体会事物是有规律地变化着的观点.
（四）美育渗透点
通过反比例函数图像的研究，渗透反映其性质的图像的直观形象美，激发学生的兴趣，也培养学生积极探求知识的能力.
二、学法引导
教师采用类比法、观察法、练习法
学生学习反比例函数要与学习其他函数一样，要善于数形结合，由解析式联想到图像的位置及其性质，由图像和性质联想比例系数k的符号.
三、重点·难点·疑点及解决办法
1．教学重点：反比例的概念、图像、性质以及用待定系数法确定反比例函数的解析式.因为要研究反比例函数就必须明确反比例函数的上述问题.
2．教学难点：画反比例函数的图像.因为反比例函数的图像有两个分支，而且这两个分支的变化趋势又不同，学生初次接触，一定会感到困难.
3．教学疑点：（1）反比例函数为何与x轴，y轴无交点；（2）反比例函数的图像只能说在第一、三象限或第二、四象限，而不能说经过第几象限，增减性也要说明在第几象限（或说在它的每一个象限内）.
4．解决办法：（1）中隐含条件是或；（2）双曲线的两个分支是断开的，研究函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论.
四、教学步骤
（一）教学过程
提问：小学是否学过反比例关系？是如何叙述的？
由学生先考虑及讨论一下.
答：小学学过：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做反比例的量，它们的关系叫做反比例关系.
看下面的实例：（出示幻灯）
1．当路程s一定时，时间t与速度v成反比例；
2．当矩形面积S一定时，长a与宽b成反比例；
它们分别可以写成（s是常数），（S是常数）写在黑板上，用以得出反比例函数的概念：（板书）
一般地，函数（k是常数，）叫做反比例函数.
即在上面的例子中，当路程s是常数时，时间t就是速度v的反比例函数，能否说：速度v是时间t的反比例函数呢？
通过这个问题，使学生进一步理解反比例函数的概念，只要满足（k是常数，）就可以．因此可以说速度v是时间t的反比例函数，因为（s是常量）．对第2个实例也一样．
练习一：教材P129中1口答．P1301
根据前面学习特殊函数的经验，研究完函数的概念，跟着要研究的是什么？
答：图像和性质．
通过这个问题，使学生对课本上给出的知识的发生、发展过程有一个明确的认识，以后
学生要研究其他函数，也可以按照这种方式来研究．
下面，我们就来看一个例题：（出示幻灯）
例1画出反比例函数与的图像．
提问：1．画函数图像的关键问题是什么？
答：合理、正确地选值列表．
2．在选值时，你认为要注意什么问题？
答：（1）由于函数图像的特点还不清楚，多选几个点较好；
（2）不能选，因为时函数无意义；
（3）选整数较好计算和描点．
这个问题中最核心的一点是关于
的问题，提醒学生注意．
3．你能不能自己完成这道题呢？
学生在练习本上列表、描点、连线，教师在黑板上板演，到连线时可暂停，让学生先连完线之后，找一名同学上黑板连线，然后就这名同学的连线加以评价、总结：
注意：（1）一般地，反比例函数的图像由两条曲线组成，叫做双曲线；
（2）这两条曲线不相交；
（3）这两条曲线无限延伸，无限靠近x轴和y轴，但永不会与x轴和y轴相交．
关于注意（3）可问学生：为什么图像与x和y轴不相交？
通过这个问题既可加深学生对反比例函数图像的记忆，又可培养学生思维的灵活性和深刻性．
再让学生观察黑板上的图，提问：
1．当时，双曲线的两个分支各在哪个象限？在每个象限内，y随x的增大怎样变化？
2．当时，双曲线的两个分支各在哪个象限？在每个象限内，y随x的增大怎样变化？
这两个问题由学生讨论总结之后回答，教师板书：
对于双曲线（1）当：（1）当时，双曲线的两分支位于一、三象限，y随x的增大而减少；（2）当时，双曲线的两分支位于二、四象限，y随x的增大而增大．
3．反比例函数的这一性质与正比例函数的性质有何异同？
通过这个问题使学生能把学过的相关知识有机地串联起来，便于记忆和应用．
练：教材P129中2由学生在练习本上完成，教师巡回指导.P130中2、3填在书上
上面，我们讨论了反比例函数的概念、图像和性质，下面我们再来看一个不同类型的例题：（出示幻灯）
例2已知y与成反比例，并且当时，，求时，y的值.
用提问的方式对此题加以分析：
（1）y与成反比例是什么含义？
由学生讨论这一问题，最后归结为根据反比例函数的概念，这句话说明了：.
（2）根据这个式子，能否求出当时，y的值？
（3）要想求出y的值，必须先知道哪个量呢？
（4）怎样才能确定k的值？用什么条件？
答：用待定系数法，把时代入，求出k的值.
（5）你能否自己完成这道例题：
由一名同学板演，其他同学在练习本上完成.
例3已知：，与x成正比例，与x成反比例，当时，时，，求y与x的解析式.
分析：一定要先写出y与x的函数表达式，
要用x分别把，表示出来得，
要注意不能写成k，
解：设，
.
由题意得
.
（二）总结、扩展
教师提问，学生思考回答：
1．什么是反比例函数？
2．反比例函数的图像是什么样的？
3．反比例函数的性质是什么？
4．命题方向及题型设置，反比例函数也是中考命题的主要考点，其图像和性质，以及其函数解析式的确定，常以填空题、选择题出现，在低档题中，近两年各省、市的中考试卷中出现不少将反比例函数与一次函数、几何知识、三角知识等综合编拟的解答题，丰富了压轴题的形式和内容.
五、布置作业
1．教材P130中4，5，6
2．选做：P130中B1，2
六、板书设计
13．8反比例函数及其图像
引例：（1）例1：例2：例3：
（2）
1．反比例函数：
2．反比例函数的性质
探究活动
已知：如图，一次函数的图像经过第一、二、三象限，且与反比例函数的图像交于A、B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D。。
（1）求反比例函数的解析式；
（2）设点A的横坐标为m，的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）当的面积等于时，试判断过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长能否等于3。如果能，求此时抛物线的解析式；如果不能，请说明理由。
解：（1）过点B作轴于点H。
在Rt中，
由勾股定理，得
又，
点B（－3，－1）。
设反比例函数的解析式为
。
点B在反比例函数的图像上，
。
反比例函数的解析式为。
（2）设直线AB的解析式为。
由点A在第一象限，得。
又由点A在函数的图像上，可求得点A的纵坐标为。
点B（－3，－1），点，
解关于、的方程组，得
直线AB的解析式为。
令。
求得点D的横坐标为。
过点A作轴于点G
由已知，直线经过第一、二、三象限，
，即。
由此得
。
即。
（3）过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长不能等于3。
证明如下：
。
由，
得
解得。
经检验，都是这个方程的根。
，
不合题意，舍去。
点A（1，3）。
设过A（1，3）、B（－3，－1）两点的抛物线的解析式为。
由此得
即。
设抛物线与x轴两交点的横坐标为。
则
令
则。
即。
整理，得。
，
一、知识技能：
1.会用列表描点法画反比例函数y=k/x（k≠0）的图象；结合图象初步理解双曲线所在的象限，延伸性，对称性，及y随x的变化情况（增减性），体会其性质；
2.逐步提高从函数图象中获取信息的能力，并利用其性质解决实际问题.
二、过程与方法：
让学生自己尝试去画y=4/x与y=-4/x图象，在经历中逐步完善用描点法画y=k/x（k≠0）的步骤；在画图过程中引导学生去观察图象，发现其性质，并能自己归纳概括出y=k/x（k≠0）的性质，从而经历知识的归纳和探究过程，体会函数的三种表示方法相互转化，对函数进行认识上的整合。
三、情感态度价值观：
经历探究反比例函数性质的过程，渗透与他人交流，合作的意识和探究精神，培养学生探索、观察、独立思考的习惯，学会归纳总结，体会合作的喜悦，初步认识数学与人类生活的密切联系.
教学重点用反比例函数的图象与性质
教学难点结合函数的图象归纳反比例函数的性质
问题与情景
活动1
问题1：：还记得一次函数y=kx+b（k≠0）的图像
与性质吗？
那么反比例函数y=k/x（k≠0）的图象会是什么样？如何画一个函数的图像呢？――导入新课
师生行为
教师提出问题，学生独立思考
教师：上节课我们学习了反比例函数的定义，并体会了反比例函数的三种表达形式之间的联系
本节课我们来研究一下反比例函数的图像和性质.
教师关注：
1・学生能否正确使用“描点法”的方法来画图像，能否说出“描点法”的基本步骤：列表、描点、连线
2・引入课题，分析研究y=k/x（k≠0）
的图像和性质。通过画y=4/x与y=-4/x的图像展开问题。
设计意图
通过旧知识导入，引导学生用描点法画函数图像，并借助图像分析性质。体会分类讨论、特殊到一般的解决问题的方法。
活动2
1、画出y=4/x与y=-4/x的图像
1.学生在同一坐标系中做出y=4/x与y=-4/x的图像，各小组展示自己的作品。
教师引导学生交流：
1.如果在列表时所选取的数值不同，那么图像的形状是否相同？
2.连线时能否连成折线？为什么必须用光滑的曲线连接各点？
3.曲线的发展趋势如何？
让学生自己经历画y=的图像的过程，体会描点法画图象的基本步骤，培养学生动手操作能力，这一环节让学生先在小组内展示自己的作品，相互修正。让学生体会主动参与、合作探究的乐趣。
活动3：探究y=4/x与y=-4/x的性质。
引导学生观察图像，独立思考并小组内合作交流，分析，比较y=4/x与y=-4/x的性质。在探究过程中，教师引导学生从“形”加以观察，能否从“数”加以解释，重点关注：
1.学生能否用数学语言描述图象特征，从而得出图像是双曲线。
2.学生是否能否得出k的不同取值时，图像所在的象限不同，两分支位于不同的象限。
3.学生是否注意到y随x的变化情况是在每一象限内根据k>0和k
4.为揭示函数变化规律，引导学生分别在每一象限图像上任取两点A（x1，y1），B（x2，y2）观察当x2>x1时y2与y1的关系
5.不可能与轴相交，也不可能与轴相交。这一结论既可以通过观察图像得出，也可分析函数表达式得出。当x的值越来越接近于0时，绝对值y的值将逐渐变得很大；反之绝对值x的值变得非常大时，y的值将逐渐接近于0.图像的两个分支无限接近x轴和y轴，但永远不会与x轴y轴相交.
（1）让学生自己去观察去分析，过程让学生自己去感受，结论让学生自己去总结，实现学生主动参与、探究新知的目的
（2）体会数形结合的思想
（3）在学生探究，合作交流的过程中教师要适时的给予鼓励，时刻给他们自信。
自我点评
根据教学目标、教学重点和难点的分析，我首先引导学生回顾二次函数基本概念，用描点法画函数图象的方法，然后让学生自己经历画y=4/x与y=-4/x的图象，然后让学生小组展示作品，完善画y=4/x与y=-4/x图象。然后直观观察反比例函数的性质。分组交流讨论，教师点拨，最终归纳y=k/x（k≠0）的性质。最后进行了反馈练习，强化了知识。
探究过程中，我依托学习小组，让学生经历了从特殊到一般的探究过程，经历知识产生、形成的过程；体会了数形结合、分类讨论的思想；感受到了自己动手、主动探索、合作交流学习方式的乐趣；提升学生自己观察、分析、解决问题的能力
本节课突出学生在活动过程中的参与意识、探究方式、表达能力及合作交流的意识，突出了学生的主体地位使学生在轻松愉快的氛围中获得数学的“思想、方法、能力、素质”，同时获得对数学的情感。教师在整节课的活动中，扮演的是学生学习的参与者、合作者、指导者的角色。
不足之处是：
1.在组织小组活动中有些乱，因而给学生的时间不是太多，抑制了学生思维的拓宽，提升。
2.在引导学生主动提出问题时时机把握的不是太好。
3.学生的质疑，提出问题的质量需在平时的课堂教学中加强培养。
我的收获：
1.探究性的课堂学生很喜欢，要坚持，要不断地探索，改进，以求课堂效果更好。
1写出一个反比例函数,使它的图象在第二、四象限,这个函数解析式为
2已知反比例函数，分别根据下列条件求出字母k的取值范围
（1）函数图象位于第一、三象限
（2）在第二象限内，y随x的增大而增大
.
17.4
反比例函数（3课时）
（设计人:）
【课程目标】
能力知识思维框架
探究
灵活运用
使学生进一步理解和掌握反比例函数及其图象与性质
能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题
.，
助线的方法．
方法．
常用添加辅助线的方法．
解决有关计算问题及论证问题。
【教学过程】
时间
过程目标
教师活动及方法
学生活动及方法
形成性评价
板书
5ˊ
5ˊ
15ˊ
10ˊ
创设情境
【目标1】
使学生进一步理解和掌握反比例函数及其图象与性质
.【目标2】
.
能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题
【目标3】
深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法
反比例函数有下列性质：
(1)当k＞0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内y随x的增加而减少；
(2)当k＜0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内y随x的增加而增加．
注
1．双曲线的两个分支与x轴和y轴没有交点；
2．双曲线的两个分支关于原点成中心对称
例1分析：此题要考虑两个方面，一是反比例函数的定义，即（k≠0）自变量x的指数是－1，二是根据反比例函数的性质：当图象位于第二、四象限时，k＜0，则m－1＜0，不要忽视这个条件
从反比例函数（k≠0）的图象上任一点P（x，y）向x轴、y轴作垂线段，与x轴、y轴所围成的矩形面积，
例1．已知反比例函数的图象在第二、四象限，求m值，并指出在每个象限内y随x的变化情况？
例2
已知函数为反比例函数．
(1)求m的值；
(2)它的图象在第几象限内？在各象限内，y随x的增大如何变化？
(3)当－3≤x≤时，求此函数的最大值和最小值．
例3．如图，过反比例函数（x＞0）的图象上任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接OA、OB，设AOC和BOD的面积分别是S1、S2，比较它们的大小，可得（
）
（A）S1＞S2
（B）S1＝S2
（C）S1＜S2
（D）大小关系不能确定
练习1若点A（－2，a）、B（－1，b）、C（3，c）在反比例函数（k＜0）图象上，则a、b、c的大小关系怎样？
练习2．在平面直角坐标系内，过反比例函数（k＞0）的图象上的一点分别作x轴、y轴的垂线段，与x轴、y轴所围成的矩形面积是6，则函数解析式为
补充练习
1．若函数与的图象交于第一、三象限，则m的取值范围是
2．反比例函数，当x＝－2时，y＝
；当x＜－2时；y的取值范围是
；
当x＞－2时；y的取值范围是
3．
已知反比例函数，当时，y随x的增大而增大，求函数关系式
4已知反比例函数y=
的两点(x1,y1),(x2,y2),当x1
A.m
B.m>0
C.m>3
D.m
5下列四个函数中,当x>0时,y随x的增大而减小的是(D)
A.y=2x
B.y=x+3
C.y=-
D.y=
6.已知反比例函数经过点A(2,－m)和B(n,2n)，求：
(1)m和n的值；
(2)若图象上有两点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)，且x1＜0＜
x2，试比较y1和
y2的大小．
5ˊ
知识框架
知识梳理
例题
本节课学习了画反比例函数的图象和探讨了反比例
函数的性质．
1.反比例函数的图象是双曲线(hyperbola)．
2.反比例函数有如下性质：
(1)当k＞0时，函数的图象在第一、三象限，在每个
象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内y随x的增加而减少；
(2)当k＜0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每
摘 要： “导学案”是实现新课堂教学的载体，是课堂教学取得实效的重要基础。本文以反比例函数图像的导学案设计为例，说明“问题”是编写导学案的核心，教师应以数学问题为切入点，激活学生的数学思维；学生学习情况的反馈与展示，是实施导学案教学的核心，关注课堂教学的生成，构建灵动的数学课堂。
关键词： 反比例函数 图像性质 导学案
随着课改的推进，“学为中心”理念和生本教学逐步走进了初中课堂。我校是福建省“十二五”教育改革试点项目“课堂三导教学”研究与实践的基地校。以“导学、导疑、导练”为主线的课堂教学模式，开拓我校课堂教学的新领域，构建教学互动的灵动课堂。其中，每节课必备的“导学案”是实现新课堂教学的载体。以人教版数学八年级下册“17.1.2反比例函数图像和性质”为例，说明优化导学设计，构建灵动课堂，优化教学效果。
一、导学案的设计及意图说明
环节1：知识链接
（1）描点法画函数图像的基本步骤：？摇 ？摇、？摇 ？摇、？摇 ？摇。
（2）反比例函数y=k/x（k≠0）中，自变量的取值范围是 ？摇。
环节2：自主探究
在坐标纸上，画出反比例函数y=6/x的图像，并探索图像的性质。
（1）取适当的x的值，求出对应的y的值：（表略）
问题：你觉得x值该怎么取？为何要这样取？
（2）以表中各组对应值为点的坐标，描点连线，画出图像。
思考：观察并分析图像，函数y=6/x的图像在哪几个象限？图像具有怎样的对称性？
（3）试着画出反比例函数y=6/x的图像。
思考：此时，x值可以怎样取？它与y=6/x图像有类似的性质吗？
【设计意图】本环节为教师主导下的小组合作探究学习：先独立完成，再小组交流，小组各选一位代表展示结果。先画y=6/x的图像，再类比思考该函数的图像，学生展示后，教师再利用“几何画板”动态演示两图像变换情形。这样既节省了学生画图的时间，又增强了对学生思维能力和空间想象能力的培养，更有利于学生发现反比例函数的性质，学生的自主探究和教师的引导点有机结合，有效促成学生对图像性质的再认识。
环节3：丰富的例证，分析图像性质
（1）在坐标纸上，画出反比例函数y=-3/x的大致图像.p是图标上的一点，O是原点。
（2）P（1，3）是反比例函数y=k/x（k≠0）图像一支上的一点，则k值为？摇 ？摇。
（3）直线P■与过P（1，3）点的反比例函数的另一交点为q，则q点的坐标是多少？若过原点O作任意直线y=kx（k≠0），则它与反比例函数y=3/x的图像一定有交点吗？若有，它们的坐标有何关系？
（4）根据第（3）题，你觉得该如何画第（2）题中图像的另一支？请试着画一画。
【设计意图】前两题以学生个体解答思考和组内交流解惑的形式进行，分为两个梯度，是反比例函数位置与k关系的直接应用。后两题设计，是逐步启发学生的思考，让学生发现利用对称性画图像另一支的方法。采用小组交流再全班展示的形式，可使思维暂时受挫的学生在同伴互助的基础达到豁然开朗。四个小题层层递进，既巩固知识又激活思维，提高教学效率。
环节4：类比与归纳
观察y=6/x，y=-6/x，y=3/x，y=-3/x的图像，结合各自函数解析式的特征，思考回答：
问题1.分别位于哪几个象限，图像所在的象限是由哪些因素决定的？
问题2.在每个象限，y随x的变化如何变化？这种变化规律由什么因素决定？
问题3.反比例函数y=k/x（k≠0）和y=-k/x（k≠0）的图像是否关于x轴对称，也关于y轴对称？为什么？
【设计意图】让学生经历“特殊—一般”的图像探究过程，由感性认识上升到理性认识；类比一次函数的性质归纳过程，总结描述反比例函数的基本性质，学会函数研究的基本思路，提高总结归纳的意识和能力；学会数形结合地研究函数图像的方法，体会数与形的辩证统一关系，深刻领会函数的本质特征，激活思维，构建灵动课堂。
环节5：自我评价
1.点（1，3）在反比例函数y=k/x（k≠0）的图像上，则k=？摇 ？摇，在图像的每一支上，y随x的增大而？摇 ？摇。
2.已知反比例函数y=（4-k）/x的图像位于第一、三象限，则k的取值范围是？摇 ？摇；若在每一象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围是？摇 ？摇。
3.一个函数具有下列性质；
①它的图像经过点（-1，1）；
②它的图像在第二、四象限内；
③在每个象限内，函数值y随x的增大而增大，则这个函数的解析式可能为？摇 ？摇。
【设计意图】巩固所学，强化对知识的理解，增强应用意识，提高应用能力，深入体会数形结合思想。期间，由学生独立完成，教师做必要的点拨。
环节6：课堂小结
这堂课你的收获（知识技能、过程方法等）是什么？你有哪些好的表现？还需要老师和同学帮你什么？
【设计意图】本环节是对课堂的小结归纳，有了教师的归纳点化，更有利于学生对数学知识的数学思想方法（类比、数形结合、特殊到一般）的掌握理解。
二、关于导学案的思考
1.“问题”是编写导学案的核心。
导学案是学生自主学习的方案，也是教师指导学生学习的方案。它将知识问题化，能力过程化，情感态度与价值观的培养潜移默化。无论是预习、新知识的学习与探究、巩固练习、学习小结，还是拓展延伸，所采用的基本教学环节都是：提出问题—指示方法—明确要求—学生学习，编写导学案应将主要精力放在问题的构思与设计上。问题设计必须遵循“导”的规律和“学”的规律；必须具有科学性、针对性和实效性；必须具有艺术性和启发性。另外“问题”的大小、深浅、繁简等“度”的把握都需要编写者进行揣摩，细心把握。
2.学生学习情况的反馈与展示，是实施导学案教学的核心。
在学生展示过程中，教师要发挥好及时点拨、总结、拓展、调控和激励的作用；要引导学生互相欣赏、相互鼓励，积极创造团结和谐的展示氛围，要保证所有学生都参与展示的全过程；要激发学生认真听讲、更正、补充、拓展。通过学生的展示和其他学生的听讲、更正、补充、拓展，实现对知识的再一次认知；尽可能地将学生在预习、交流过程中所存在的问题暴力出来，以待修缮；通过学生发自内心的、主动的、个性化的展示，使尽可能多的学生从中提样到成功的乐趣，从而激发学生的学习兴趣，端正学生的学习态度。
参考文献：
【关键词】反比例函数；对比教学；问题教学；数学思想；知识与技能
1教材分析
反比例函数是《义务教育课程标准实验教科书》数学八年级下册第十七章内容，是在已经学习了平面直角坐标系和一次函数的基础上，学习反比例函教及其图象和性质，可以进一步领悟函数的概念，并积累研究函数性质的方法及用函数观点处理实际问题的经验，为后继学习函数知识打下基础。本章的重点是反比例函数的概念、图象和性质，依据已知条件，确定反比例函数。图象是直观地描述和研究函数的重要工具。难点是对反比例函数及其图象的性质的理解和掌握。
2学情分析
2.1学法指导：学习本章时，要充分利用教材给出的问题情境，让学生仔细观察，动手操作，大胆猜想，交流归纳，合理验证，主动地获取知识。
2.2学生易犯的错误。
2.2.1利用反比例函数定义求待定系数时，容易忽视系数不等于零。如：当m=时，y=(m-1)xm2-2是反比例函数。本题系数必须同时满足m2-2=-1，m-1≠0。
2.2.2利用反比例函数的性质比较两个函数值的大小时，容易忽视它们是否在同一象限内。如：若点A（a1,b1）、B（a2,b2）是反比例函数y=- 图象上的两个点，且a1＜a2,则b1与b2的大小关系是（）
A.b1＜b2 ；B.b1=b2；C.b1＞b2；D.大小不确定
误解：A.正解D
2.2.3求解析式时，会产生代错的情况+
如：若y与x2成反比例，且当x=-2时，y=-14求y与x的关系式。
误解：y=-1x，正解：y=-1x2
3教法建议
根据教材特点和初二学生的年龄特点，心理特征和认知水平，本章教学可采用对比教学法和问题教学法，启发学生深入思考，主动探究，获取知识。并充分利用多媒体教学，通过演示、操作、观察、练习等活动，启发学生思考，培养他们的直觉思维能力，在教学中，还应注意以下几点：
3.1做好与已学内容的衔接.。学生对函数已有初步的认识，从第一次接触函数所蕴涵的“变化与对应”的思想到学习本章知识已有半年了，学生对与函数相关的概念不可避免会有所遗忘。因此，学习好本章的关键是处理好新旧知识的联系，以尽可能地减少学生接受新知识的困难。例如：在引进反比例函数概念时，适当复习函数的相关知识，为反比例函数的学习做好铺垫，学生就能能够比较顺利地接受和掌握反比例函数的概念和性质。
3.2重视反比例函数与正比例函数的对比教学：两者的对比教学，可从以下问题入手：
3.2.1两种函数的解析式有何异同？
3.2.2两种函数的图像的特征有何区别？
3.2.3常数K的符号怎样决定两种函数的图像所处位置？
3.2.4常数K的符号相同的情况下，当自变量变化时，两种函数的函数值的变化趋势有什么区别？
3.3把函数中蕴涵的重要数学思想作为本章的主要线索.。在本章的教学中，一方面要注意具体题目的分析和求解过程，另一方面更要注意一些重要的数学思想的传授和渗透。因此，可以适当地安排通过图像分析函数解析式，通过函数解析式分析图像的题目，从而既体现了数形结合思想，转化思想，也体现了变化与对应思想。一些具体的数学知识对学生的影响也许是短暂的，但一些重要的数学思想方法必将会使学生终身受益。
3.4强化重点，突破难点。尽管本章中，反比例函数的内容是比较基本的知识，但是这些知识都是后续函数知识的基础。因此，教学中对本章基础知识和基本技能的要求不能降低。要适时安排适当难度的练习，使学生能牢固掌握基础知识，熟练掌握基本技能。从而能灵活地综合运用反比例函数、一次函数、图形面积计算，方程与不等式等知识解题。如（2009年兰州市中考题），如图，已知A（-4,n），B（2,-4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=mx的图象的两个交点。
①求反比例函数和一次函数的解析式；
②求直线AB与x轴的交点C的坐标及AOB的面积；
③求方程kx+b-mx=0的解（请直接写出答案）；
④求不等式kx+b-mx＜0的解集（请直接写出答案）。
参考文献
［1］《义务教育课程标准实验教科书》数学八年级下册，教师教学用书
［2］初中《教案与作业设计》
关键词：初中数学；反比例函数；现状；解题方法
中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2015）10-0375-02
反比例函数在数学学习中占据了十分重要的地位，其中的知识内容也是比较复杂的。随着课程改革的不断深入，反比例函数的教学方法也在发生转变，转变的方向也是朝着科学化和细致化的方向发展。现在很多中校甚至是高校都越来越重视反比例教学。根据初中教学的实际情况来看，学生对于反比例函数的相关知识掌握的还不到位，在学习的过程中还有很多的问题，有的是不重视，有的是忽略，造成了学生对反比例函数的理解不到位；并且，在老师进行教学的时候，也存在一定的困难，有的直接跳过，有的是迷惑，这样就大大的降低了教学的效率。因此，我通过对现在的初中数学教学进行深入的分析，针对反比例函数教学中的有关问题进行研究，希望能够找到有效的解决办法。
1.在反比例函数概念教学的过程中注重实例的加入
在反比例函数中加入实例能够进一步增加学生对于反比例函数的概念认识。在课堂教学中，很多学生的记忆力很好，能够把老师的内容记忆下来，但是内有掌握相关的学习方法，不愿意动脑，对数学学习没有热情。要善于激活学生的思维能力，调动学生的学习兴趣，把难懂的反比例函数融合到实例中，以便更好的进行分析和研究，减轻知识的学习难度。重要的是用实际事例来引导学生注重实际生活中的"反比例函数"，品尝反比例函数的乐趣。借助平时的实际事例来帮助学生掌握数学思想，通过不断的学习和认识，老师进行适当的引导，帮助学生更加健康的成长。注重学生综合素养的培养，是数学教育的主要目的，并不是单纯的对数学概念、理论、公式进行简单的记忆，要把数学作为一种乐趣去享受。
例1 某地去年电价为0.8元，年用电量为l亿度，今年计划将电价调至0.55-0.75元之间。经测算，若电价调至x元，则今年新增加用电量y（亿度）与（x一0.4）元成反比例.当x=0.65元时，y=0.8。
（1）求y与x之阍的函数关系式；
（2）若每度电的成本价为0.3元，则电价调至多少元时，今年电力部门的收益将比去年增加20%？
上述问题就是学生的实际生活事例，是强化学生认识反比例函数的重要素材，也能够把抽象的反比例函数转化成为具体可感的实际案例。数学课堂融合了语言、图像和文字等多个内容，是一个师生互动的过程。正例和反例相互融合，加强了学生对反比例函数本质知识的掌握。这种教学方法不但能够加强学生的学习能力和思考能力，还可以帮助学生初步的掌握反比例函数的有关内容，为后面的学习奠定坚实的基础。
2.加强学生反比例函数的主体观念，提升学生学习的自觉性
很多的数学理念，不是依靠一节课、两节课，或者是一个月甚至是一个学期，学生就能够领悟的，这还需要一个阶段和时间的累积，不断的提升认识。因此，反比例函数作为中学阶段的关键内容，不能一蹴而就，需要不断的学习和积累，根据实际的教学情境，融合相关的反比例函数知识，让学生深刻的认识到反比例函数的实际意义和价值，进一步加强学生的学习主动性。
教学过程需要老师和学生的相互配合。给学生一个独立、自由的学习空间，让学生独立的进行学习，老师和方法都是学习过程中的引导者，是学习发展的关键力量。根据相关的反比例函数的实际案例来体会其中的实际价值，了解反比例函数知识在实际生活中的广泛使用，提升学生的学习兴趣，让学生主动思考问题，在知识运用的过程中更好的掌握反比例函数的实际意义。
例2 例2 若函数y-k1x（k1≠0）与y=k2x（k2≠0）的图象无交点，则k1，k2应满足什么条件？
从方程的角度可以解决，能否用图象解决呢？ 未知，如何画出准确的函数图象呢？k1，k2学生通过讨论发现，得出如图1 ，反比例函数和正比例函数图象具有相同的象限特点，即过第一、第三象限或过第二、第四象限，而且若一个经过第一、第三象限，而另一个经过第二、第四象限，则必无交点。有的学生则更进一步，先画出k>0的反比例函数大致图象，再画出正比例函数图象并绕原点旋转，在旋转过程中，观察交点情况。而后探究k
图 1
反比例函数在教学的时候，老师可以利用课题研究的模式，调动学生学习的积极性。让学生在思考的过程中进行反比例函数问题的探讨，表达自己的想法，吸收别人的相关意见。例如：让学生通过小组的方式收集身边有关的反比例函数的例子，并且归类，安排问题，让小组内部和小组之间进行沟通，展示出一种团队的力量和竞争的意识。最后，把各个小组的劳动成果进行展示，先让学生进行自我点评，然后老师进行引导，这样不但维护了学生的主体地位，还表现出了老师的引导效用。
3.构建反比例函数的问题情境，解决理解难题
老师把知识转化为实际问题，能够调动学生的学习热情，在研究问题的基础上进一步巩固相关的知识，让学生对已经掌握的知识进行及时的反思，构建问题情境能够给学生充足的思考空间，有效的转换思路，使得知识变得更具体。
课堂是社会的体现，出现在课堂中情境不亚于发生在实际生活中的情境。课堂的很多问题和环境都是创建出来的。例如学生进行物品的买卖，构建核反应堆进行研究，虽然课堂中没有真正的进行食品的买卖，没有一个人是核工程师。但是在我们的实际生活中，这些对象或许我们之前并没有看到过，也没有实际观察过，甚至没有感觉。所以，调动学生的抽象思维能力是数学教学的主要任务。
反比例函数知识，并不是依赖于单纯的灌输式教学。不论图片多生动形象，反比例函数的知识还是比较复杂的。反比例函数是一种关系的连接，其中的关系并不是像铅笔、桌子和写字本是可以操控的东西，需要相应的思维能力和理解水平。
反比例函数知识主要是为了更好的运用到实际生活中。老师在综合使用反比例函数的内容、特点的时候，要把实际的案例融合到学生的学习过程中，通过合作研究、相互交流、独立思考等方式，减轻学习的难度性。当学生处于一种特定的问题情境中，要及时引导学生找到解决问题的方法，并且在这个过程中进行适当的帮助，充分的调动学生的实践能力和创新能力。要循序渐进的进行教学，给学生充分的学习机会，锻炼学生克服困难的意志，构建学习的信心。在有价值的、具有真实情境的教学中，更好的融合数学中的相关概念和关系于实际情境中，在这种环境的熏陶之下，让学生更好的投入到学习中，以便学生能够更好的找到解决数学问题的方法。所以，加强学生在实际情境中处理数学问题的能力也是十分必要的。
参考文献：
[1] 张向彬.运用反比例函数巧解初中数学实际问题[J].数学教学通讯，2013，（1）：63-64
【关键词】学案导学 初中数学 实施过程 问题初探
【中图分类号】G633.6
一、 问题的提出
数学作为基础教育阶段的关键学科，如何提高数学教与学的效率，是众多专家学者高度关注的问题，更是一线教师孜孜以求的目标。“学案导学”正是迎合了数学课程改革的理念，学生凭借数学学案进行自主学习，充分调动了学习的积极性，激发了参与课堂教学的主动性；而教师只教“学生不会的”，也使教师的教学真正做到“有的放矢”，减少了一些无益的教学行为。犹如一夜春风，诸多学校都投入到“学案导学”的教学尝试中，但是，大多数教师缺乏对“学案导学”完整的策略研究框架和针对“学案导学”实施细节的相关指导，只重形式，不讲实质，出现了一些偏差。本文根自己的实践与反思，试图揭示在初中数学“学案导学”实施过程中出现的问题并提出相关策略，为教师的教学实践提供借鉴，为进一步完善“学案导学”模式献出微薄之力。
二、初中数学“学案导学”实施过程中的问题
1、学案内容：疑难空白“不到位”
学生在“依案自学”阶段，要求让学生通过预习、精读课本，写出自己的困惑和疑难问题，教师要批改学案，了解学生的困惑，以便进行二次备课。笔者通过观察发现这一环节往往得不到真正落实。通过对教师手中及学生手中学案的调查，预习疑难这一部分出现了比例不小的空白情况，不仅是这一部分，学案结束后的教学建议、学生反馈的部分，也出现了不同程度的空白情况。下表是一份某校九年级两个班《反比例函数》预习学案：
通过访谈，可以发现一些教师疏于对学生提出明确和严格的要求，对于学生的学习行为缺少适当的监督和提供必要反馈，学生总是有惰性的，长期地缺少了检查、反馈和激励，就会导致学生思想的懈怠，“导学案”中的设计形同虚设。“学案导学”是一个环环相扣的整体，一个步骤落实不到位，势必影响到“学案导学”中其他步骤的有效落实。
2、教学过程：低效重复“不放心”
有些教师上课的时候还是如原来一样，“导”的过多，牢牢控制着课堂。“学案导学”这一模式的最大亮点是凸显学生主体性，学生是学习的主人，如果仅是增加了一个“导学案”，而课堂教学模式仍按原来传统方法进行，“学案导学”就失去了原有的意义。下面是对一堂九年级数学课《反比例函数》课堂开始的观察。
师：通过预习，同学们看，今天我们要学习什么？
生：（反比例函数）
师：里面有你熟悉的字眼你吗？哪些是你不熟悉的？
生1：我都熟悉了。
生2：函数。
（教师沉默，不知道该如何引入。）
师：（还是按照预设的）那么通过做预习学案，你知道什么样的函数是反比例函数呢？
生：形如y= 的函数叫做反比例函数。
师：很好，这个函数是如何来的呢？一切知识于生活问题。我们的生活中有很多研究两个变量之间关系的问题。出示四个问题情境。
情境一：龙游某校学生坐汽车去遂昌金矿春游，汽车每小时行驶80千米，已知从学校出发，经过x小时到达，那么总路程为y千米，请说出y关于x之间的关系式。
情境二：若已知龙游到遂昌的总路程为106千米，请你说出汽车行驶速度ykm/h与行驶时间x小时之间的关系式。
情境三：正方形游泳池的周长C与边长a的等量关系可表示为_______。
情境四：长方形花坛的面积为6，长y和宽x之间的等量关系可以表示为____________。（学生回答，教师板书）
问：这四个中有你学过的函数吗？它们是什么函数？你还记得正比例函数的定义吗？
对于另外两个，它们也是同一类函数，小学时我们就已经学过，两个量的乘积是一个不为零的常数，这两个量就成什么比例呢？（反比例）所以，我们叫这一类函数为反比例函数。[板书课题]
认识一种新的知识，都要从定义开始，让我们类比正比例函数的定义方法，给反比例函数下个定义吧。出示表一。你能继续对他们进行类比吗？
案例分析：在这个案例中，教师似乎全部撇开了预案，仍旧按照原来模式上课。访谈中，我们发现，老师们还是存在着“进退两难”困境，不少教师对“学案导学”的前景持一种不肯定的态度，而且认为“学案导学”有点太放得开了，合作探究效率低下，不一定会带来学生成绩的提高，对学生的不放心。因此对采用“学案导学”这种模式持保守态度，因此也就在一定程度上会影响其实施的效果。
3、特殊群体：自学偏差“不适应”
这里的特殊群体主要是指学生中被视为能力较差的群体，“学案导学”为差生带来了什么变化，是否在一定程度上使其某一方面得到进步和发展呢？
对学生小A一堂数学课的观察
